人教版 (2019)选择性必修 第一册第二章 机械振动4 单摆导学案

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一、单摆的回复力
如图所示，一根细线上端固定，下端连接一个金属小球，用手使小球偏离竖直方向一个很小的夹角，然后释放，小球在A、A′间来回摆动，不计空气的阻力。
(1)小球摆动过程中受到哪些力的作用？
(2)什么力提供向心力？什么力提供回复力？
(3)小球经过O点平衡位置时回复力为零，合外力也为零吗？
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1．单摆的组成：由细线和________组成。
2．理想化模型
(1)细线的质量与小球相比可以忽略。
(2)小球的________与线的长度相比可以忽略。
(3)细线的____________与细线长度相比可以忽略。
(4)空气阻力与小球的______________及细线的____________相比可以忽略。
3．单摆的回复力
(1)回复力的来源：摆球的重力沿________________方向的分力，即F＝________。
(2)回复力的特点：在摆角很________时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成________，方向总指向________________，即F＝－eq \f(mg,l)x。从回复力特点可以判断单摆做简谐运动。
判断下列5幅图中的摆动模型能否看成单摆？若不能，请说明原因。
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单摆做简谐运动的推证
在偏角很小时，用弧度表示的θ与它的正弦sin θ近似相等，即sin θ≈θ≈eq \f(x,l)，因此单摆的回复力可表示为F＝－eq \f(mg,l)x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动。
(1)摆球受到重力、拉力、向心力、回复力四个力的作用。( )
(2)单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力。( )
(3)单摆经过平衡位置时受到的合力为零。( )
(4)单摆摆动到最高点时速度为零，合外力也为零。( )
例1 (2023·青岛一中月考)图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中( )
A．摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用
B．摆球在A点和C点处，速度为零，回复力也为零
C．摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大
D．摆球在B点处，速度最大，回复力也最大
例2 (多选)如图所示为一单摆的振动图像，则( )
A．t1和t3时刻摆线的拉力等大
B．t2和t3时刻摆球速度相等
C．t3时刻摆球速度正在减小
D．t4时刻摆线的拉力正在减小
二、单摆的周期
1．单摆振动的周期与摆球质量________(选填“有关”或“无关”)，在振幅较小时与振幅______(选填“有关”或“无关”)，但与摆长______(选填“有关”或“无关”)，摆长越长，周期______(选填“越大”“越小”或“不变”)。
2．单摆周期公式
(1)提出：单摆周期公式是荷兰物理学家____________首先提出的。
(2)公式：T＝2πeq \r(\f(l,g))，即周期T与摆长l的二次方根成________，与重力加速度g的二次方根成________，而与振幅、摆球质量________。
惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟。摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤的势能提供，运行的速率由钟摆控制。旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动。请思考：
(1)摆针走时偏快应如何校准？
(2)将一个走时准确的摆钟从福建移到北京，摆钟应如何校准？
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对单摆周期公式的理解
1．成立条件：单摆偏角很小(偏角小于5°)。
2．影响因素：周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期。
3．对l、g的理解
(1)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离。
①普通单摆，摆长l＝l′＋eq \f(D,2)，l′为摆线长，D为摆球直径。
②等效摆长：(a)图中，甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来效果是相同的，甲摆的等效摆长为lsin α，其周期T＝2πeq \r(\f(lsin α,g))。(b)图中，乙在垂直纸面方向摆动时，其等效摆长等于甲摆的摆长；乙在纸面内小角度摆动时，等效摆长等于丙摆的摆长。
(2)①公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。
②等效重力加速度：一般情况下，公式中g的值等于摆球静止在平衡位置时，摆线的拉力与摆球质量的比值。
(1)摆球的质量越大，周期越大。( )
(2)若单摆的振幅变为原来的一半，则周期也将变为原来的一半。( )
例3 周期是2 s的单摆叫秒摆，秒摆的摆长是多少？把一个地球上的秒摆拿到月球上去，它在月球上做50次全振动要用多少时间？已知地球表面的重力加速度为9.8 m/s2, 月球上的自由落体加速度为1.6 m/s2，π2取9.8。
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例4 (多选)(2022·白城市洮南十中月考)甲、乙两个单摆的振动图像如图所示，根据振动图像可以判定( )
A．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，甲、乙两单摆摆长之比是9∶4
B．甲、乙两单摆振动的频率之比是3∶2
C．甲、乙两单摆振动的周期之比是2∶3
D．若甲、乙两单摆在不同地点摆动，但摆长相同，则甲、乙两单摆所在地点的重力加速度之比为9∶4
例5 如图所示，MN为半径较大的光滑圆弧的一部分，把小球A放在MN的圆心处，再把另一个小球B放在MN上离最低点C很近的B处(弧BC所对圆心角小于5°)，今使两小球同时静止释放，则( )
A．球A先到达C点
B．球B先到达C点
C．两球同时到达C点
D．无法确定哪个球先到达C点
针对训练 如图所示为相同的小球(可看作质点)构成的单摆，所有的绳子长度都相同，在不同的条件下的周期分别为T1、T2、T3、T4(其中(3)图两小球均带负电荷，(4)图中振动系统处于匀加速下降的电梯内)，关于周期大小关系的判断，正确的是( )
A．T1>T2>T3>T4 B．T4C．T4>T1＝T3>T2 D．T1

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