2023-2024学年甘肃省天水一中高一（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年甘肃省天水一中高一（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x∈Z|x2+x−2≤0}，则集合A的真子集个数为( )
A. 4B. 3C. 16D. 15
2.“x>1“是“2x>1”的( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
3.下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是( )
A. f(x)=x−1B. f(x)=x2+1C. f(x)=−1xD. f(x)=3x
4.已知定义域为R的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈[0,+∞)，x1≠x2，都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0.若f(m+1)≥f(2)，则m的取值范围是( )
A. (0,1]B. (−3,1]
C. (−∞,−3]∪[1,+∞)D. (−∞,1]∪[3,+∞)
5.函数f(x)=lnx+x−8的零点所在的区间为( )
A. (4,5)B. (5,6)C. (6,7)D. (7,8)
6.已知a=243,b=425,c=323，则( )
A. a7.已知扇形的周长为30cm，圆心角为3rad，则此扇形的面积为( )
A. 9cm2B. 27cm2C. 48cm2D. 54cm2
8.已知函数y=f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(−1,+∞)，且f(x−1)为奇函数，当x<−1时，f(x)=−2x2−8x−7，则方程f(x)=−12的所有根之和等于( )
A. −4B. −2C. 0D. 2
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于任意实数a，b，c，d，则下列命题正确的是( )
A. 若ac2>bc2，则a>bB. 若a>b，c>d，则a+c>b+d
C. 若a>b，c>d，则ac>bdD. 若a>b，则1a>1b
10.已知2lg31a+lg3b=0，则下列等式一定正确的是( )
A. (2a)2=2bB. a⋅elna=bC. b=a2D. lg2a=lg8ab
11.已知α∈(0,π)，且sinα+csα=15，则( )
A. π2<α<πB. sinαcsα=−1225
C. csα−sinα=75D. csα−sinα=−75
12.已知函数f(x)=|lnx|,x>0−x2+1,x≤0，若存在aA. bc=1B. b+c=1C. a+b+c>1D. abc<−1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若f(x)=x+ 1−x，则函数f(x)的值域为______．
14.函数f(x)=ln(x2−x−6)的单调递增区间是______ ．
15.已知f(x)=ax,x>2,x2−ax+11,x≤2在区间(−∞,+∞)上是单调减函数，则实数a的取值范围为______ ．
16.函数y=ax−1+1(a>0且a≠1)图象过定点A(x0,y0)，且x=x0y=y0满足方程mx+ny=3(m>1,n>0)，则1m−1+2n最小值为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知命题p：任意实数x满足x2−2x−3≥0，命题q：实数x满足(x−m)[x−(m+1)]≥0．
(1)若命题p为假命题，求实数x的取值范围；
(2)若命题q是命题p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
18.(本小题12分)
已知f(x)=sin(π2+x)−2cs(π+x)sin(π−x)+cs(−x)．
(1)化简f(x)；
(2)若0<α<π，f(α)=6，求csα．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)=x2+2x．
(1)已知函数f(x)的部分图象如图所示，请根据条件将图象补充完整，并写出函数f(x)的单调递减区间；
(2)写出函数f(x)的解析式；
(3)若关于x的方程f(x)=t有3个不相等的实数根，求实数t的取值范围.(只需写出结论)
20.(本小题12分)
已知函数f(2x+1)=4x2+2x+2．
(1)求f(x)的解析式；
(2)试判断函数g(x)=f(x)x在( 2,+∞)上的单调性，并用单调性的定义证明．
21.(本小题12分)
某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入90万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前n(n∈N*)年的支出成本为(10n2−5n)万元，每年的销售收入95万元．设使用该设备前n年的总盈利额为f(n)万元．
(1)写出f(n)关于n的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；
(2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理；
问哪种方案较为合理？并说明理由．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax+lgax(a>0,a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为6+lga2.
(1)求实数a的值；
(2)对于任意的x∈[2,+∞)，不等式kf(x)−1≥0恒成立，求实数k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：集合A={x∈Z|x2+x−2≤0}={x∈Z|−2≤x≤1}={−2,−1,0,1}，
∴集合A的真子集个数为24−1=15．
故选：D．
先求出集合A，再利用集合的真子集个数公式求解即可．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的真子集个数公式，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：2x>1，解得x>0．
∴“x>1”是“2x>1”的充分不必要条件．
故选：B．
2x>1，解得x>0.即可判断出结论．
本题考查了函数的性质、不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：对于A，f(x)=x−1为非奇非偶函数，故A不符合题意；
对于B，f(x)=x2+1是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，故B符合题意；
对于C，f(x)=−1x为奇函数，故C不符合题意；
对于D，f(x)=3x为非奇非偶函数，故D不符合题意．
故选：B．
由常见函数的性质逐项判断即可．
本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：因为(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，
所以f(x)在[0,+∞)上单调递增，
因为f(x)为偶函数，所以f(x)在(−∞,0)上单调递减，
若f(m+1)≥f(2)，则m+1≥2或m+1≤−2，
解得m≥1或m≤−3，
即m的取值范围是为{m|m≥1或m≤−3}．
故选：C．
根据条件得到f(x)在[0,+∞)上单调递增，再利用函数是偶函数，得到f(x)在(−∞,0)上单调递减，根据单调性，得到不等式，解出即可．
本题主要考查了函数的单调性和奇偶性，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：因为函数y=lnx，y=x−8在(0,+∞)上都是增函数，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，
因为f(6)=ln6−2<0，f(7)=ln7−1>0，所以f(x)的零点所在的区间为(6,7)．
故选：C．
先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得解．
本题考查零点判断定理的应用，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由y=x23(x>0)单调递增，
则可知c=323由y=x15(x>0)单调递增，
又b15=(425)15=46=(43)2=642,c15=(323)15=310=(35)2=2432，可得b所以b故选：C．
利用幂函数的单调性判定即可．
本题主要考查幂函数的单调性，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：令扇形的半径为r，则2r+3r=5r=30⇒r=6cm，
所以此扇形的面积为12×3×62=54cm2．
故选：D．
根据扇形周长，应用扇形弧长公式列方程求半径，再由面积公式求面积即可．
本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：因为f(x−1)为奇函数，所以f(x−1)关于(0,0)对称，
所以f(x)关于(−1,0)对称，即f(x)=−f(−2−x)．
当x<−1时，f(x)=−2x2−8x−7，
当x>−1时，−2−x<−1，f(x)=−f(−2−x)=2(x+2)2+8(−2−x)+7=2x2−1，
所以f(x)=−2x2−8x−7,x<−12x2−1,x>−1．
因为f(x)=−12，
所以x<−1−2x2−8x−7=−12或x>−12x2−1=−12，
解得x1=−2+ 32，x2=−2− 32，x3=12，x4=−12，
所以x1+x2+x3+x4=−4．
故选：A．
首先根据题意得到f(x)关于(−1,0)对称，即f(x)=−f(−2−x)，从而得到，再解方程f(x)=−12即可．
本题主要考查函数奇偶性的应用，函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查对不等式的判断，可代入特例判断选项错，属于基础题．
可代入特例判断选项错，可由性质定理判断AB对．
【解答】
解：若ac2>bc2，则a>b，A对，
由不等式同向可加性，若a>b，c>d，则a+c>b+d，B对，
当令a=2，b=1，c=−1，d=−2，则ac=bd，C错，
令a=−1，b=−2，则1a<1b，D错．
故选：AB．
10.【答案】BCD
【解析】解：依题意，−2lg3a+lg3b=0，即lg3b=lg3a2，
则b=a2且a，b>0，故C正确；
对于A，(2a)2=2a⋅2a=22a≠2b，故A错误；
对于B，a⋅elna=a2=b，故B正确；
对于D，lg8ab=lg23a3=lg2a，故D正确．
故选：BCD．
根据已知得b=a2判断C，根据指数运算判断A，根据对数运算性质判断BD．
本题主要考查了对数的运算性质，考查了有理数指数幂的运算性质，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：∵sinα+csα=15，
∴(sinα+csα)2=sin2α+cs2α+2sinαcsα=1+2sinαcsα=125，
∴可得sinαcsα=−1225<0，故B正确，
又α∈(0,π)，sinα>0，
∴csα<0，
∴π2<α<π，故A正确，
∴csα−sinα=− (csα−sinα)2=− 1−2sinαcsα=− 1−2×(−1225)=−75，故C错误，D正确．
故选：ABD．
将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求得sinαcsα=−1225<0，即可判断B，结合范围α∈(0,π)，可得csα<0，即可得解π2<α<π，即可判断A，进而利用平方差公式即可判断CD．
本题考查三角函数的化简求值，考察平方关系与同角三角函数间的关系式的应用，考查了方程思想的应用，属于基础题．
12.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查函数与方程的应用，属于较难题．
画出函数f(x)的图象，利用f(a)=f(b)=f(c)，确定a，b，c的范围，逐一判断即可．
【解答】
解：如图，画出函数y=f(x)的图像
可知−1则b+c>c>1，且−lnb=lnc，故B错误；
所以lnb+lnc=lnbc=0，即bc=1，故A正确；
因为bc=1，所以abc=a∈(−1,0]，故D错误；
a+b+c=a+1c+c>a+2>1，故C正确．
故答案选：AC．
13.【答案】(−∞,54]
【解析】解：令t= 1−x，t≥0，则x=1−t2，
所以原函数可转化为g(t)=1−t2+t=−(t−12)2+54，t≥0，
由二次函数的性质可得g(t)≤g(12)=54，
所以函数f(x)的值域为(−∞,54].
故答案为：(−∞,54].
令t= 1−x，t≥0，将函数转化为关于t的二次函数，利用二次函数的性质即可求解．
本题主要考查函数值域的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】(3,+∞)
【解析】解：函数的定义域x2−x−6>0，即x>3或x<−2，
令t=x2−x−6，
则y=lnt在t>0上单调递增，
要求函数f(x)=ln(x2−x−6)的单调递增区间，由复合函数单调性判断方法“同增异减”，
可知只需求t=x2−x−6单调递增区间，即x>3，
因此函数f(x)=ln(x2−x−6)的单调递增区间是(3,+∞)．
故答案为：(3,+∞)．
先求出函数的定义域，再根据复合函数单调性判断方法“同增异减”，求出函数f(x)的单调递增区间．
本题考查了求复合函数的单调区间，也考查了对数函数的性质、二次函数的性质，属于基础题．
15.【答案】[4,6]
【解析】解：由f(x)在区间(−∞,+∞)上是单调减函数，有a>012a≥24−2a+11≥a2，
解得4≤a≤6，则a的取值范围为[4,6]．
故答案为：[4,6]．
根据单调性分别列不等式计算即可．
本题主要考查了分段函数单调性的应用，属于基础题．
16.【答案】92
【解析】解：由y=ax−1+1，(a>0且a≠1)，令x=1，得y=a0+1=2，所以定点A的坐标为(1,2)，
代入方程mx+ny=3得，m+2n=3，
即(m−1)+2n=2，m>1，n>0，
∴1m−1+2n=12[(m−1)+2n](1m−1+2n)=12(5+2nm−1+2(m−1)n)≥12(5+2 2nm−1×2(m−1)n)=92，
当且仅当2nm−1=2(m−1)n，即m=53，n=23时等号成立，
所以1m−1+2n的最小值为92．
故答案为：92．
先求出定点A，代入方程mx+ny=3得到m，n的等式，再根据基本不等式可求得答案．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
17.【答案】解：(1)若命题p为假命题，则x2−2x−3<0，解得−1(2)若命题p为真命题，则x≥3或x≤−1，其对应的集合为A={x|x≥3或x≤−1}，
若命题q为真命题，则x≥m+1或x≤m，其对应的集合为B={x|x≥m+1或x≤m}，
因为命题q是命题p的必要不充分条件，
所以A⫋B，可得m≥−1m+1≤3(不同时取等号)，解得−1≤m≤2，即实数m的取值范围为[−1,2]．
【解析】(1)根据题意，x2−2x−3<0，解之可得答案；
(2)命题q是命题p的必要不充分条件，则x2−2x−3≥0的解集是(x−m)[x−(m+1)]≥0解集的真子集，从而建立关于m的不等式组，算出答案．
本题主要考查一元二次不等式的解法、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)f(x)=sin(π2+x)−2cs(π+x)sin(π−x)+cs(−x)
=csx+2csxsinx+csx
=3csxsinx+csx
=3tanx+1；
(2)因为f(α)=3csαsinα+csα=6，
所以2sinα+csα=0，
则α∈(π2,π)，
所以sin2α+cs2α=1csα=−2sinα<0，
解得sinα= 55csα=−2 55，
所以csα=−2 55．
【解析】(1)利用诱导公式和化弦为切化简函数；
(2)利用同角三角函数的平方关系列式计算即可．
本题主要考查了三角函数恒等变换在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
19.【答案】解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于原点对称，则补充图象如图，

结合图象可知，函数 f (x) 的单调递减区间为(−∞,−1)和(1,+∞)．
(2)因为当x≤0时，f(x)=x2+2x，
所以当x>0时，−x<0，所以f(−x)=x2−2x，
因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)=−f(−x)=−x2+2x，
所以当x>0 时，f(x)=−f(−x)=−x2+2x，
故f(x)的解析式为f(x)=−x2+2x,x>0x2+2x,x≤0．
(3)因为f(x)=t有3个不相等的实数根，等价于f(x)与y=t的图象有3个交点，
结合(1)中f(x)的图象可知，当t∈(−1,1)时，f(x)与y=t的图象有3个交点，
所以t∈(−1,1)．
【解析】(1)利用奇函数的性质，即可画出函数的图象，再根据图象求函数的单调递增区间；
(2)利用函数是奇函数，求函数的解析式；
(3)利用数形结合，转化为y=f(x)与y=t的图象有3个交点，从而得解．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)f(2x+1)=4x2+2x+2=(2x+1)2−(2x+1)+2，
所以f(x)=x2−x+2．
(2)g(x)=f(x)x=x+2x−1，
g(x)在( 2,+∞)上单调递增，证明如下：
设 2=x1−x2+2x1−2x2=(x1−x2)x1x2x1x2+2(x2−x1)x1x2=(x1−x2)(x1x2−2)x1x2，
其中x1−x2<0，x1x2−2>0，x1x2>0，所以g(x1)−g(x2)<0，
所以g(x1)【解析】(1)利用凑配法求得f(x)的解析式．
(2)先求得g(x)的解析式并判断出单调性，然后利用单调性的定义进行证明．
本题考查函数解析式的求解，单调性的性质判断以及应用，考查计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)设f(n)为前n年的总盈利额，单位：万元；
由题意可得f(n)=95n−(10n2−5n)−90=−10n2+100n−90=−10(n−1)(n−9)，
由f(n)>0得1又n∈N*，所以该设备从第2年开始实现总盈利；
(2)方案二更合理，理由如下：
方案一：由(1)知，总盈利额f(n)=−10n2+100n−90=−10(n−5)2+160，
当n=5时，f(n)取得最大值160；此时处理掉设备，则总利润为160+20=180万元；
方案二：由(1)可得，平均盈利额为f(n)n=−10n2+100n−90n=−10(n+9n)+100≤100−20 n⋅9n=40．
当且仅当n=9n，即n=3时，等号成立；
即n=3时，平均盈利额最大，此时f(n)=120，此时处理掉设备，总利润为120+60=180万元；
综上，两种方案获利都是180万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适．
【解析】(1)先设f(n)为前n年的总盈利额，由题中条件得出f(n)，列出不等式求解，即可得出结果；
(2)分别求出两种方案的总利润，以及所需要的时间，比较即可得出结论．
本题考查函数模型的运用和基本(均值)不等式的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为函数y=ax，y=lgax(a>0,a≠1)在[1,2]上的单调性相同，
所以函数f(x)=ax+lgax(a>0,a≠1)在[1,2]上是单调函数，
所以函数f(x)在[1,2]上的最大值与最小值之和为a+a2+lga2=6+lga2，
所以a2+a−6=0，解得a=2或a=−3(舍)，
所以实数a的值为2．
(2)由(1)可知f(x)=2x+lg2x，因为对于任意的x∈[2,+∞)，不等式kf(x)−1≥0恒成立，所以对于任意的x∈[2,+∞)，k≥1f(x)恒成立，
当x∈[2,+∞)时，f(x)=2x+lg2x为单调递增函数，
所以f(x)≥f(2)=5，所以1f(x)≤15，即k≥15，
所以实数k的取值范围是[15,+∞)．
【解析】本题主要考查函数恒成立问题，考查函数单调性的应用以及最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
(1)由函数f(x)在[1,2]上是单调函数，从而可得f(x)在[1,2]上的最大值与最小值之和为a+a2+lga2=6+lga2，计算即可求解a的值；
(2)将已知不等式转化为对于任意的x∈[2,+∞)，k≥1f(x)恒成立，求出1f(x)的最大值，即可求解k的取值范围．