专题2.6 欲证不等恒成立，差值函数求值域（原卷及解析版）

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利用导数解决不等式恒成立问题的策略：
构造差函数．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式．
具体做法如下：
首先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应含参不等式，从而求出参数的取值范围，也可以分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
证明，时，可以构造函数，如果，则在上是减函数，同时若，由减函数的定义可知，当时，有，即证明．
【典例指引】
例1．已知函数，为其导函数.
(1) 设，求函数的单调区间；
(2) 若，设，为函数图象上不同的两点，且满足，设线段中点的横坐标为 证明：.
例2．已知定义域为的函数存在两个零点．
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求证：．
例3．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若关于的不等式恒成立，证明：且．
【同步训练】
1．设函数f（x）=lnx+ax2+x+1．[来源:学。科。网Z。X。X。K]
（I）a=﹣2时，求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）当a=0时，证明xex≥f（x）在（0，+∞）上恒成立．
2．已知函数与．
（1）若曲线与直线恰好相切于点，求实数的值；
（2）当时， 恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：
3．已知函数．
(1)若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在上为单调增函数，求的取值范围；[来源:Z*xx*k.Cm]
(3)设为正实数，且，求证： ．
4．已知函数，（为常数，其中是自然对数的底数）
（1）讨论函数的单调性
（2）证明：当且时，函数的图象恒在的图象上方．
5．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：．
6．设函数，其中．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当，且时证明不等式：
7．设函数，
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当，时，求证：．
[来源:学。科。网Z。X。X。K]
8．已知函数（）．
（Ⅰ）若曲线在点处的切线与轴垂直，求的值；
（Ⅱ）若函数有两个极值点，求的取值范围；
（Ⅲ）证明：当时， ．