辽宁省沈阳市重点学校联合体2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份辽宁省沈阳市重点学校联合体2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了已知，已知直线，则，在空间直角坐标系中，已知点，则等内容，欢迎下载使用。

（满分：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1．答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效．
4．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1．椭圆的短轴长为（ ）
A． B． C．3 D．6
2．的展开式中含的项是（ ）
A． B． C． D．
3．在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则的值为（ ）
A． B． C．10 D．13
4．电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为0～255．在电脑上绘画时，可以分别从这三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，则可配成的不同颜色种数为（ ）
A．种 B．27种 C．种 D．6种
5．若双曲线上一点到其右焦点的距离是8，则点到其左焦点的距离是（ ）
A．4 B．10 C．2或10 D．4或12
6．已知（均为有理数），则的值为（ ）
A．90 B．91 C．98 D．99
7．已知抛物线，圆，过圆心作斜率为的直线与抛物线和圆交于四点，自上而下依次为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．将20个无任何区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子内的小球个数不小于它的编号数，则不同的放法有（ ）
A．90种 B．120种 C．160种 D．190种
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知直线，则（ ）
A．是直线的法向量
B．直线的倾斜角为
C．直线与直线平行的充要条件是
D．直线在两坐标轴上的截距相等
10．在空间直角坐标系中，已知点，则（ ）
A．
B．
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．在上的投影的数量为
11．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆为顶点，分别为左、右焦点，为椭圆上一点，下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）
A．长轴长为4，短轴长为 B．
C．轴，且 D．四边形的内切圆过焦点
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．圆和圆的位置关系是______．
14．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有______种．
15．如图，在正六边形中，以为焦点，且经过点的双曲线的离心率______．
16．如图，正方体的棱长为2，P是过顶点的圆上的一点，为的中点．当直线与平面所成的角最大时，点的坐标为______；直线与平面所成角的正弦值的取值范围是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）已知，计算：；
（2）解方程：．
18．（12分）如图，分别是四面体的棱的中点，是的三等分点（点靠近点），记．
（1）以为基底表示；
（2）若，求．
19．（12分）圆内有一点，过点的直线交圆于两点．
（1）当为弦的中点时，求直线的一般式方程；
（2）若圆与圆相交于两点，求的长度．
20．（12分）已知的展开式的所有二项式系数之和为64．
（1）求该二项式及其展开式中的常数项；
（2）求展开式中系数最大的项．
21．（12分）如图，且且且平面．
（1）若为的中点，为的中点，求证：平面；
（2）求二面角的平面角的正弦值；
（3）若点在线段上，直线与平面所成的角为，求点到平面的距离．
22．（12分）已知双曲线的右焦点为，其渐近线与抛物线：交于点．
（1）求双曲线及抛物线的标准方程；
（2）设是双曲线与抛物线在第一象限的交点，作直线与双曲线的两支分别交于点，使得．求证：直线过定点．
2023-2024学年度（上）联合体高二期末检测
数学 参考答案及评分标准
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．B 【解析】在椭圆中，，所以短轴长为．
2．C 【解析】的展开式的通项公式为，所以含的项是．
3．B 【解析】因为，且三点共线，所以，解得．
4．A 【解析】分3步取色，第一、第二、第三步都有256种取法，根据分步乘法计数原理得，共可配成（种）不同的颜色．
5．D 【解析】由双曲线的方程可得，所以，可得．设右焦点为，左焦点为．当点在左支上时，则，所以；当点在右支上时，．
6．D 【解析】因为的展开式的通项公式为，所以．
7．A 【解析】如图，圆的圆心为，半径，且为抛物线的焦点，抛物线的准线方程为．设，则．因为，所以，则．设直线的方程为，显然，由得，所以，解得．
8．B 【解析】先在编号为2，3的盒子内分别放入1个，2个球，还剩17个小球，则三个盒子内每个至少再放入1个球．将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒子中即可，不同的放法共有（种）．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9．BD 【解析】A：直线的一个法向量为，但与向量不共线，A错误；
B：直线的斜率为，故倾斜角为，B正确；
C：把直线的方程改写为，则直线，平行的充要条件是，即，C错误；
D：直线在轴上的截距分别是，D正确．故选：BD．
10．AC 【解析】A：，所以，A正确；
B：，所以，B错误；
C：，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为，C正确；
D：，所以在上的投影的数量为，D错误．故选：AC．
11．ACD 【解析】A：令，得，A正确；
B：的展开式的通项为，所以，所以的展开式中项的系数，B错误；
C：令，得，C正确；
D：令，得．令，得．两式相减，得，所以，D正确．故选：ACD．
12．BD 【解析】A：当长轴长为4，短轴长为时，，A不符合题意；
B：当时，，即，B符合题意；
C：当轴，且时，，且，则，C不符合题意；
D：当四边形的内切圆过焦点时，点到直线的距离为，此时，解得．又，D符合题意．故选：BD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．外切 【解析】根据两圆的方程可知，，所以，所以两圆外切．
14．216 【解析】最左端排甲，共有（种）；最左端排乙，最右端不能排甲，有（种），所以不同的排法共有（种）．
15． 【解析】设正六边形的半径为，
如图，连接，则．
又，所以．
依题意，双曲线的实轴长，焦距，
所以该双曲线的离心率．
16． 【解析】过点作的垂线并延长，交于点，易得，所以．由图可知当点在点的位置时，直线与平面所成的角最大．
易得平面的一个法向量为．
设直线与平面所成的角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值的最大值为．
当平面时，直线与平面所成角的正弦值最小，为0，
所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．解：（1）因为，
所以，解得，
所以
．
（2）由，得，即，
所以，
解得（舍去），
所以原方程的解为．
18．解：（1）
．
（2）
，
所以．
19．解：（1）直线的斜率显然存在．因为为弦的中点，
由垂径定理得．
又因为，
所以，
故直线的方程为，
整理，得直线的一般式方程为．
（2）与相减，
得，
所以直线的方程为．
圆心到直线的距离．
由垂径定理得的长度为．
20．解：（1）由题意，得，解得，
所以该二项式为，
则通项公式为：．
令，解得，
所以该二项式的展开式中的常数项为．
（2）设第项的系数最大，
则
解得，则，
所以展开式中系数最大的项为．
21．解：（1）法一：如图1，取的中点为，连接．
又因为分别为的中点，
所以．
因为平面平面，
所以平面平面．
又因为平面，
所以平面平面．
因为平面，
所以平面．
图1 图2
法二：以为坐标原点，建立如图2的空间直角坐标系，
则，
．
．
设平面的法向量为，
则令，得．
，则，即．
又因为直线平面，
所以平面．
（2）．
设平面的法向量为，
则令，得．
设平面的法向量为，
则令，得．
设二面角的平面角为，显然为锐角，所以二面角的平面角的余弦值为，
则二面角的平面角的正弦值为．
（3）设，其中，则．
平面的一个法向量为．
因为直线与平面所成的角为，
所以，解得．
则．
由（1）知平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离．
22．解：（1）双曲线的渐近线方程为．
因为，双曲线的渐近线过点，
所以解得
则双曲线的标准方程为．
由抛物线过点，得，
则抛物线的标准方程为．
（2）由题意知直线的斜率存在．
设直线的方程为．
联立消去，得，
则，
，
所以，
．
联立解得
所以．
由，得，
即
．
整理，得，
即．
显然不在直线上，即，
所以，满足，
所以直线的方程为，