人教B版 (2019)选择性必修 第三册第五章 数列5.5 数学归纳法说课课件ppt

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第三册第五章 数列5.5 数学归纳法说课课件ppt，共40页。PPT课件主要包含了新知初探·自主学习，课堂探究·素养提升，一般结论，初始值n0，n＝k，n＝k＋1，答案A，答案C，答案D，k＋2等内容，欢迎下载使用。

了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题．
教 材 要 点知识点一　归纳法由有限多个个别的特殊事例得出________的推理方法，通常称为归纳法．
知识点二　数学归纳法对于某些与自然数有关的数学命题，常采用下面的方法和步骤来证明它的正确性：(1)证明当n取________(例如n0＝0，n0＝1等)时命题成立．(2)假设当________(k为自然数，k≥n0)时命题正确，证明当________时命题也正确．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值n0开始的所有自然数都正确．这种证明方法叫做数学归纳法．
基 础 自 测1．一批花盆堆成三角形垛，顶层一个，以下各层排成正三角形，第n层和第n＋1层花盆总数分别是f(n)和f(n＋1)，则f(n)与f(n＋1)的关系为(　　)A．f(n＋1)－f(n)＝n＋1B．f(n＋1)－f(n)＝nC．f(n＋1)－f(n)＝2nD．f(n＋1)－f(n)＝1
解析：边数最少的凸n边形是三角形．
3．用数学归纳法证明等式“1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2”时，从k到k＋1左边需增加的代数式为(　　)A．2k－2 B．2k－1C．2k D．2k＋1
解析：等式“1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2”中，当n＝k时，等式的左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－1)，当n＝k＋1时，等式的左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋(2k＋1)，∴从k到k＋1左边需增加的代数式为2k＋1.
4．用数学归纳法证明：“当n为奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，在归纳假设中，假设当n＝k时命题成立，那么下一步应证明n＝________时命题也成立．
解析：两个奇数之间相差2，∴n＝k＋2.
【解析】　实际是由1(即a0)起，每项指数增加1，到最后一项为an＋1，所以n＝1时，左边的最后一项应为a2，因此左边计算的结果应为1＋a＋a2.
状元随笔　注意左端特征，共有n＋2项，首项为1，最后一项为an＋1.
方法归纳1．验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1.2．递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障． 
状元随笔　要证等式的左边共2n项，右边共n项，f(k)与f(k＋1)相比左边增两项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同．因此，由“n＝k”到“n＝k＋1”时要注意项的合并．
方法归纳1．用数学归纳法证明恒等式的关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关．由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．2．利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节．
　数学归纳法证明整除问题例3　求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N＋.
【证明】　(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．(2)假设n＝k(k∈N＋，且k≥1)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由归纳假设，得上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，故n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)知，对n∈N＋，命题成立．
状元随笔　对于多项式A，B，如果A＝BC，C也是多项式，那么A能被B整除．若A，B都能被C整除，则A＋B，A－B也能被C整除．  
方法归纳利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式．这就往往要涉及到“添项”“减项”与“因式分解”等变形技巧，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得证．
跟踪训练3　求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除．
证明：(1)当n＝1时，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36，36能被9整除，命题成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．则n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋3k2·3＋3k·32＋33＝k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3＋9(k2＋3k＋3)，由归纳假设知，上式都能被9整除，故n＝k＋1时，命题也成立．由(1)和(2)可知，对n∈N＋命题成立．
　证明几何命题例4　平面内有n(n≥2，n∈N＋)条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，那么这n条直线的交点个数f(n)是多少？并证明你的结论．
状元随笔　(1)从特殊入手，求f(2)，f(3)，f(4)，猜想出一般性结论f(n)；(2)利用数学归纳法证明．
方法归纳1．从特殊入手，寻找一般性结论，并探索n变化时，交点个数间的关系．2．利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由n＝k到n＝k＋1时几何图形的变化规律．并结合图形直观分析，要弄清原因．
跟踪训练4　在本例中，探究这n条直线互相分割成线段或射线的条数是多少？并加以证明． 
解析：设分割成线段或射线的条数为f(n)．则f(2)＝4，f(3)＝9，f(4)＝16.猜想n条直线分割成线段或射线的条数f(n)＝n2(n≥2)，下面利用数学归纳法证明．(1)当n＝2时，显然成立．(2)假设当n＝k(k≥2，且k∈N＋)时，结论成立，f(k)＝k2，则当n＝k＋1时，设有l1，l2，…，lk，lk＋1共k＋1条直线满足题设条件．不妨取出直线l1，余下的k条直线l2，l3，…，lk，lk＋1互相分割成f(k)＝k2条射线或线段．直线l1与这k条直线恰有k个交点，则直线l1被这k个交点分成k＋1条射线或线段．k条直线l2，l3，…，lk－1中的每一条都与l1恰有一个交点，因此每条直线又被这一个交点多分割出一条射线或线段，共有k条．故f(k＋1)＝f(k)＋k＋1＋k＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.∴当n＝k＋1时，结论正确．由(1)(2)可知，上述结论对一切n≥2均成立．
状元随笔　求Sn 再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注意Sn表示前n项的和(n＞1)，首先验证n＝2，然后证明归纳递推．   
易错点1．应用数学归纳法时的常见问题有哪些？①第一步中的验证，n取的第一个值n0不一定是1，n0指的是适合命题的第一个自然数不是一定从1开始，有时需验证n＝2等．②对n＝k＋1时式子的项数以及n＝k与n＝k＋1的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障．③“假设n＝k时命题成立 ，利用这一假设证明n＝k＋1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规范．