苏教版 (2019)选择性必修第二册第6章 空间向量与立体几何本章综合与测试优秀同步训练题

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1．（2023秋·吉林·高二吉林一中校考期末）已知空间向量，，则下列向量中，使能构成空间的一个基底的向量是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A选项，设，即，
所以，解得，，此时不能构成基底.
B选项，，此时不能构成基底.
C选项，，设，即，
，此方程组无解，故此时能构成基底.
D选项，，此时不能构成基底.故选：C
2．（2021秋·北京·高二北师大实验中学校考期中）在空间直角坐标系中，已知点下列叙述中正确的是（ ）
①点关于轴的对称点是
②点关于平面的对称点是
③点关于轴的对称点是
④点关于原点的对称点是
A．①② B．①③ C．②④ D．②③
【答案】C
【解析】点关于轴的对称点的坐标是，，，故①错误；
点关于平面的对称点的坐标是，，，则②正确；
点关于轴的对称点的坐标是，，，则③错误；
点关于原点的对称点的坐标是，，，故④正确，
故正确的命题的序号是②④，故选：C.
3．（2022春·安徽滁州·高二校考阶段练习）若直线的方向向量分别为，则（ ）
A． B． C．相交但不垂直 D．平行或重合
【答案】B
【解析】由题意
∵，∴，∴.故选：B.
4．（2021秋·吉林白城·高二校考阶段练习）将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，，，其中与在平面的同侧，则异面直线与所成角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，建立空间直角坐标系.
，，，，，
，
设异面直线与所成角为，
，，
异面直线与所成角的大小是.故选：C.
5．（2021秋·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校考阶段练习）如图，平行六面体，其中，，，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．10
【答案】C
【解析】，
故
，
故.故选：C
6．（2022秋·河南周口·高二统考期中）如图，平行六面体中，与的交点为，设，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】.
故选：C.
7．（2022秋·上海浦东新·高二校考期末）如图，在正方体中，点为线段的中点．设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设正方体的棱长为2，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，
，
设平面的法向量，则，
取，得，
所以
，
因为，所以在上单调递减，
且，
由复合函数单调性可知单调递增，
所以在是严格减函数，
所以时，取最小值，
时，取最大值．
所以的取值范围是．故选：C．
8．（2023秋·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期末）如图，是棱长为1的正方体，若P∈平面BDE，且满足，则P到AB的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，以点A为原点，分别为轴建立空间坐标系，
,
则，
则,，，，
设平面的一个法向量，
则，令，则，且面，
则，即，得，故，
所以，，
，则，
P到AB的距离为.故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2023秋·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知空间向量，则下列选项中正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，，
所以，解得，故A正确；
对于B，因为，所以存在，使得，
则，即，解得，故B正确；
对于C，因为，
所以，解得，故C错误；
对于D，因为，则，
所以，故D正确．故选：ABD.
10．（2022秋·山东济宁·高二校考阶段练习）设是空间的一组基底，则下列结论正确的是（ ）
A．，，可以为任意向量
B．对空间任一向量，存在唯一有序实数组，使
C．若，，则
D．可以作为构成空间的一组基底
【答案】BD
【解析】对于，因为是空间的一组基底，
所以，，为不共线的非零向量，故选项错误；
对于，由向量基本定理可知：空间任一向量，存在唯一有序实数组，
使，故选项正确；
对于，若，，则不一定垂直，故选项错误；
对于，假设不能构成基底，
则存在实数和使得成立，即，
所以，方程组无解，故不共线，
所以可以构成基底，故选项正确，故选：.
11．（2023秋·湖北荆州·高二沙市中学校考期末）如图所示，平行六面体中，，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．平面 C． D．
【答案】ABC
【解析】设，如图，
则，，
故，
对于A，，
，A正确；
对于B，连接，设，连接，
则由平行六面体可知，,，
∴四边形是平行四边形，
所以，∵平面，平面，∴平面，故B正确﹔
对于C， ，
故
，C正确；
对于D，，
故
故不垂直，故D错误，故选：．
12．（2023秋·湖北恩施·高二校联考期末）在棱长为1的正方体中，点满足，，，则以下说法正确的是（ ）
A．当时，平面
B．当时，存在唯一的点，使得与直线的夹角为
C．当时，长度的最小值为
D．当时，与平面所成的角不可能为
【答案】ACD
【解析】A选项：当时， 的轨迹为线段，由正方体的结构特征，
可知平面平面，而平面，∴平面，故A正确；
B选项：当时，点的轨迹为线段，直线直线，当与重合时，
与直线所成角最大，即与直线所成角最大，最大为，故B错误；
C选项：当时， 点轨迹为线段，到线段的距离为，
长度的最小值为．故C正确；
D选项：当时， 点轨迹为线段，过点做垂直平面于点，
则在线段上，为直线与平面所成角，若，则，
又点到线段上点的最小距离为，不存在，
所以与平面所成角不可能为，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（2022秋·湖南怀化·高二校考期中）向量，若，且，则的值为__________.
【答案】
【解析】因为，， 所以，解得，
又因为，，所以，解得，所以.
14．（2022秋·广东江门·高二江门市第二中学校考期中）已知向量，，则在上的投影数量为 _______
【答案】
【解析】，则在上的投影数量为.
15．（2022春·江苏常州·高二校考阶段练习）向量，，，且，，则______.
【答案】
【解析】因，，而，则有，解得，即
又，且，则有，解得，即，
于是得，，所以.
16．（2023秋·吉林·高二吉林一中校考期末）已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且，，，则______.
【答案】
【解析】
所以，所以.
四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022秋·湖南怀化·高二校考期中）如图，在平行六面体中，，且，
（1）试用表示向量.
（2）若，，，求的长.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）
（2）
即，∴.
18．（2022秋·江苏徐州·高二校考阶段练习）在长方体中，，，E为中点．
（1）证明：；
（2）求DE与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）DE与平面所成角的正弦值为.
【解析】（1）由已知两两垂直，以为轴正方向建立空间直角坐标系
因为，，E为中点．
所以，
所以，所以，
所以，所以
（2）由（1），
设平面的法向量为，则，故，
取，则，
所以为平面的一个法向量，
设直线DE与平面所成角为，则
，
所以DE与平面所成角的正弦值为.
19．（2021秋·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校考阶段练习）如图，在三棱锥中，底面ABC，，点D、E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，，.
（1）求证：平面BDE；
（2）求直线MN到平面BDE的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）因为底面ABC，底面ABC，
所以且，
所以以为原点，所在直线为轴建系如图，
因为，，
D、E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，
所以,
设平面的法向量为，
所以所以，
令，则，
因为，平面BDE，所以平面BDE.
（2）,
直线MN到平面BDE的距离即为在平面BDE法向量上的投影，
设与的夹角为，则有
所以，
所以直线MN到平面BDE的距离为.
20．（2022春·辽宁·高二统考学业考试）如图所示，在四棱锥，面，底面为正方形．
（1）求证：面；
（2）已知，在棱上是否存在一点，使面，如果存在请确定点的位置，并写出证明过程；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点为线段的中点时，面，理由见解析
【解析】（1）在四棱锥中，面，面，面，
∴，，
在正方形中，，
∵面，面,面，，∴面
（2）建立空间直角坐标系如下图所示：
设，则
∴，，，，∴，
在面中，，，
设面的一个法向量为，
∴即，解得，
当时，，即，
若面，则，
∴，解得：，
∴，
∴当点为线段的中点时，面.
21．（2023秋·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考期末）在平面五边形中（如图1），是梯形，，，，，是等边三角形.现将沿折起，连接，得四棱锥（如图2）且.
（1）求证：平面平面；
（2）在棱上有点，满足，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）在图1中，取的中点，连，依题意得，，如图：
则，，
折叠后，在图2中，，如图：
在中，，，，所以，所以，
由，，，平面，平面，
得平面，又平面，所以平面平面。
（2）由（1）可知，两两垂直，
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图：
则，，，，，，，
因为，所以，所以，
所以，
取平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，得，令，得，得，
所以，
由图形可知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
22．（2022春·江苏常州·高二校考阶段练习）如图，正方体的棱长为，、分别为和的中点，为棱上的动点.
（1）是否存在点使平面？若存在，求出满足条件时的长度，若不存在，请说明理由；
（2）当为何值时，平面与平面所成锐二面角的正弦值最小.
【答案】（1）存在，；（2）
【解析】（1）在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为、分别为和的中点，为棱上的动点，
则，设，，
，
显然，，即，
由得，
此时有，而，且平面，因此，平面，
所以存在点，使平面，此时，.
（2）在（1）的空间直角坐标系中，，
令平面的法向量为，
则，令，得，
而平面的法向量，设平面与平面所成锐二面角为，
则，
当且仅当时取“=”，因此，当，即时，，
，当且仅当时取“=”，
所以当时，
即时，平面与平面所成锐二面角的正弦值最小.