河北省衡水市武强中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份河北省衡水市武强中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

出题人：刘宽新
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合,，则（ ）
A. B. C. D.
3. 一个扇形的圆心角为150°，面积为，则该扇形半径为（ ）
A 4B. 1C. D. 2
4. 函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则等于
A. B. C. D.
5. 已知，则
A. B. C. D.
6. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ）
A. B. 2C. 0D. 2023
8. 已知函数，若，则与的大小关系是（ ）
A. B.
C. D. 与和有关
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 设且，则下列不等式正确是（ ）
A. B.
C. D.
10. 在同一直角坐标系中，函数与且a≠1)的大致图象如图所示，则下列数中可能是实数a的取值的有（ ）
A. B. C. D.
11. 函数是定义在上的奇函数，下列命题：
①；
②若在上有最小值，则在上有最大值；
③若在上为增函数，则在上为减函数；
④若时，，则．其中正确的命题是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
12. 关于函数有下列命题，其中正确的是（ ）
A. 表达式可改写为；
B. 是以为最小正周期的周期函数；
C. 的图像关于点对称；
D. 的图像关于直线对称．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13 已知集合，，则等于______．
14. 幂函数在上为减函数，则的值为________．
15. 函数（）为增函数的区间是 ．
16. 若函数在上单调递增，则的取值范围为_________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，函数的定义域为集合．
（1）求；
（2）若，求时的取值范围．
18. 已知角α为第一象限角，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
19. 已知函数,．
（1）求函数的定义域；
（2）若函数的最小值是，求实数的值．
20. 已知函数.
（1）求函数的单调递增区间和最小正周期.
（2）若当时，关于的不等式__________，求实数的取值范围.请选择①和②中的一个条件，补全问题（2），并求解.其中，①有解；②恒成立.
注：若选择两个条件解答，则按照第一个解答计分.
21 已知
（1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
（2）当，求的最小值．
22. 已知函数.
（1）解不等式；
（2）若关于x的方程在上有解，求m的取值范围；
（3）若函数，其中为奇函数，为偶函数，若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围.
武强中学2023-2024学年度上学期期末测试
高一数学试题
出题人：刘宽新
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用诱导公式化简可直接求得结果.
【详解】.
故选：D
2. 已知集合,，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的并集运算求解即可.
【详解】根据集合的并集运算，得.
故选：C.
3. 一个扇形的圆心角为150°，面积为，则该扇形半径为（ ）
A. 4B. 1C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】利用扇形的面积公式：，即可求解.
【详解】圆心角为，设扇形的半径为，
，
解得.
故选：D
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，需熟记公式，属于基础题.
4. 函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则等于
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：由题意知二次函数的对称轴为，则，所以函数的解析式为，.故选D.
考点：二次函数性质的应用.
【方法点晴】此题主要考查二次函数图象对称轴与单调区间等有关方面知识与技能，属于中低档题型.二次函数的对称轴是二次函数图象增与减的分界线，若，即开口向上，则图象在对轴的左侧为单调递减，右侧为单调递增；若，即开口向下，则图象在对称轴的左侧为单调递增，右侧为单调递减.由题意知，二次函数的对称轴为，从而问题可得解.
5. 已知，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】运用中间量比较，运用中间量比较
【详解】则．故选B．
【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．
6. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
7. 已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ）
A. B. 2C. 0D. 2023
【答案】C
【解析】
【分析】函数既关于原点对称又关于轴对称，则是周期为4的周期函数.将代入已知得到一个周期内的四个值，利用周期性求和.
【详解】因为是定义域为的奇函数，所以且.
因为，所以
所以
所以是周期为4的周期函数.
因为，
所以在中令可得，
在令可得，
在令可得
所以.
故选：C
8. 已知函数，若，则与的大小关系是（ ）
A. B.
C D. 与和有关
【答案】A
【解析】
【分析】由题意求得，再利用作差法，结合诱导公式即可得解.
【详解】因为，，
所以，则，所以，
所以
，
所以.
故选：A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 设且，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据基本不等式进行判断．
【详解】由得，A正确；
在时，，但不成立，B错；同理C也错误；
时，，，当且仅当时等号成立，D正确．
故选：AD．
10. 在同一直角坐标系中，函数与且a≠1)的大致图象如图所示，则下列数中可能是实数a的取值的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】
结合图像中的处的函数值关系，得到参数a的范围，从而得到选项.
【详解】由图象可知，则.
故选：BC.
11. 函数是定义在上的奇函数，下列命题：
①；
②若在上有最小值，则在上有最大值；
③若在上为增函数，则在上为减函数；
④若时，，则．其中正确的命题是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】AB
【解析】
【分析】利用奇函数的性质逐项判断可得出结论.
【详解】对于①，若函数是定义在上的奇函数，则，即，①对；
对于②，若在上有最小值，则在上有最大值，②对；
对于③，若在上为增函数，则在上为增函数，③错；
对于④，若时，，则，则，④错.
故选：AB.
12. 关于函数有下列命题，其中正确的是（ ）
A. 的表达式可改写为；
B. 是以为最小正周期周期函数；
C. 的图像关于点对称；
D. 的图像关于直线对称．
【答案】AC
【解析】
【分析】
首先利用诱导公式化简可得A选项正确；可判断函数的最小正周期为，计算函数的对称中心及对称轴，可判断C选项正确.
【详解】对A，，故A正确；对B，的最小正周期为，故B错误；对C，的对称中心为
，当时，对称中心为，故C正确；对D，的对称轴为，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知集合，，则等于______．
【答案】
【解析】
【分析】列出方程组，解出即可得到交集.
【详解】由题意可得：，解得：，
∴，
故答案为：.
14. 幂函数在上为减函数，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数定义求出的值，再利用单调性进行检验即得.
【详解】因是幂函数，则，解得：或.
当时，，此时函数在上为增函数，舍去；
当时，，此时函数在上为减函数，符合题意.
故答案为：.
15. 函数（）为增函数的区间是 ．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：因为,所以只要求函数的减区间即可.解可得,即,所以,故答案为.
考点：三角函数的图象和基本性质的运用．
【易错点晴】本题以函数的表达式的单调区间为背景,考查的是三角函数中形如的正弦函数的图象和性质.解答时先从题设中的条件增函数入手,对函数进行变形,将其变形为一般式,将其转化为求函数的减区间.最后将其转化为正弦函数的单调递减区间的求法.通过解不等式使得本题获解.
16. 若函数在上单调递增，则的取值范围为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意得分段函数的两段都为增函数，再比较x=1处的函数值，即可得答案.
【详解】由题意得：当时，为增函数，所以
当时，为增函数，所以，解得，
且，解得
综上，的取值范围为，
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，函数的定义域为集合．
（1）求；
（2）若，求时的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解一次与二次不等式，结合具体函数定义域的求法化简集合，再利用交集的运算即可得解；
（2）利用集合的并集结果即可得解.
【小问1详解】
集合，
由，得或，则集合或，
所以.
【小问2详解】
因为，，则，
故的取值范围是．
18. 已知角α为第一象限角，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】(1);(2)7
【解析】
【分析】
（1）利用同角三角函数的平方关系、商数关系，即可得答案；
（2）利用诱导公式进行化简得到关于，的式子，再转化成关于的式子，即可得答案；
【详解】（1）角α为第一象限角，且，
，
.
（2）原式.
【点睛】本题考查同角三角函数基本关系、诱导公式化简求值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.
19. 已知函数,．
（1）求函数的定义域；
（2）若函数的最小值是，求实数的值．
【答案】（1）的定义域为;（2）
【解析】
【详解】试题分析：（1）利用对函数的性质，真数都大于零可列关于 的不等式组，解不等式组即可确定函数的定义域；（2）先化简 ，利用复合函数的单调性之间的关系，结合二次函数配方法求最小值，列方程求解即可.
试题解析：（1）由题意得，解得
所以的定义域为
（2）
若则，由及得；
若，则，无最小值
综上得：
20. 已知函数.
（1）求函数的单调递增区间和最小正周期.
（2）若当时，关于的不等式__________，求实数的取值范围.请选择①和②中的一个条件，补全问题（2），并求解.其中，①有解；②恒成立.
注：若选择两个条件解答，则按照第一个解答计分.
【答案】（1），
（2）选择①，；选择②，
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的性质即可求解；
（2）若选择①，则不等式有解，即，求在上的最大值，即可求解；若选择②，则不等式恒成立，即，求在上的最小值，即可求解.
【小问1详解】
因为，所以函数的最小正周期.
因为函数的单调递增区间为，
所以，解得，所以函数的单调递增区间为.
【小问2详解】
若选择①：由题意可知，不等式有解，即.
因为，所以，故当，即时，取得最大值，且最大值为，所以.
若选择②：由题意可知，不等式恒成立，即.
因为，所以.故当，即时，取得最小值，且最小值为，所以.
21. 已知
（1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
（2）当，求的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）由二次函数的性质：区间单调性及对称轴，即可求参数的取值范围；
（2）应用分类讨论的方法，讨论对称轴与区间的位置，求最值即可.
【详解】（1）由题意，在单调递减，且对称轴为，
∴，即，故.
（2）由题意得：开口向上且对称轴为，
①时，，
②时，，
③时，，
.
22. 已知函数.
（1）解不等式；
（2）若关于x的方程在上有解，求m的取值范围；
（3）若函数，其中为奇函数，为偶函数，若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由换元法求解，
（2）参变分离后转化为求值域问题，
（3）由函数的奇偶性先求出，的解析式，再由换元法与参变分离求解，
【小问1详解】
设，则不等式可化为，解得，
则，故原不等式的解集为
【小问2详解】
即在上有解，
而，，故，
即m的取值范围是
【小问3详解】
由题意得，，
解得，，
故原不等式即对恒成立，
令，不等式可化为对恒成立，
，而，由对勾函数性质得当时取最大值，
则，实数a的取值范围是