第26讲 含参多变量消元（原卷及解析版）

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1．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，，是的两个零点．证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
【解答】解：（1）函数的定义域为，
，
当时，，
所以在上单调递增．
当时，令，
所以在上，，，单调递增，
在，上，，，单调递减，
综上，当时，在上单调递增．
当时，在上单调递增，在，上单调递减．
（2）证明：由（1）可知，要使由函数有两个零点，需，且，则，
又，故，则，
令，则，
在上单减，
，
又，
，
又，
，即；
要证，由（1）可知，只需证，即证，
又，
只需证，即证，
令，则，，，
所以上述不等式等价于，即，亦即，
令，则，
在上单调递减，即（1），即得证．
2．已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）已知，为的两个零点，证明：．
【解答】解：（1）函数的定义域为，
函数，．
，
当时恒成立，
在上单调递增，
当时，
令得，令得，
在上单调递增，上单调递减．
（2）由，为的两个零点及（1）知，
，两式相减得，即，
要证，只需证，
即证，即证，
不妨设，令，只需证，
设，则，
设，则，在上单减，
（1），在上单增，
（1），即在时恒成立，原不等式得证．
3．已知函数．
（Ⅰ）若在，上为单调递增函数，求实数的最小值．
（Ⅱ）若有两个极值点，．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）求证：．
【解答】解：由于在，上为单调递增函数，则对任意的，恒成立，
方法一：由于，，因此，，
因此，下面证明可以取到，事实上，当时，，
则令，解得．因此在，上单调递增，故，
故在，上为单调递增函数．
综合上述，实数的最小值为．
方法二：显然时，不等式成立，
当时，则恒成立，
令，则，令，
则，因此在，上单调递增，从而，
故，即在，上单调递增；
从而，从而，
综合上述，实数的最小值为；
由于有两个极值点，，
则有两个实根，，故，
设，则；
设，则（1），，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，
又，，
故当时，，；
当时，，，
由此在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，
由此（1），从而，即，
综合上述，实数的取值范围为；
由于，故；
从而，即，
先证不等式右边：
由于
；
设，则，故在上单调递增，
从而，故成立，从而；
再证不等式左边：
由于，
从而，即，其中，
由于，
，
设，则，
故在上单调递增，从而，
故成立，从而，
综合上述，，即．
4．已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数的图象与直线交于、两点，记、两点的横坐标分别为，，且，证明：．
【解答】解：（1），
时，，在递增，
时，令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增；
（2）由（1）可得，
由与有两个交点，可设与相切于，
可得，，解得，，
由题意可得，
令，
，即在上递增，则，即，
即有，又，
由（1）可得，则，而在递减，
可得，即．
5．已知函数，．
（1）当时，与在定义域上的单调性相反，求的取值范围；
（2）设，是函数的两个零点，且，求证：．
【解答】解（1），
，
由题意可知，与的定义域均为，
，
在上单调递减，
又时，与在定义域上的单调性相反，
在上单调递增，
对恒成立，
即对恒成立，
只需，
，
（当且仅当时，等号成立），
，
的取值范围；
（2）已知可得，，
，
即，
，
从而
，
在上单调递减，且，，
当时，（1），
，
又，
，
即即证．
6．已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若函数有两个零点，，求证：．
【解答】解：（1），由，得．
①，．时，，．
②，．时，，．
综上，的增区间是，，减区间是．
（2）证明：由 （1）知，有两个零点时，，．
令，．
则，，
，为方程的两个根．
令，则，为的两个零点，．
．
令，，则．
在上单调递增，（1）．
，即．
，当时，单调递增．
，，
，，
．
7．已知，．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，且，证明：．
【解答】（1）解：，．．
可知：时，函数取得极小值即最小值，
（a），化为：，解得．
的取值范围是．
（2）证明：（ⅰ）设，则
当时，，
所以在单调递减，，即，
故．
（ⅱ）由（Ⅰ），在单调递减，在单调递增，
不失一般性，设，
因，则由（ⅰ），得
，
又，，
，即．
8．已知函数，为常数）在内有两个极值点，．
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）求证：．
【解答】解：（Ⅰ）函数，为常数），
，，
设，，
由题意知在上存在两个零点，
，
当时，，则在上递增，至多有一个零点，不合题意．
当时，由，得．
若且（2），即时，在上递减，在上递增，
则，且（2），，
在和上各有一个零点，
在上存在两个零点．
若，即时，在上递减，至多一个零点，舍去．
若，且（2），即时，此时在上有一个零点，
而在上没有零点，舍去．
综上，．即实数的取值范围是．
证明：（Ⅱ）令，，
则
，
在上递增，从而，
，
，
，且在递增，
，，
．
9．已知函数．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）设，若在，上单调递增，求实数的取值范围；
（3）设，若存在不相等的实数，，使得，证明：．
【解答】解：（1）函数的导数为，
可得函数在处的切线斜率为，切点为，
则切线的方程为，即为；
（2），
可得，
若在，上单调递增，则在，恒成立，
即为在，恒成立，
可设，，，
，
由，即，也即，
可得与在，只有一个交点，设交点的横坐标为，
当时，，递减；当时，，递增，
则在处取得极小值且为最小值；
再由，，，
可得在，的最大值为，
则；
（3）证明：由，可得，
即为，
可设，则，则；
要证，即为，
即证，即为，
设，即证，
设，，可得，
可得在递增，即（1），
即，则，
综上可得．
10．已知函数，．
（Ⅰ）若在内单调递减，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，证明：．
【解答】解：，
若在内单调递减，则恒成立，
即在上恒成立．
令，则，
当时，，当时，，
在上单调递增，在，上单调递减，
的最大值为，
，即．
的取值范围是，．
有两个极值点，
在上有两解，
即有两解，由（1）可知．
由，，可得，
不妨设，
要证明，只需证明，
即证明，
只需证明，
令，
则，故在上单调递减，
（1），即在上恒成立，
不等式恒成立，
综上，．