2024届山东省新泰市第一中学（实验部）高三上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2024届山东省新泰市第一中学（实验部）高三上学期第二次月考数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意解出集合，进而求出交集即可.
【详解】由，解得：或，所以，
由，解得：，所以，
所以.
故选：C.
2．若复数，在复平面内对应的点关于虚轴对称，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据两复数对应的点关于虚轴对称得到，再利用复数的除法法则进行求解.
【详解】因为复数、在复平面内对应的点关于虚轴对称，
且，所以，
则.
故选：D.
3．（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】化切为弦通分变形，逆用两角和的正弦公式与二倍角公式化简可得.
【详解】
，
故选：B.
4．北京故宫博物院展示着一件来自2200年前的宝物——秦诏文权（如图1）.此文权下部呈圆台形，上部为鼻钮，被誉为最美、最具文化、最有政治和历史意义的文物之一.某公司仿照该文权制成一纸镇（如图2），已知该纸镇下部的上、下底面半径分别为，，高为，则该纸镇下部的侧面积与体积分别为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据上下半径及高求出母线，再利用圆台侧面积公式和体积公式求解即可.
【详解】因为圆台纸镇下部的上、下底面半径分别为，，高为 ，
所以圆台的母线为长，
则该纸镇下部的侧面积为，
该纸镇下部的体积为.
故选：C.
5．已知圆与圆外切，则直线被圆M截得的弦长为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】根据两圆外切得出圆心距等于半径之和可求出，再根据几何法可求出弦长.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为1，
由题意，得，即，解得，
圆心到直线的距离，
所以直线被圆截得的线段的长度为.
故选：C.
6．已知等差数列的前项和为，若，，则使得前项和取得最大值时的值为（ ）
A．2022B．2021C．1012D．1011
【答案】D
【分析】由题，结合等差数列性质和前项和公式得，，进而判断时，；时，成立得答案.
【详解】解：因为等差数列的前项和为，，，
所以，
所以，，
所以，，即等差数列的公差，
所以，时，；时，，
所以，使得前项和取得最大值时的值为.
故选：D
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用对数函数与指数函数的单调性判断即可得解．
【详解】因为，所以，
因为，， 所以，
又，，
易知，所以，即，所以．
故选：C．
8．已知是正整数，函数在内恰好有4个零点，其导函数为，则的最大值为（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】B
【分析】根据函数零点的定义，导数的运算公式，结合正弦型函数的最值性质进行求解即可.
【详解】因为在内恰好有4个零点，
所以，即，
所以，又，所以，
所以，，
所以，其中．
故选：B
二、多选题
9．若，则下列说法不成立的是（ ）
A．若且，则B．若且，则
C．若，则D．若，则
【答案】ABD
【分析】A.由判断；B.由判断；C.作差法判断；D作差法判断.
【详解】A.若得不到，故错误；
B.若时，不成立，故错误；
C.因为，所以，故正确；
D. ，所以，故错误；
故选：ABD.
10．函数的部分图像如图所示，将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，给出下列关于的结论，其中正确的是（ ）

A．函数的最小正周期为
B．函数的图像关于直线对称
C．函数的图像关于点对称
D．函数在上最大值为
【答案】AC
【分析】由函数的图像求出函数解析式，根据平移得的解析式，求的最小正周期，对称轴对称中心和区间内的最值，验证各选项即可.
【详解】由函数的图像可知，，
函数的最小正周期为，则，得，
由，得，则，
由，又，得，
所以，，
函数的最小正周期，A选项正确；
，不是的最值点，
直线不是函数图像的对称轴，B选项错误；
，函数的图像关于点对称，C选项正确；
时，，当即时，最大值为1，D选项错误.
故选：AC
11．如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则以下说法正确的是（ ）

A．平面EFG
B．直线EG与平面ABCD所成角的正弦值为
C．异面直线EG和BC所成角的余弦值为
D．若动直线A1M与直线AC的夹角为30°，且与平面EFG交于点M，则点M的轨迹构成的图形的面积为
【答案】ABD
【分析】连接,证明,进而判断选项A;建立直角坐标系，平面的法向量，求解直线与平面的正弦值，判断选项B；利用向量求解与的余弦值，判断选项C；根据直线与直线的夹角为,求出M的轨迹，求出其面积，判断选项D.
【详解】对于A，连接，则，
又分别为中点，所以,所以,
又平面,且平面,所以平面，故A选项正确；
对于B，建立如图所示空间直角坐标系，，,,,,

则,平面的法向量，
则，
故直线与平面的正弦值为，故B选项正确；
对于C, ,则,
所以异面直线与的余弦值为，故选项C错误；
对于D，根据直线与直线的夹角为，形成以AC为对称轴，以AM所在的线段为母线的圆锥，又因为,,,平面EFG,所以平面EFG，则的轨迹是半径为，则面积为 ，故选项D正确.
故选：ABD
【点睛】根据题意建立空间直角坐标系，求出方向向量和法向量，空间想象能力的培养尤其重要.
12．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．为偶函数
C．在上为增函数D．函数有11个零点
【答案】ABD
【分析】对于A选项：根据为奇函数，为偶函数得到的对称中心、对称轴和周期，然后根据周期性和解析式即可判断；对于B选项：根据关于对称和的周期为8，可得到关于直线对称，进而判断；对于C选项：根据解析式、对称性和周期性画出函数图象，然后根据图象即可判断；对于D选项：将方程的解转化为函数与图象交点的横坐标，然后结合图象即可判断.
【详解】因为为奇函数，所以关于点对称，即，
因为为偶函数，所以关于直线对称，即，
所以，所以，
所以，可得到：周期为8，
对于A选项：因为，所以，
故选项A正确；
对于B选项：因为关于直线对称，周期为8，所以关于直线对称，所以为偶函数，故B正确;
对于C选项：结合图象可得在上为减函数，故C选项错误；
对于D选项：画出函数与图象，可知这两个图象只有11个交点，所以函数有11个零点，故D选项正确.
故选：ABD.

【点睛】关键点睛：本题的关键是充分利用函数的对称性、周期性并做出函数图象，数形结合分析选项.
三、填空题
13．已知等差数列的前n项和为，若，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由等差数列的性质得，则，利用基本不等式求最小值即可.
【详解】等差数列中，，，得，公差，
则，得，且，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
14．已知是边长为的等边三角形,在边上,且,为的中点,则 .
【答案】
【分析】建立直角坐标系,利用坐标求解
【详解】
如图,以BC中点为坐标原点建立直角坐标系,则
因为,所以
因为为AD的中点,所以
所以
故答案为：
15．在三棱锥中，是等边三角形，，平面平面，若该三棱锥的外接球表面积为，则 .
【答案】2
【分析】利用两面垂直的三棱锥外接球半径满足公式，列式计算求得，再利用勾股定理即可得解.
【详解】依题意，作出三棱锥的直观图，如图，不妨记，

因为该三棱锥的外接球表面积为，设该外接球的半径为，
则，解得，
因为，所以是外接圆的直径，即，
因为是等边三角形，记外接圆的直径为，
则，
因为平面平面，两者交线为，即，
所以由，得，解得，
记的中点为，连接，
因为是等边三角形，所以，
又平面平面，两者交线为，平面，
所以平面，又平面，所以，
在等边中，，则，
在中，，
所以在，.
故答案为：.
16．已知点是以为焦点的抛物线的对称轴与准线的交点，点在抛物线上，且满足，若点恰好在以，为焦点的椭圆上，则该椭圆的离心率为 .
【答案】/
【分析】根据题意利用数型结合方法，由，再结合抛物线定义及椭圆定义知识得到的关系，从而可求解.
【详解】由题设抛物线方程为，，设，作轴，交轴于点，如图，

则由，即，
因为，所以，
所以，，，即点与点重合，
所以，，
由椭圆的定义得，由，
所以椭圆的离心率.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：利用并结合抛物线定义及椭圆定义求出的关系从而求解.
四、解答题
17．已知函数（其中均为常数，）的部分图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)求函数在上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角函数的图象与性质计算即可.
（2）根据三角函数在指定区间求值域的方法求值域.
【详解】（1）由图象知，
记周期为T，则
所以
所以
又因为
所以
得
因为所以
所以 ；
（2）
因为
所以
所以
所以
所以函数的值域为
18．在四棱柱中，底面是矩形，.
(1)证明：平面⊥平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明即可.
（2）建系，借助于二面角的向量求法求解.
【详解】（1）
设中点为,连接，，
因为得，
因为
所以
又
所以
在中，
所以
故为直角三角形，
因为，平面，平面，
故平面，
因为平面，所以平面平面；
（2）如图，以为坐标原点，分别以方向为轴，轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系
故，，，，
则﹚
设平面的一个法向量为
则，即
令,则，
设平面的一个法向量为
则即
令则，
，
由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为
19．已知椭圆经过两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)点在椭圆上，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将两点代入椭圆方程，解得答案.
（2）设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为，根据相切得到，计算两条直线之间的距离，得到面积的最大值.
【详解】（1）椭圆经过两点，则，
解得：，故椭圆方程为：；
（2），设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为，
，即，，即，
要使的面积最大，则为直线与椭圆在第三象限的切点，此时，
的方程为：，
又直线的方程为：，
点到直线的最大距离为直线与直线的距离，，
又，
的最大面积.
20．已知正项数列的前n项和为，且满足，，，数列满足．
(1)求出，的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求证：．
【答案】(1)，；
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件可得数列是等比数列，求出其通项公式，再利用累加法求出数列的通项公式；先求出，再求出当时，数列满足的等式，即可求出数列的通项公式；
（2）写出数列的通项公式，利用裂项相消法求出数列的和，即可求证．
【详解】（1）由，
得．又，
则数列是首项为2，公比为2的等比数列，
∴，
∴，，…，，
累加得，
∴．
数列满足，①
当时，；
当时，，②
由①－②可得，
当时，也符合上式，
故数列的通项公式为．
（2）由（1）可得，
则
，
故成立．
21．如图，为了测量某条河流两岸两座高塔底部A，B之间的距离，观测者在其中一座高塔的顶部D测得另一座高塔底部B和顶部C的视角的正切值为（即），已知两座高塔的高AD为30m，BC为60m，塔底A，B在同一水平面上，且，．
(1)求两座高塔底部A，B之间的距离；
(2)为庆祝2023年春节的到来，在两座高塔顶部各安装了一个大型彩色灯饰．政府部门为了方便市民观赏这两个彩色灯饰，决定在A，B之间的点P处（点P在线段AB上）搭建一个水上观景台，为了达到最佳的观赏效果，要求最大，问：在距离A点多远处搭建，才能达到最佳的观赏效果?
【答案】(1)60m
(2)在距离A处米处搭建，才能达到最佳的观赏效果
【分析】（1）由二倍角的正切公式与三角比的定义求解；
（2）由两角和的正切公式表达为关于的函数后求解最值.
【详解】（1）由题知，，，，，
如图，作，垂足为E，则四边形ABED为矩形，所以．
所以，所以，
设，则，
解得或（舍去），
所以，
所以两座高塔底部A，B之间的距离为60m．
（2）设，则．
所以，，
所以
．
设，则，
所以
，
当且仅当即时，等号成立．
又因为在锐角范围内，越大，越大，
所以当时，取得最大值，此时．
所以在距离A处米处搭建，才能达到最佳的观赏效果．
22．已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)在上单调递减
(2)
【分析】（1）代入后，再对求导，同时利用三角函数的平方关系化简，再利用换元法判断得其分子与分母的正负情况，从而得解；
（2）法一：构造函数，从而得到，注意到，从而得到，进而得到，再分类讨论与两种情况即可得解；
法二：先化简并判断得恒成立，再分类讨论，与三种情况，利用零点存在定理与隐零点的知识判断得时不满足题意，从而得解.
【详解】（1）因为，所以，
则
，
令，由于，所以，
所以，
因为，，，
所以在上恒成立，
所以在上单调递减.
（2）法一：
构建，
则，
若，且，
则，解得，
当时，因为，
又，所以，，则，
所以，满足题意；
当时，由于，显然，
所以，满足题意；
综上所述：若，等价于，
所以的取值范围为.
法二：
因为，
因为，所以，，
故在上恒成立，
所以当时，，满足题意；
当时，由于，显然，
所以，满足题意；
当时，因为，
令，则，
注意到，
若，，则在上单调递增，
注意到，所以，即，不满足题意；
若，，则，
所以在上最靠近处必存在零点，使得，
此时在上有，所以在上单调递增，
则在上有，即，不满足题意；
综上：.
【点睛】关键点睛：本题方法二第2小问讨论这种情况的关键是，注意到，从而分类讨论在上的正负情况，得到总存在靠近处的一个区间，使得，从而推得存在，由此得解.