2024届江西省宜春市十校高三上学期第一次联考数学试题含答案

这是一份2024届江西省宜春市十校高三上学期第一次联考数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数的性质求出集合，根据对数函数的性质求出集合，再根据交集的定义计算可得.
【详解】因为在上单调递减，当时，当时，
所以，
当时，，其中，即，
所以，所以.
故选：D.
2．已知复数z满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用复数的四则运算，求出复数z，可求.
【详解】由题意得，所以，所以，
故，所以.
故选：B.
3．已知直线，直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据，推出，得到充分条件，再根据，求解,得到必要条件，推出结果.
【详解】若，则，，易知，
所以“”是“”的充分条件；
若，则，且，所以，
所以“”也是“”的必要条件，
故“”是“”的充要条件.
故选：C
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式和二倍角公式求解值.
【详解】.
故选:B
5．已知P为双曲线右支上的一个动点，若点P到直线的距离大于m恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】把所求问题转化为求点到直线的最小距离，结合渐近线和与之平行线间的距离公式可求.
【详解】双曲线C的渐近线方程为，
直线与其中一条渐近线平行，
二者之间的距离，且直线在直线的左边，
由题意知点P到直线的距离大于，
所以，
所以实数m的取值范围为.
故选：C.
6．在平面直角坐标系中，，，，动点P满足，则的最大值是（ ）
A．6B．C．5D．
【答案】A
【分析】首先求出点P的轨迹方程，再根据平面向量的坐标运算表示出，再由几何意义求出点P到点的距离的最大值即可.
【详解】由，得动点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，其方程为，设，则，表示圆C上的点P到点的距离，所以.
故选：A.
7．已知棱长为4的正四面体，用所有与点A，B，C，D距离均相等的平面截该四面体，则所有截面的面积和为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】找到两类截面，分别为一类是平面的一侧是1个点，另外一侧有3个点（如图1），
此时截面过棱的中点，且与一个面平行；另外一类是平面的两侧各有2个顶点（如图2），
因为正四面体对棱垂直，分别计算出面积即可.
【详解】与点A，B，C，D距离均相等的平面可分为两类，
一类是平面的一侧是1个点，另外一侧有3个点（如图1），
此时截面过棱的中点，且与一个面平行，
故截面三角形与平行的面（三角形）相似，相似比为，故其面积为，
这样的截面共有4个，故这类截面的面积和为，
另外一类是平面的两侧各有2个顶点（如图2），
因为正四面体对棱垂直，易知四边形PQMN是边长为2的正方形，其面积为4，
这样的截面共有3个，故这类截面的面积和为12，
故符合条件的截面的面积和为.
故选：A．
图1 图2
8．若为R上的奇函数，为其导函数，当时，恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构造函数，求导得到单调性，进而得到为偶函数，从而得到不等式，求出答案.
【详解】令，则，
由题意知当时，，故在上单调递增．
因为为奇函数，所以，
即为偶函数，所以原不等式变为，所以，
所以，解得或，
故原不等式的解集为.
故选：D．
二、多选题
9．已知曲线，则（ ）
A．E关于原点对称B．E关于y轴对称
C．E关于直线对称D．为E的一个顶点
【答案】ACD
【分析】用轴对称和点对称的定义逐一判断即可.
【详解】A:用和替换方程中的x和y，化简后方程不变，故曲线E关于原点对称，故A正确；
B：用替换方程中的x，方程变为，与原方程不同，故E不关于y轴对称，故B错误；
C：用y替换方程中的x，同时用x替换方程中的y，方程不变，故E关于直线对称，故C正确；
D：用替换y，同时用替换x，方程不变，故E关于直线对称，联立解得或由顶点的定义知，为E的一个顶点，故D正确.
故选：ACD.
10．已知函数，，，，它们的最小正周期均为，的一个零点为，则（ ）
A．的最大值为2
B．的图象关于点对称
C．和在上均单调递增
D．将图象向左平移个单位长度可以得到的图象
【答案】BCD
【分析】先由题意求得与的解析式，再利用三角恒等变换化简，从而判断AB，再利用三角函数的性质与图象变换判断CD，由此得解.
【详解】因为的最小正周期为，，故，所以，
所以，
又的一个零点为，
所以，即，
又，，故，所以，
所以，，
所以
，
故，故A错误；
又，故的图象关于点对称， B正确；
对于，由，得，
所以在上单调递增，
对于，由，得，
所以在上单调递增，故C正确；
将的图象向左平移个单位长度，
得，故D正确.
故选：BCD．
11．已知F为抛物线的焦点，，是C上两点，O为坐标原点，M为x轴正半轴上一点，过B作C的准线的垂线，垂足为，的中点为E，则（ ）
A．若，则四边形的周长为
B．若，则的面积为
C．若，则E到y轴的最短距离为3
D．若直线过点，则为定值
【答案】BD
【分析】对于A，由条件可得垂直于轴，然后可得四边形的周长，对于B，由条件可得点的横纵坐标，即可得的面积，对于C，过A，E分别作C的准线的垂线，垂足分别为，，根据抛物线的定义可得，得解；对于D，设直线的方程为，与抛物线联立方程，由韦达定理，代入所求式子化简得解.
【详解】对于A，由题意知|，且轴，由抛物线的定义知，故，
所以，所以，
所以四边形的周长为，故A错误；
对于B，，则，所以，
所以，故B正确；
对于C，过A，E分别作C的准线的垂线，垂足分别为，，则，
当且仅当直线过点F时等号成立，所以点E到y轴的最小距离为，
故C错误；
对于D，设直线的方程为，联立方程，得，消去x并整理，得，
则，且，，故
，即为定值，故D正确.
故选：BD.
12．如图，已知正三棱台的上、下底面的边长分别为4和6，侧棱长为2，以点为球心，为半径的球面与侧面的交线为曲线，为上一点，则（ ）
A．的最小值为
B．存在点，使得
C．存在点及上一点，使得
D．所有线段所形成的曲面的面积为
【答案】ACD
【分析】把棱台补成棱锥画出图形，由于曲线为圆的一部分，先证明平面，可知为圆心，选项A可以根据点到圆的最短距离可得；选项B，根据线面垂直的性质可得；选项C，根据线线平行的判定可知；选项D根据扇形面积公式可得,
【详解】
延长正三棱台的三条侧棱交于点，取的中点，连接交于，
则为的中点，由题意得，
所以，，所以，，
所以，
所以，所以，
所以，
由正三棱台的性质可得，，，
又平面，所以平面ADE，
又平面ADE，所以，
又，平面，所以平面.
又球A的半径为，故在侧面上的截面圆的半径，
故曲线是以点为圆心，以2为半径的两段圆弧和（如图所示，其中，为上到点距离为2点）．
，故的最小值为，故正确；
因为平面，要使，则在线段上，又在和上，
由图知，二者无公共点，故不存在点，使得，故B错误；
当点在点处时，AP∥平面，过点，，作平面必与有公共点，
故存在以及上的点，使得，故C正确；
易求得，所以和的长均为，所有线段所形成的曲
面的展开图为两个扇形，其面积和为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．已知平面向量满足，，则 .
【答案】/0.25
【分析】利用模长公式，数量积的定义及运算法则，求解即可.
【详解】因为，所以，又，所以，
所以.
故答案为：.
14．已知实数x，y满足，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】设，转换为直线与圆有公共点即可.
【详解】设，则，由题意知，直线与圆有公共点，
故，解得，故的取值范围为.
故答案为：.
15．已知函数，若对不相等的正数，有成立，则的最小值为 .
【答案】
【分析】对于函数整理变形，再利用，可得，利用基本不等式求解最小值.
【详解】，
由不相等的正实数，且，
则，
则，
因为，
所以，
故，则，
又，所以，
当且仅当，即，时取等号，
故的最小值为.
故答案为：
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与C在第一、第三象限分别交于点A，B，若，则C的离心率的取值范围是 .
【答案】
【分析】设，，由圆和椭圆的性质和已知条件可得，，，则有，通过构造函数，利用单调性求出值域，得的取值范围，可求离心率的取值范围.
【详解】设，，因为点A在第一象限，所以.
又A，B均在以线段为直径的圆上，所以四边形为矩形，即．
因为，所以，即.
因为，，所以，即.
因为，设，，则，.
对勾函数在区间上单调递增，所以，即.
当时，解得，即，解得；
当时，解得，即，即，
所以.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：
椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
四、解答题
17．如图，在中，，，过B，C分别作AB，AC的垂线交于点D.
(1)若，求；
(2)若，求CD.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1），由得，在和中，由余弦定理表示，结合，可求；
（2）时，由余弦定理求出，在中由正弦定理得，又，可得和，在中正弦定理求.
【详解】（1）由题意，得，所以，
，，，由得.
在中，由余弦定理，得，
即，
在中，由余弦定理，得，
即，
两式联立消去，得，所以.
（2）因为，，所以，
在中由余弦定理，，得.
在中，由正弦定理，得，所以，
又，所以，
所以，
在中，，所以.
18．已知各项均为正数的数列，，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，的前n项和为，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由得，所以是等差数列，求得及；
（2）用裂项求和求得，数列单调递增求得范围.
【详解】（1）因为，
当时，，由知，所以.
当时，，代入，得，
两边同除以，得，
所以是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，所以.
又，所以.
（2）证明：由（1）得，
当时，
，
而当，2时，，也满足上式，所以.
因为，，所以，
易知数列单调递增，所以，
所以.
19．已知动点P到点的距离是到直线的距离的倍，记动点P的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)过点能否作一条直线l，使得l与交于B，C两点，且A是线段BC的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在过点A的直线满足条件，理由见解析
【分析】（1）设，由已知条件列等式求轨迹方程；
（2）假设直线存在，利用点差法解决中点弦问题.
【详解】（1）设，因为，所以，
点P到直线的距离，
由题意知，即，
化简，得，即的方程为.
（2）假设存在直线满足条件，设，，则
，，
所以，即，
因为A为线段BC的中点，所以，，即，，
所以，所以，即l的斜率为4，
所以直线l的方程为，即.
联立方程，得，消去y并整理得，
，
所以直线l与无公共点，这与直线l与交于B，C两点矛盾，
故不存在过点A的直线满足条件.
20．如图，在三棱柱中，，，D，E分别是CB，CA的中点，.
(1)若平面平面，求点到平面ABC的距离；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用点点距离公式可得点，进而根据面面垂直得法向量垂直，即可根据向量的坐标运算求解，根据线面垂直即可求解距离，
（2）根据法向量的夹角即可求解.
【详解】（1）以C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设，因为，，，
所以，则，，，.
设平面的一个法向量，则，即
令，则，，所以，
设平面的一个法向量，则，即令，则，，所以.
因为平面平面，所以，
所以，即，所以，
所以，所以点在z轴上，即平面ABC，
因为平面ABC，所以，
又，，所以，
故到平面ABC的距离为.
（2）由（1）知，由，则，
因为，所以，
所以，，所以.
由（1）知平面的一个法向量，平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面的夹角的余弦值为.
21．已知函数.
(1)当时，存在，使得，求M的最大值；
(2)已知m，n是的两个零点，记为的导函数，若，且，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，求出最值，得到，求出答案；
（2）根据零点得到方程组，相减求出，求导得到，化简换元后得到只需证，，构造函数，求导得到其单调性，证明出结论/
【详解】（1）当时，，
则的定义域为，且，
当时，，所以在上单调递增，
所以在上的最大值为，最小值为，
由题意知，
故M的最大值为.
（2）证明：由题意知，，
所以，
所以.
因为，
所以
，
所以要证，只要证，
因为，所以只要证，
令，则，即证，
令，则，
因为，所以，
所以在上单调递增，
所以，
所以，所以.
【点睛】极值点偏移问题，经常使用的方法有：比值代换，构造差函数，对数平均不等式，变更结论等，若不等式中含有参数，则消去参数，再利用导函数进行求解.
22．已知椭圆的长轴长为，离心率为，斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点A，B.
(1)求的方程；
(2)若直线l的方程为，点关于直线l的对称点N（与M不重合）在椭圆上，求t的值；
(3)设，直线PA与椭圆的另一个交点为C，直线PB与椭圆的另一个交点为D，若点C，D和点三点共线，求k的值.
【答案】(1)
(2)
(3).
【分析】（1）根据长轴，离心率及求出椭圆方程；
（2）设点关于直线l的对称点为，列出方程组，求出，代入椭圆方程，求出值，舍去不合要求的值；
（3）设和直线PA的方程，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，表达出，同理设，得到，根据三点共线得到方程，求出答案.
【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，
因为椭圆的长轴长为，离心率为，
所以，，所以，
所以.
故椭圆的方程为.
（2）设点关于直线l的对称点为，
则，解得，则，
由N在椭圆P上，可得，
整理得，解得或.
当时，点与点M重合，舍去，
当时，点，满足要求.
（3）设，，，，则，.
又，设PA的斜率为，则，直线PA的方程为，
由消去y并整理得，
则，所以.
又，所以，
所以，则，
同理可求得.又，
则，
.
由点C，D和点三点共线，所以，
则，
可得，则.
【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，处理三点共线，四点共圆，或两直线倾斜角互补或相等问题时，往往会转化为斜率之和为0或斜率相等或转化为向量来进行解决，进而列出方程，代入计算即可.