山东省烟台市莱州市第一中学2022-2023学年高二下学期第一次质量检测数学试卷(含答案)

山东省烟台市莱州市第一中学2022-2023学年高二下学期第一次质量检测数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．设随机变量X服从两点分布,若,则( )A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.72．将英文单词“rabbit”中的6个字母重新排列,其中字母b不相邻的排列方法共有( )A.120种 B.240种 C.480种 D.960种3．在某场新冠肺炎疫情视频会议中,甲､乙､丙､丁､戊五位疫情防控专家轮流发言,其中甲必须排在前两位,丙､丁必须排在一起,则这五位专家的不同发言顺序共有( )A.8种 B.12种 C.20种 D.24种4．随机变量的分布列为,,2,3,4其中c为常数,则等于( )A. B. C. D.5．某公园有如图所示A至H共8个座位,现有2个男孩2个女孩要坐下休息,要求相同性别的孩子不坐在同一行也不坐在同一列,则不同的坐法总数为( )A.168 B.336 C.338 D.846．目前,国际上常用身体质量指数来衡量人体胖瘦程度以及是否健康.某公司对员工的BMI值调查结果显示,男员工中,肥胖者的占比为;女员工中,肥胖者的占比为,已知公司男、女员工的人数比例为,若从该公司中任选一名肥胖的员工,则该员工为男性的概率为( )A. B. C. D.7．将杨辉三角中的每一个数都换成分数,可得到如图所示的分数三角形,成为“莱布尼茨三角形”,从莱布尼茨三角形可以看出,存在x使得,则x的值是( )A.r B. C. D.8．设是1,2,3,4,5的一个排列,若对一切恒成立,就称该排列是“交替”的,则“交替”的排列的数目是( )A.16 B.25 C.32 D.41二、多项选择题9．已知,若能被5整除,则a的取值可以是( )A.6 B.7 C.11 D.1210．已知在的展开式中,前3项的系数成等差数列,则下列结论正确的是( )A.展开式中所有项的系数之和为256 B.展开式中系数最大项为第项C.展开式中有2项有理项 D.展开式中不含x的一次项11．袋中有大小完全相同的2个黑球和3个白球,从中不放回地每次任取一个小球,直到取到白球后停止取球,则下列结论正确的是( )A.抽取2次后停止取球的概率为B.停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为C.取球次数X的期望为2D.取球次数X的方差为12．已知随机变量,,,,记,其中,,则( )A. B.C. D.若,则三、填空题13．若的展开式中第5项为常数项,则n的值是_____________.14．已知随机变量,若,则__________.15．50张彩票中只有2张中奖票,今从中任取n张,为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5,n至少为______________.16． 的展开式中不含z的各项系数之和___________.四、解答题17．回答下列问题（1）求值：.（2）若,且.求的值.18．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有“关怀老人”、“环境检测”、“图书义卖”这三个项目,每人都要报名且限报其中一项.记事件A为“恰有两名同学所报项目相同”,事件B为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”.求(1)“每个项目都有人报名”的报名情况种数;(2)“四名同学最终只报了两个项目”的概率;(3).19．有专家指出,与新冠病毒感染者密切接触过的人,被感染的概率是.王某被确诊为新冠病毒感染者后,当地准备对王某的密切接触者共78人逐一进行核酸检测.（1）设X为这78名密切接触者中被感染的人数,求X的数学期望;（2）核酸检测并不是准确,有可能出现假阴性（新冠病毒感染者的检测结果为阴性,即漏诊）或假阳性（非新冠病毒感染者的检测结果为阳性,即误诊）.假设当地核酸检测的灵敏度为（即假阴性率为）,特异度为（即假阳性率为）.已知王某的一个密切接触者赵某的核酸检测结果为阳性,求他被感染的概率（结果保留3位有效数字）.20．为弘扬体育精神,营造校园体育氛围,某校组织“青春杯”3V3篮球比赛,甲、乙两队进入决赛.规定：先累计胜两场者为冠军,一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后,将不能参加后面场次的比赛.在规则允许的情况下,甲队中球员M都会参赛,他上场与不上场甲队一场比赛获胜的概率分别为和,且每场比赛中犯规4次以上的概率为.(1)求甲队第二场比赛获胜的概率;(2)用X表示比赛结束时比赛场数,求X的期望;(3)已知球员M在第一场比赛中犯规4次以上,求甲队比赛获胜的概率.21．在全民抗击新冠疫情期间,某校开展了“停课不停学”活动,一个星期后,某校随机抽取了100名居家学习的高二学生进行问卷调查,得到学生每天学习时间(单位：h)的频率分布直方图如下,若被抽取的这100名学生中,每天学习时间不低于8小时有30人.(1)求频率分布直方图中实数a,b的值;(2)每天学习时间在的7名学生中,有4名男生,3名女生,现从中抽2人进行电话访谈,已知抽取的学生有男生,求抽取的2人恰好为一男一女的概率;(3)依据所抽取的样本,从每天学习时间在和的学生中按比例分层抽样抽取8人,再从这8人中选3人进行电话访谈,求抽取的3人中每天学习时间在的人数X分布和数学期望.22．某中学开展劳动实习,学生前往电子科技产业园,学习加工制造电子元件.已知学生加工出的每个电子元件正常工作的概率都是,且各个电子元件正常工作的事件相互独立.现要检测个这样的电子元件,并将它们串联成元件组进行筛选检测,若检测出元件组正常工作,则认为这个电子元件均正常工作;若检测出元件组不能正常工作,则认为这k个电子元件中必有一个或多个电子元件不能正常工作,须再对这个电子元件进行逐一检测.(1)记对电子元件总的检测次数为X,求X的概率分布和数学期望;(2)若不对生产出的电子元件进行筛选检测,将它们随机组装进电子系统中,不考虑组装时带来的影响.已知该系统配置有个电子元件,如果系统中有多于一半的电子元件正常工作,该系统就能正常工作.将系统正常工作的概率称为系统的可靠性,现为了改善该系统的性能,拟向系统中增加两个电子元件.记当系统配置个电子元件时,系统正常工作的概率为.我们认为当时,增加两个电子元件提高了该系统的可靠性.①若,p满足什么条件时,增加两个电子元件能提高该系统的可靠性？②对于,p满足什么条件时,增加两个电子元件能提高该系统的可靠性？参考答案1．答案：D解析：由题意得,因为,所以解得,所以,故选：D.2．答案：B解析：由题意可先排除b之外的其余四个字母,有种排法,再从这四个字母排完后的5个空中选2个放入b,有种放法,故字母b不相邻的排列方法共有（种）,故选：B.3．答案：C解析：当甲排在第一位时,共有种发言顺序,当甲排在第二位时,共有种发言顺序,所以一共有种不同的发言顺序.故选：C.4．答案：C解析：根据分布列中所有的概率和为1,得解得 ,,,2,3,4故选：C.5．答案：B解析：第一步：排男生,第一个男生在第一行选一个位置有四个位置可选,第二个男生在第二行有三个位置可选,由于两名男生可以互换,故男生的排法有种,第二步：排女生,若男生选AF,则女生有BE,BG,BH,CE,CH,DE,DG共7种选择,由于女生可以互换,故女生的排法有种,根据分步计数原理,共有种,故选：B.6．答案：D解析：设公司男、女员工的人数分别为和n,则男员工中,肥胖者有人,女员工中,肥胖者有人,设任选一名员工为肥胖者为事件A,肥胖者为男性为事件B,则,,则.故选：D.7．答案：C解析：根据题意可得,,所以.故选：C.8．答案：C解析：由已知可得,,.（ⅰ）当时,,可推出,,,此时有或.①当时,由已知可得或当,时,此时必有,排列可以是或两种;当时,时,此时,,可选择1,2,3中的任意排列,共中排列.综上所述,共有8种方法;②同理可得当,可得或,也有8种方法.综上所述,当时,“交替”的排列的数目是16;（ⅱ）当时,,可推出,,,此时有或.①当时,由已知可得或当,时,此时必有,排列可以是或两种;当时,时,此时,,可选择3,4,5中的任意排列,共中排列.综上所述,共有8种方法;②同理可得当,可得或,此时也有8种方法.综上所述,当时,“交替”的排列的数目是16.所以,“交替”的排列的数目是32.故选：C.9．答案：BD解析：,所以M的个位数是3,若能被5整除,则a除以5余数应该是2,故B、D合题.故选：BD.10．答案：CD解析：在的展开式中,前3项的系数成等差数列,,解得：或1（舍去）.当时,所有项的系数和为：,A错;通项为：展开式中第3项与第4项系数最大,B错,当,6时为有理项,共2项,C对;由上面通项可令,解得不为整数,展开式不含x一次项,D对.故选：CD.11．答案：BD解析：设取球次数为X,可知随机变量X的可能取值有1、2、3,则,,.对于A选项,抽取2次后停止取球的概率为,A选项错误;对于B选项,停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为,B选项正确;对于C选项,取球次数X的期望为,C选项错误;对于D选项,取球次数X的方差为,D选项正确.故选：BD.12．答案：ABD解析：对于A,,所以A正确;对于B,因为,所以B正确;对于C,当时,,所以C错误;对于D,因为,所以当时,最大,所以D正确;证明如下：若,则,若,则,解得,故当时,单调递增,当时,单调递减,即当为整数时,或时,取得最大值,当不为整数,k为的整数部分时,取得最大值.故选：ABD.13．答案：6解析：的展开式中,,因为第5项为常数项,所以,解之得,故答案为：6.14．答案：解析：因为,所以,解得或（舍去）,所以.故答案为：.15．答案：15解析：用X表示中奖票数,,所以,解得.故答案为：15.16．答案：128解析：利用二项展开式的通项公式进行展开,设项为k,项为n,项为m.展开后得对每一项进行合并得 ,因为展开式中不含z,所以,又m得取值为,n得取值为,故得,.代入展开式得,又k得取值为,分别带入后各项系数之和为.故答案为：128.17．答案：（1）时,;时,;（2）-2解析：（1）由组合数的性质,可得解得.又因为,所以或,当时,原式,当时,原式;（2）由,得,即,解得或（舍去）,所以,当时,由已知,得,令,得,令,得,所以18．答案：(1)36种(2)(3)解析：（1）“每个项目都有人报名”,则必有两人报同一个项目,故此时报名情况有种;（2）“四名同学最终只报了两个项目”,此时可先选出两个项目,报名情况为分别有两人报这两个项目,或者一人报其中一个,另三人报名另一个项目,故共有种报名情况,则“四名同学最终只报了两个项目”的概率是;（3）事件A为“恰有两名同学所报项目相同”,有种报名方法,则,事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,若A,B同时发生,即恰有2名同学所报项目相同且只有甲同学一人报关怀老人项目,则有种报名方法,则,故.19．答案：（1）7.02;（2）0.906.解析：（1）X为这78名密切接触者中被感染的人数,X可取0,1,2,···,78,,所以.（2）设事件A为“核酸检测结果为阳性”,事件B为“密切接触者被感染”,由题意,,,所以,,王某的一个密切接触者赵某的核酸检测结果为阳性,他被感染的概率为0.906.20．答案：(1)(2)(3)解析：（1）设“第i场甲队获胜”,“球员M第i场上场比赛”,,2,3.由全概率公式.（2）X的可能取值为2,3.由题意知,由（1）知,则,,,,.（3）,此时,.21．答案：(1),(2)(3)分布列详见解析,数学期望为解析：（1）,.,解得.（2）已知抽取的学生有男生,则抽取的2人恰好为一男一女的概率为.（3）每天学习时间在和的学生比例为,所以在的学生中抽取2人,在的学生中抽取6人.再从这8人中选3人进行电话访谈,抽取的3人中每天学习时间在的人数X的取值为0,1,2,,,,所以X的分布列如下：数学期望.22．答案：(1)概率分布见解析,(2)①,②解析：（1）X可能的取值为1,,,所以,X的概率分布为所以X的数学期望.（2）①,所以,所以若,时,增加两个电子元件能提高该系统的可靠性.②由①知,,当时,增加两个电子元件能提高该系统的可靠性.当,时,若前个电子元件中恰有个正常工作,此时后两个元件必须同时正常工作;若前个电子元件中恰有n个正常工作,此时后两个元件至少有1个正常工作;若前个电子元件中至少有个正常工作,此时系统必定正常工作.可以求得：,故,令,得.即,所以对于,当时,增加两个电子元件能提高该系统的可靠性.X012PX1P