2024届天津市滨海新区塘沽第二中学高三上学期第三次月考数学试题含答案

这是一份2024届天津市滨海新区塘沽第二中学高三上学期第三次月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据交集、补集的定义可求.
【详解】由题设可得，故，
故选：B.
2．“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据方程表示双曲线求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若方程表示双曲线，则，解得，
所以由推不出方程表示双曲线，故充分性不成立，
由方程表示双曲线推得出，故必要性成立，
所以“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件.
故选：B
3．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的定义域、奇偶性以及的值来确定正确选项.
【详解】由题意，函数的定义域为，
且，所以函数为奇函数，
其图象关于原点对称，所以排除C、D项，
，所以排除B项．
故选：A
4．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.
【详解】因为，，即，
因为，，所以，则，
所以，即，
所以.
故选：C
5．从1，2，3，4，5五个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（ ）
A．24个B．36个C．48个D．54个
【答案】B
【分析】先选后排，计算出结果.
【详解】先从2个偶数中选出1个，再从3个奇数中选出2个，先选后排，共有（个）.
故选：B.
6．已知，则的值（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】由，得到，然后由求解.
【详解】解：因为，
所以，
所以，
故选：C
7．从写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任选2张，其上数字和为偶数的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先按照组合求解基本事件，然后将数字分为奇偶两类，根据数字和为偶数的数字特征求解出满足要求的事件个数，最后求解概率即可；
【详解】从写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任选2张共有个结果，
而2张卡片上的数字和为偶数的条件为2个奇数或2个偶数，
张卡片上的数字和为偶数包含个结果，
张卡片上的数字和为偶数的概率是．
故选：．
8．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，离心率为，若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由抛物线的定义可求出的值，进而确定点的坐标，再结合双曲母的的几何性与两条直线的垂直关系，可求出的值，从而可求出双曲线的方程
【详解】设抛物线的焦点为，则抛物线的定义可得，解得，
所以抛物线的方程为，
因为点在抛物线上，
所以，得，
所以，
由题意得，双曲线的渐近线方程为，
因为离心率为，所以，
所以，得，
因为双曲线的一条渐近线与直线垂直，
所以，得，
所以由，得，
所以双曲线的方程为，即，
故选：C
9．已知函数，则下列说法正确的是（ ）.
A．的最大值为2
B．由的图像向左平移个单位
C．的最小正周期为
D．的单调递增区间为（）
【答案】D
【分析】根据三角恒等变换公式可将化简为，然后根据各选项的要求分别求得函数的最大值、最小正周期、单调递增区间以及函数图象平移后的解析式，最后作出判断即可.
【详解】
，
显然的最大值为，故A错误；
的图像向左平移个单位后解析式为
，故B错误；
的最小正周期为，故C错误；
令（），解得（），所以
的单调递增区间为（），故D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查简单三角恒等变换，考查正弦型函数的图象和性质，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
二、填空题
10．已知是虚数单位，化简的结果为 ．
【答案】/
【分析】由复数的除法运算计算．
【详解】，
故答案为：
11．若的二项展开式中所有二项系数的和等于，则在的展开式中，的系数是 ．
【答案】
【分析】由二项式系数和求出，再写出展开式的通项，即可求出的系数.
【详解】因为的二项展开式中所有二项系数的和等于，
所以，则，
则展开式的通项为（其中且），
令，解得，
所以展开式中的系数为．
故答案为：．
12．圆与圆的公共弦所在的直线方程为 ，公共弦长= .
【答案】
【解析】两圆作差可得公共弦所在直线方程，由垂径定理计算弦长即可.
【详解】由和作差得：，
整理得，即为公共弦所在的直线方程；
圆即为，圆心为，半径为，
圆心到公共弦所在的直线的距离为：，
所以公共弦长=.
故答案为：；.
13．已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为 ．
【答案】
【分析】依题意可得抛物线的准线为，即可求出，从而求出，再由渐近线方程求出，即可求出.
【详解】依题意可得抛物线的准线方程为，即，所以，
则抛物线的焦点为，则双曲线的左顶点为，即，
由双曲线的一条渐近线为，又双曲线的渐近线方程为，所以，
则，所以双曲线的焦距为.
故答案为：
14．已知，求的最小值为 .
【答案】/.
【分析】将函数的解析式变形，然后利用基本不等式可求出最小值.
【详解】，，
，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故答案为：.
15．如图，在中，，D,E分别边AB,AC上的点,且，则 ，若P是线段DE上的一个动点，则的最小值为 .
【答案】 1
【解析】由利用数量积公式可求的值为1，设的长为，则，，利用平面向量的几何运算法则结合数量积的运算法则，可得，再利用配方法可得结果
【详解】，；
又因为且，为正三角形，
，，，
设的长为（），则，，
时取等号，
的最小值为.
故答案为：1，.
【点睛】向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．
三、解答题
16．在中，角，，的对边分别为，，，已知，
(1)求；
(2)求，的值；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）由正弦定理将边化角，再由同角三角函数的基本关系计算出；
（2）由三角形面积公式得出，再由余弦定理得出，进而得出，的值；
（3）计算，再由差角公式求解即可.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
又，所以，所以，
因为，所以，所以，
又，解得或（舍去）.
（2）由（1）知，
因为，所以，
所以，即①，
由余弦定理知，
所以，即②，
又，所以由①②解得，．
（3）由余弦定理，即，
解得，因为，所以，
所以．
17．如图，平面，，，，，
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）因为平面，，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
所以，，
所以，，即，，
又，平面，所以平面.
（2）因为，，设平面的法向量为，
则，取，又平面的法向量可以为，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
（3）点到平面的距离.
18．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，点A在椭圆C上，，，过与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点，且，求直线l的方程.
【答案】(1)
(2) 或
【分析】(1)根据椭圆的几何性质和条件列方程求出a，b，c；
(2)设直线l的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理求出中点N的坐标，再利用 ，求出直线l 的斜率.
【详解】（1） ，在 中， ，
即 ， ，
解得： ， ，
椭圆C的方程为： ；
（2）
由题意设l的方程为： ， ，
联立方程 ，得 ，
，
， ，
， ，即 ，
化简得： ， ，
直线l的方程为 或者 ；
综上，椭圆C的方程为：，直线l的方程为 或者 .
19．设椭圆（）的左右焦点分别为，，左右顶点分别为A，B，，.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知P为椭圆上一动点（不与端点重合），直线交y轴于点Q，O为坐标原点，若四边形与三角形的面积之比为，求点P坐标.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）根据已知线段长度求解出的值，然后根据求解出的值，则椭圆方程可求；
（2）根据条件将问题转化为三角形与三角形的面积比，由此得到关于的关系式，通过联立直线与椭圆方程求得对应坐标，然后求解出参数值则的坐标可求.
【详解】（1）因为，，所以，
所以，所以，
所以椭圆方程为；
（2）如下图所示：
因为四边形与三角形的面积之比为，
所以三角形与三角形的面积比为，
所以，所以，
显然直线的斜率不为，设直线的方程为，
联立，所以，
所以，，
所以，解得，
当时，，，
所以，所以，
当时，，，
所以，所以，
综上可知，点坐标为或.
20．已知等差数列的前n项和为，，，数列满足：，．
(1)证明：是等比数列；
(2)证明：；
(3)设数列满足：．证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据等比数列的定义，结合递推公式，即可证明；
（2）根据条件求和，再代入不等式，利用作差法，即可化简证明；
（3）根据数列的通项公式，分别求奇数项和偶数项的和，再分别利用裂项相消法和错位相减法求和，即可证明.
【详解】（1）由，得，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，．
（2）设等差数列的公差为，
，得，
所以，，
，，
，得证．
（3）当n为奇数时，，
，
当n为偶数时，，
，
设，
，
两式相减得
得，
所以，
所以．