绵阳南山中学实验学校2023-2024学年高二上学期期末模拟（三）数学试卷(含答案)

这是一份绵阳南山中学实验学校2023-2024学年高二上学期期末模拟（三）数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．在空间直角坐标系Oxyz中,点到Ozx平面的距离为( )
A.1B.3C.7D.
2．若直线与垂直,则( )
A.-2B.2C.D.
3．已知圆,过点作圆C的切线,则切线长为( )
A.3B.4C.5D.6
4．已知空间向量,,则向量在向量上的投影向量是( )
A.B.C.D.
5．今有水平相当的棋手甲和棋手乙进行某项围棋比赛,胜者可获得24000元奖金.比赛规定下满五局,五局中获胜局数多者赢得比赛,比赛无平局,若比赛已进行三局,甲两胜一负,由于突发因素无法进行后面比赛,如何分配奖金最合理？( )
A.甲12000元,乙12000元B.甲16000元,乙8000元
C.甲20000元,乙4000元D.甲18000元,乙6000元
6．已知圆,圆,点P为y轴上的动点,则的最小值为( )
A.3B.C.D.
7．已知等腰直角三角形ABC,,点D为BC边上的中点,沿AD折起平面ABD使得,则异面直线AB与DC所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
8．已知直线与双曲线无公共交点,则C的离心率的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
9．甲､乙各投掷一枚骰子,下列说法正确的是（ ）
A.事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”不是互斥事件
B.事件“甲投得6点”与事件“乙投得5点”是相互独立事件
C.事件“甲､乙都投得6点”与事件“甲､乙不全投得6点”是对立事件
D.事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没投得6点”是相互独立事件
10．圆与圆的公切线的方程可能为( )
A.B.
C.D.
11．某校高二年级有男生600人,女生400人,张华按男生、女生进行分层,通过分层抽样的方法,得到一个总样本量为100的样本,计算得到男生、女生的平均身高分别为170cm和160cm,方差分别为15和30,则下列说法正确的有( )
A.若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样,则男生、女生分别应抽取60人和40人;
B.若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样,则样本的方差为37.8;
C.若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样,则样本的平均数为166,此时可用样本平均数估计总体的平均数;
D.若张华采用等额抽取,即男生、女生分别抽取50人,则某男生甲被抽到的概率为.
12．已知抛物线过点,C的焦点为F,.直线l与抛物线C交于A,B两点（均不与坐标原点O重合）,且,则下列结论正确的是( )
A.B.
C.两点的纵坐标之积为－64D.直线l恒过点
二、填空题
13．有5个相同的球,其中3个白球,2个黑球,从中一次性取出2个球,则事件“2个球颜色不同”发生的概率为__________
14．若双曲线的离心率为,则其渐近线方程为____.
15．点A是圆上的一个动点,点,当点A在圆上运动时,线段AB的中点P的轨迹方程为_______.
16．设,分别为椭圆与双曲线的公共焦点,它们在第一象限内交于点M,,若椭圆的离心率,则双曲线的离心率的取值范围为_____________
三、解答题
17．在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,已知直线和,
（1）求直线与的交点坐标;
（2）过点作直线l与直线,分别交于点A、B,且满足,求直线l的方程.
18．已知圆C与x轴相切,圆心C在直线上,且与轴正半轴相交所得弦长为.
（1）求圆C的方程;
（2）过点的直线交圆于C,于E,F两点,且,求直线l的方程.
19．已知圆,圆,若动圆M与圆F1外切,与圆F2内切.
（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程;
（2）直线l与（1）中轨迹C相交于A,B两点,若为线段AB的中点,求直线l的方程.
20．从2022年秋季学期起,四川省启动实施高考综合改革,实行高考科目“3+1+2”模式.“3”指语文、数学、外语三门统考学科,以原始分数计入高考成绩;“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科,以原始分数计入高考成绩;“2”指考生从政法、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科,以等级分计入高考成绩.按照方案,再选学科的等级分赋分规则如下,将考生原始成绩从高到低划分为A,B,C,D,E五个等级,各等级人数所占比例及赋分区间如下表：
将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内,得到等级分,转换公式为,其中,分别表示原始分区间的最低分和最高分,,分别表示等级赋分区间的最低分和最高分,Y表示考生的原始分,T表示考生的等级分,规定原始分为时,等级分为,计算结果四舍五入取整.某次化学考试的原始分最低分为50,最高分为98,呈连续整数分布,其频率分布直方图如下：

（1）根据频率分布直方图,求此次化学考试成绩的平均值;
（2）按照等级分赋分规则,估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间;
（3）用估计的结果近似代替原始分区间,若某学生化学成线的原始分为90,试计算其等级分.
21．如图,在四棱锥中,底面ABCD是边长为2的菱形,,是等腰直角三角形,且,平面PAB平面ABCD,点E是线段PC（不含端点）上的一个动点.
（1）设平面ADE交PB于点F,求证：EF平面PAD;
（2）当点E到平面PAD的距离为时,求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值.
22．已知椭圆的方程为,称圆心在坐标原点O,半径为的圆为椭圆的“蒙日圆”,椭圆的焦距为2,离心率为.
（1）求椭圆的方程;
（2）若直线l与椭圆交于A、B两点,与其“蒙日圆”交于C、D两点,当时,求面积的最大值.
参考答案
1．答案：B
解析：在空间直角坐标系Oxyz中,点到Ozx平面的距离.
故选：B.
2．答案：A
解析：因为直线与垂直,所以,解得,
故选：A.
3．答案：B
解析：圆,即,圆心坐标,半径为3,圆心到的距离为5,所以切线长为.
故选：B
4．答案：B
解析：由已知可得,,,
所以,向量在向量上的投影向量是.
故选：B.
5．答案：D
解析：乙最终获胜的概率为,甲最终获胜的概率为,所以甲乙两人按照分配奖金才比较合理,所以甲元,乙元,
故选：D.
6．答案：B
解析：圆的圆心为,半径为,
圆的标准方程为,圆心为,半径为,
如下图所示：
作圆心关于轴的对称点,由对称性可知,,
所以,,
当且仅当M、P、三点共线时,取最小值.
故选：B.
7．答案：B
解析：已知等腰直角三角形ABC,点D是BC中点,则,
沿着AD翻折平面ADB可得,所以,
又,BD,DC平面BCD,所以AD平面BCD
不妨设,则,以,,为基底的空间向量,
所以,则
所以,
因为AB,DC是异面直线,所以异面直线AB,DC的余弦值为.
故选：B.
8．答案：D
解析：
双曲线的一条渐近线方程为,
因为直线与C无公共点,所以,即,
所以,又,所以C离心率的取值范围为.
故选：D.
9．答案：BC
解析：对于A,事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”不可能同时发生,二者为互斥事件,A错误;
对于B, 事件“甲投得6点”发生与否对事件“乙投得5点”没有影响,二者是相互独立事件,B正确;
对于C,事件“甲､乙都投得6点”的反面为“至少有1人没有投得6点”,也即“甲､乙不全投得6点”,故事件“甲､乙都投得6点”与事件“甲､乙不全投得6点”是对立事件,C正确;
对于D,事件“至少有1人投得6点”包含“甲投得6点且乙没投得6点”的情况,
故事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没投得6点”不是相互独立事件,D错误,
故选：BC.
10．答案：CD
解析：圆O的圆心为,半径为,圆M的圆心为,半径,
由题意得,圆O与圆M的半径之和为,半径之差为0,
因为,所以圆O与圆M的位置关系为相交.
由题意得,因为圆O与圆M的半径相等,所以公切线的斜率为2.
设公切线的方程为,即,由,得,
所以公切线的方程为或.
故选：CD.
11．答案：AC
解析：A选项,男生抽取,女生抽取人,A选项正确.
C选项,样本平均数为,可以用样本平均数估计总体的平均数,C选项正确.
B选项,样本方差为,所以B选项错误.
D选项,男生甲被抽到的概率为,D选项错误.
故选：AC.
12．答案：ACD
解析：
,,,则C的方程为,故A正确;
将点的坐标代入C的方程得,故,故B错误;
设,,,,,又,,故C正确;
由题意知,直线的斜率不为0,故设,联立,消去x得,,,此时满足,直线l的方程为,显然恒过点,故D正确.
故选：ACD.
13．答案：
解析：从中一次性取出2个球,共有的情况数为种,
其中事件“2个球颜色不同”发生的情况有种,
故事件“2个球颜色不同”发生的概率为.
故答案为：.
14．答案：
解析：因为双曲线的离心率为,
,所以,所以,
双曲线渐近线方程为：.
故答案为：
15．答案：
解析：设,,又点,则,,
所以,,又点A在圆上,
则,即,
所以线段AB的中点P的轨迹方程为.
故答案为：.
16．答案：
解析：设,因为两个曲线在第一象限内交于点M,
所以有,
解得,,因为,
所以由余弦定理可知：,
因为,分别为椭圆与双曲线的公共焦点,所以设,
于是有,
化简得：,
因为,所以,所以,
故答案为：
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由,得,,
所以直线与的交点坐标为;
（2）由可知,点P是线段AB的中点,
在直线上任取一点,
所以点M关于的对称点,
点N在直线上, 把点代入方程,
,解得,所以,,
即直线l方程为：,即.
18．答案：（1）
（2）或
解析：（1）设圆心,因为圆C与x轴的正半轴相切,
所以,圆C的半径为2m,因为圆C截y轴所得弦的弦长为,
所以,即,又,所以,
所以圆.
（2）当直线l无斜率时,此时直线l方程为,
由题知：此时直线l与圆C截得的弦长为,不满足条件,
当直线l有斜率时,设直线方程为：,
则圆心到直线l的距离为,
所以,解得,
所以直线l的方程为：或
19．答案：（1）
（2）.
解析：（1）设动圆M的半径为r,动圆M与圆外切,与圆内切,
,且,于是,
动圆圆心M的轨迹是以,为焦点,长轴长为8的椭圆,
故,,椭圆方程为.
又因当M点为椭圆左顶点时,动圆M不存在,故不合题意舍去,
故动圆圆心M的轨迹C的方程为;
（2）设,,由题意,显然,
则有,,两式作差可得,
即有,又为线段AB的中点,
则有,,代入即得直线l的斜率为,
直线l的方程为,整理可得直线l的方程为.
20．答案：（1）73
（2）
（3）91分
解析：（1）由,可得,此次化学考试成绩的平均值为分.
（2）由频率分布直方图知,原始分成绩位于区间的占比为,位于区间的占比为,
因为成绩A等级占比为,所以等级A的原始分区间的最低分位于区间,
估计等级A的原始分区间的最低分为,
已知最高分为98,所以估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间为.
（3）由,解得,该学生的等级分为91分.
21．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为四边形ABCD为菱形,所以,
因为AD平面PBC,BC平面PBC,所以AD平面PBC,
因为AD平面ADE,平面ADE平面,所以,
因为EF平面PAD,AD平面PAD,所以平面PAD;
（2）在AB上取中点O,因为是等腰直角三角形,所以,
又平面PAB平面ABCD,平面PAB平面,PO平面PAB,
所以PO平面ABCD,OC平面ABCD,AB平面ABCD,
所以,,又底面ABCD是边长为2的菱形,且,
所以,故以O为原点,以OB,OC,OP所在直线分别为x,y,z轴,
建立空间直角坐标系,如图所示,
则,,,,,
,,,
设,则,
设是平面PAD的一个法向量,则,即,
令可得,由点E到平面PAD的距离为,
得,所以,解得,
故点E为CP中点,所以,所以,又,
设是平面ADE的一个法向量,
则,即,令可得,
又平面ABCD,故是平面ABCD的一个法向量,
得,
所以平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值为.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为椭圆的焦距为2,离心率为,
则,可得,故椭圆的方程为.
（2）由题意,蒙日圆方程为,圆心为,半径,
①当轴时,设直线CD的方程为,
将代入“蒙日圆”的方程得,解得,
则,解得,
将直线l的方程代入椭圆C的方程可得,解得,则,
所以,;
②当直线l不垂直x轴时,设直线l的方程为,即,
圆心O到直线CD的距离为,得,
联立,消去y得,
,可得,
设、,则,,
,
所以,
,
当且仅当时,即当时,等号成立,
又因为,故的面积的最大值为.
等级
A
B
C
D
E
人数比例
赋分区间