第18讲 导数解答题之多元变量消元思想（原卷及解析版）

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（Ⅰ）若是定义域上的单调函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若在定义域上有两个极值点，，证明：．
【解析】解：（Ⅰ），
令则△
，对称轴
①当时，△，，
，故在单调递减．
②当时，△，
方程有两个不相等的正根，
不妨设，则当，时，，
当，时，，这时不是单调函数．
综上，的取值范围是．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当，有极小值点和极大值，
且，，
，
令，
则当时，，
（a）在单调递减，
所以，
故．
2．已知函数
（1）若，求的图象在，（1）处的切线方程；
（2）若在定义域上是单调函数，求的取值范围；
（3）若存在两个极值点，，求证：．
【解析】解：（1），函数，
可得，
（1），
切线方程为；
（2）依题意有或在上恒成立，
即或在上恒成立，
显然不可能恒成立，
，
解得；
（3）由，得，即，是的两根，
，，，
由已知，，，
．
3．设函数．
（1）若在定义域上为单调函数，求的取值范围；
（2）设，为函数的两个极值点，求的最小值．
【解析】解：（1）
设．
①△，即时，恒成立，，
在上为减函数；
②△，即时，在上有两相异实根，
在上不是单调函数，不合题意，
综上，；
（2）由（1）知，，为的两根，，
．
设（a），则（a），
（a）在，上单调递减，在上单调递增，
（a）（4），
的最小值为．
4．已知函数为常数）．
（1）若是定义域上的单调函数，求的取值范围；
（2）若存在两个极值点，，且，求的取值范围．
【解析】解：（1），
，
设，，
是定义域上的单调函数，函数的图象为开口向上的抛物线，
在定义域上恒成立，即在上恒成立．
又二次函数图象的对称轴为，且图象过定点，
或，解得：．
实数的取值范围为，；
（2）由（1）知的两个极值点，满足，
所以，，
不妨设，则在，上是减函数，
，
，
令，则，又，
即，解得，．
设，
则，在，上单调递增，
（2），（4），，，
即，，
所以的取值范围为，．
5．已知函数，．
（Ⅰ）若函数为定义域上的单调函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若函数存在两个极值点，，且．证明：．
【解析】解：（Ⅰ）函数的定义域为，求导：，，
令，则△，
当时，即，则恒成立，
则在上单调减函数，
当时，即，则的两个根为，，
当时，，函数单调递减，
当，，，函数单调递增，不符合题意，
综上可知：函数为定义域上的单调函数，则实数的取值范围，；
（Ⅱ）证明：由函数有两个极值点，则，在上有两个不等的实根，
即，在有两个不等式的实根，，，
由，则，且，，，
则，
同理可得：，
则，
，
令，，，
求导，，，，
由，，则，则，
则在，，上单调递增，
则，
则，
成立．
6．已知函数．
（1）若曲线在点， （2）处的切线与直线平行，求实数的值．
（2）若在定义域上是增函数，求实数的取值范围．
（3）设、，且，求证：．
【解析】（1）解：，（2分）
在点， （2）处的切线与直线平行，
（4分）
（2）证：由得：
在定义域上是增函数，在上恒成立
，即恒成立（6分）
当且仅当时，等号成立
，即的取值范围是，（8分）
（3）证：不妨设，则
要证，即证，即（10分）
设
由（2）知 在上递增， （1）
故，成立（12分）
7．已知函数．
（1）若曲线在点，（2）处的切线与直线平行，求的值；
（2）求证函数在上为单调增函数；
（3）设，，且，求证：．
【解析】解：（1），，
曲线在点，（2）处的切线与直线平行，
，解得；
（2）证明：，
，
函数在上为单调增函数；
（3）不妨设，则，
要证，
即证，
只需证，即证，
只需证，
设，
由（2）得，在上是单调增函数，
，（1），
即，
即．
不等式成立．
8．已知函数在点，处的切线方程为．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）设，求证：在，上恒成立；
（Ⅲ）已知，求证：．
【解析】解：（Ⅰ）将代入切线方程得
，
化简得
解得：，．
．
（Ⅱ）由已知得在，上恒成立
化简
即在，上恒成立
设，
，
即
在，上单调递增，（1）
在，上恒成立
（Ⅲ）
，
由（Ⅱ）知有
整理得
当时，．
9．已知函数为常数）．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）当时，设的两个极值点，恰为的零点，求的最小值．
【解析】解：（1），，
当时，由，解得，
即当时，，单调递增；
由解得，即当时，，单调递减；
当时，，即在上单调递增；
当时，，故，即在上单调递增．
所以当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为．
（2）由得，
由已知有两个互异实根，，
由根与系数的关系得，，
因为，是的两个零点，
故①②
由②①得：，
解得，
因为，得，
将代入得：
，
所以，
设，因为，
所以，所以，
所以，所以．
构造，得，
则在，上是增函数，
所以，即的最小值为．
10．已知函数．
（Ⅰ）讨论函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，设的两个极值点，恰为的零点，求的最小值．
【解析】解：函数，，；
当时，由解得，即当时，，单调递增；
由解得，即当时，，单调递减；
当时，，即在上单调递增；
当时，，故，即在上单调递增；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；
当时， 的单调递增区间为； （5分）
，则，
的两根，即为方程的两根；
又，
△，，； （7分）
又，为的零点，
，，
两式相减得，
得，
而，
，（10分）
令，
由得，
因为，两边同时除以，得，
，故，解得或，；（12分）
设，
，则在，上是减函数，
，
即的最小值为． （14分）