江苏省常州市前黄高级中学2022-2023学年高一强基班上学期阶段检测数学试卷(含答案)

这是一份江苏省常州市前黄高级中学2022-2023学年高一强基班上学期阶段检测数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知直线的斜率为,直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍,则直线的斜率为( )
A.B.C.D.
2．已知数列满足,则的前10项的和为( )
A.B.6C.5D.
3．已知数列是等比数列,且,,则( )
A.B.C.D.
4．已知函数,则曲线在处的切线斜率为( )
A.B.C.D.
5．数列是等比数列,首项为,公比为q,则是“数列递减”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
6．已知点和圆,一束光线从点P出发,经过直线反射后到达圆C上一点的最短路程是( )
A.4B.5C.6D.7
7．已知,,则( )
A.B.C.D.
8．已知实数,,,满足,,,则的最大值是( )
A.B.6C.D.12
二、多项选择题
9．过点的直线与x轴,y轴正半轴分别交于点A,B,则的可能值是( )
A.7B.7.4C.D.8
10．设等比数列的公比为q,其前n项和为,前n项积为,且满足条件,,,则下列选项正确的是( )
A.为递减数列B.
C.是数列中的最大项D.
11．下列四个命题表述正确的是( )
A.横纵截距相等的直线斜率为-1
B.圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1
C.曲线与曲线恰有三条公切线,则
D.已知圆,点P为直线上一动点,过点P向圆C引两条切线PA,PB,A,B为切点,则弦AB长度的最小值为
12．对于函数,c,,下列说法正确的是( )
A.函数的图象关于点中心对称
B.函数有极值的充要条件是
C.若函数有两个极值点,,则
D.若,则过点作曲线的切线有且仅有2条
三、填空题
13．已知点,直线,若直线l与线段AB有交点,则实数m的取值范围为_____________.
14．已知等差数列满足,,记表示数列的前n项和,则当时,n的取值为___________.
15．在平面直角坐标系xOy中,已知点,,若圆上存在点P,使得,则实数m的取值范围是_____________.
16．已知不等式对任意的都成立,则实数a的取值范围是________________.
四、解答题
17．圆内有一点,过的直线交圆于A、B两点.
(1)当弦AB被平分时,求直线AB的方程;
(2)若为直角三角形,求直线AB的方程.
18．在平面直角坐标系xOy中,已知的顶点,BC边上中线AD所在直线方程为,AB边上的高CH所在直线方程为,求：
(1)顶点A的坐标;
(2)外接圆的一般方程.
19．已知数列的前n项和为,满足,是以为首项且公差不为0的等差数列,,,成等比数列.
(1)求数列,的通项公式;
(2)令,求数列的前n项和.
20．已知函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)求函数的单调区间;
(3)当时,如果曲线恒在x轴上方,求a的取值范围.
21．已知数列满足,.
(1)求的通项公式和前n项和;
(2)设,若不等式,对于任意都成立,求正数k的最大值.
22．已知,函数,是的导函数.
(1)当时,求证：存在唯一的,使得;
(2)若存在实数a,b,使得恒成立,求的最小值.
参考答案
1．答案：D
解析：直线的斜率为,即,所以倾斜角为,
所以直线的倾斜角为,
斜率.
故选：D.
2．答案：D
解析：由题可知,
又,的周期,且,,,
故该列数列的前10项的和为.
故选：D.
3．答案：B
解析： 为等比数列,故也为等比数列,
由,又, 的公比满足,则,
而,平方得,,
是以为首项,2为公比的等比数列,其前n项和.
故选：B.
4．答案：D
解析：依题意,,令,
故,解得,
故,故.
故选：D.
5．答案：B
解析：由已知,解得或,,
此时数列不一定是递减数列,
所以是“数列递减”的非充分条件;
若数列为递减数列,可得或,所以,
所以是“数列递减”的必要条件.
所以“”是“数列为递减数列”的必要不充分条件.
故选：B.
6．答案：B
解析：设点关于直线的对称点为,
则,解得,
所以点关于直线的对称点为,
由题可知圆的圆心为,半径,
最短路程即为.
故选：B.
7．答案：C
解析：因为,即,
因为,,
要比较a、b的大小关系只需比较与的大小关系,
令,,则,
所以在上单调递增,所以,
即,当时,,
又在上单调递增,所以,
即,所以.
故选：C.
8．答案：D
解析：如图：
设,,则原题等价于点A,B是圆上两点,
并且,,所以,
,
所以所求最大值就是A,B两点到直线 的距离之和的倍,
设AB的中点为M,由上图可知：,就是M点到直线 的距离的倍,
由于是直角三角形, ,
设AB的中点为M,所以M在圆上运动,
所以本题等价于求M到直线的距离倍的最大值,
显然,最大值=原点O到直线的距离与圆的半径之和的倍
;
故选：D.
9．答案：CD
解析：设直线方程为,
由题得,
所以.
故选：CD.
10．答案：ACD
解析：因为数列为等比数列,且,,故,该数列为正项等比数列;
若,显然不满足题意,舍去;若,则,不满足,舍去;
若,则该数列为单调减数列,由,
故可得,或,,
显然,不满足题意,故舍去,则,
对A：因为,故数列为单调减数列,A正确;
对B：,即,即,故B错误;
对C：因为单调递减,且,故的最大值为,C正确;
对D：,故D正确;
故选：ACD.
11．答案：BCD
解析：A.当直线过原点时,直线的横纵截距为0,这时直线的斜率不一定为-1,故A错误;
B.圆的圆心到直线的距离为,而圆的半径为2,
则平行于l且距离为1的两条直线分别过圆心以及和圆相切,
所以圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1,故B正确;
C.圆圆心,半径,
圆的圆心,半径,
依题意两圆外切,则,即,解得,故C正确;
对于D,圆的圆心,,点C到直线的距离,
则,由切线长定理知,直线PC垂直平分线段AB,于是得：
,
当且仅当点P是过圆心C向直线作垂直的垂足时取“＝”,即弦AB长度的最小值为,故D正确.
故选：BCD.
12．答案：ABC
解析：由题意得,则,,
对于A,,则的图象关于点中心对称,故A正确,
对于B,若有极值,则,得,故B正确,
对于C,若有两个极值点,,则,,
,
而,故,故C正确,
对于D,,则,
,设过点的直线与相切于点,
则,整理得,
令,,
令,得或,令,得,
故有极大值,极小值,
由三次函数性质得有三个解,,且,
则过点做曲线的切线有3条,故D错误,
故选：ABC.
13．答案：
解析： ,即,
令,则,
即直线l过定点,且斜率,
则,
根据题意结合图形可得或,即或.
故答案为：.
14．答案：23
解析：,故,,故,故,
,.
,故.
故答案为：23.
15．答案：
解析：设的外接圆为圆M,由于,
由正弦定理可知,圆M的半径r满足,
所以圆M的半径长为,
易知,且圆心M在线段AB的垂直平分线上,
可求得点M的坐标为或,由于点P在圆C上,也在圆M上,则圆C与圆M有公共点.
①若M的坐标为,则圆M的方程为,
此时由于圆M与圆C有公共点,则,即,
化简得,解得;
②若点M的坐标为,则圆M的方程为,
此时由于圆M与圆C有公共点,则,
即,化简得,
解得.
综上所述,实数m的取值范围是,
故答案为.
16．答案：
解析：不等式可变形为.
令,则.
所以函数在R上单调递增.
不等式等价于,
所以,即,
因为,所以.
设,则.
当时,,函数在上单调递减;
当时,,函数在上单调递增.
所以,又有意义知.
所以.
故答案为：.
17．答案：(1);
(2)或.
解析：（1）因在圆内,
过的弦AB被平分,则,而直线的斜率为,
因此直线AB斜率为,方程为,即,
所以直线AB的方程为.
（2）因直线AB过圆内的点,则为等腰三角形,
又为直角三角形,必有,
而圆半径为3,因此圆心O到直线AB的距离,显然直线AB的斜率存在,
设直线AB的方程为：,即,由解得或,
于是得直线或,
所以直线AB的方程为或.
18．答案：(1);
(2).
解析：（1）因为AB边上的高CH所在直线方程为,
所以,解得：.
所以直线AB的方程为,即.
由解得：,即.
（2）因为点C在直线上,所以可设,则BC中点为.
把代入直线,有,解得：,所以.
经过,,可设为：,
所以,解得：,
所以外接圆的方程为.
19．答案：(1),;
(2).
解析：（1）由,取可得,又,
所以,则.
当时,由条件可得,两式相减可得,,又,
所以,所以数列是首项为-2,公比为-2的等比数列,故,
因为,设等差数列的公差为d,则,,
由,,成等比数列,所以,又,所以解得,
故.
（2）,
,
.
相减得,
所以,所以
所以.
20．答案：(1)
(2)见解析
(3)
解析：（1）时,,,
故,,
故切线方程是：,即;
（2）,
①当时,由于,故, ,
的单调递增区间为,无单调减区间;
②当时,令,得,
在区间上,;在区间上,;
的单调递增区间为,单调递减区间为;
综上,当时,的单调递增区间为,无单调减区间;
当时,的单调递增区间为,单调递减区间为.
（3）由题意知在上恒成立,即在上恒成立,
令,
则,
令,解得：;令,解得：;
故在递增,在递减,
而,
在上,
故,即a的范围为
21．答案：(1);
(2)4
解析：（1）,
可得,,
所以是以3为首项、3为公比的等比数列,所以,
则,;
（2）,,
,
不等式可改写为,
即,
设,
,
所以,即当n增大时,也增大,
所以只需即可.因为,
所以,,即,所以正数k的最大值为4.
22．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）证明： ,,
当时,,函数在上的单调递增,
又,,存在唯一的,使得.
（2）当时,则当时,,
即函数在上单调递增,且当时,,这与矛盾;
当,由,得, ;
当,由（1）知当时,;当时,;
即在上单调递减,在上单调递增,
的最小值为,其中满足,故且,
恒成立, ,即,
于是,记,,
则,由得,即函数在上单调时递减,
由得,即函数在上单调递增,
,
综上得的最小值为,此时.