初中数学4.4 两个三角形相似的判定习题

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知识点 运用两边对应成比例且夹角相等判定两个三角形相似
1.【教材变式·P135课内练习T2】(2023浙江杭州西湖月考)如图,点D、E分别在△ABC的边AC、AB上,要使△ABC∽△ADE,需加一个条件,则以下所添加条件不正确的为( )
A.∠B=∠ADE B.∠C=∠AED
C.ADAB=AEAC D.ADAB=DEBC
2.已知,在△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6,下列阴影部分的三角形与△ABC不相似的是( )

A B C D
3.【开放型试题】如图,在△ABC中,AB≠AC,D、E分别为边AB、AC上的点,AC=3AD,AB=3AE,点F为BC边上一点,添加一个条件: ,可以使得△FDB与△ADE相似.(只需写出一个)
4.如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点F.点E在BD上,且∠BAE=∠CAD,ABAE=ACAD.
(1)求证:△ABC∽△AED;
(2)若∠BAE=20°,求∠CBD的度数.
5.【新独家原创】如图,△ABC为等腰三角形,AB=AC,点D为边BC上一点,以点A为圆心,AD长为半径画弧,交BC于另一点E,连结AD、AE,点F在线段AB上,且AD2=AF·AB.
求证:∠AEF=∠C.( )
能力提升全练
6.如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且OAOC=OBOD,则
①△AOB∽△COD;②△AOD∽△BOC.下列关于①②的判断正确的是( )
A.①②都正确 B.①正确,②错误
C.①错误,②正确 D.①②都错误
7.【易错题】(2022上海中考,17,★★☆)如图,在△ABC中,∠A=30°,
∠B=90°,D为AB的中点,E在线段AC上,ADAB=DEBC,则AEAC= .
8.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点G,E为AD的中点,连结BE交AC于F,连结FD,若∠BFA=90°,求证:△FED∽△DEB.( )
9.如图,在正方形ABCD中,E是AD的中点,点F在CD上,且CF=3FD,连结BE,BF,EF.
(1)求证:△ABE∽△DEF;
(2)△ABE与△BEF相似吗?为什么?
素养探究全练
10.【推理能力】如图所示,已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,点D是BC上一动点,连结AD,以AD为直角边作Rt△DAE,使△ABC∽△ADE,连结CE.
(1)当BD=2时,求CE的值;
(2)设P为线段DE的中点,在点D运动过程中,CP的最小值是多少?
答案全解全析
基础过关全练
1.D 选项A,由∠A=∠A,∠B=∠ADE,能推出△ABC∽△ADE,故正确;选项B,由∠A=∠A,∠C=∠AED,能推出△ABC∽△ADE,故正确;
选项C,由∠A=∠A,ADAB=AEAC,能推出△ABC∽△ADE,故正确;
选项D,添加ADAB=DEBC,不能推出△ABC∽△ADE,故错误.故选D.
2.C 选项A中,阴影部分的三角形与△ABC有两个角对应相等,故两三角形相似;选项B中,阴影部分的三角形与△ABC有两个角对应相等,故两三角形相似;选项C中,两三角形不相似;选项D中,阴影部分的三角形与△ABC的两边对应成比例且夹角相等,故两三角形相似.故选C.
3.答案 ∠A=∠BDF(答案不唯一)
解析 ∵AC=3AD,AB=3AE,∴ADAC=AEAB=13,
又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB,∴∠AED=∠B.
故要使△FDB与△ADE相似,只需再添加一组角对应相等或夹角的两边对应成比例即可.
4.解析 (1)证明:∵∠BAE=∠CAD,
∴∠BAC=∠EAD.
又∵ABAE=ACAD,
∴△ABC∽△AED.
(2)∵△ABC∽△AED,
∴∠ABC=∠AED.
∵∠ABC=∠ABD+∠CBD,
∠AED=∠ABD+∠BAE,
∴∠CBD=∠BAE=20°.
5.证明 由题意可知AD=AE,
∵AD2=AF·AB,∴AE2= AF·AB,
∴AEAF=ABAE,又∵∠EAF=∠BAE,
∴△EAF∽△BAE,
∴∠AEF=∠B,
∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∴∠AEF=∠C.
能力提升全练
6.B ∵OAOC=OBOD,∠AOB=∠COD,∴△AOB∽△COD,故①正确;
在△AOD与△BOC中,只有∠AOD=∠BOC,再找不到任何一对角相等,也不能说明夹此角的两边对应成比例,故②错误.故选B.
7.答案 12或14
解析 ∵D为AB中点,∴ADAB=12.
如图,当DE∥BC时,△ADE∽△ABC,则ADAB=DEBC=AEAC=12.
当DE'与BC不平行时,∵ADAB=DEBC=DE'BC,∴DE=DE',
∵∠A=30°,∠B=90°,DE∥BC,
∴∠AED=∠C=60°,∠ADE=90°,
∴EE'=DE=AE'=12AE,∴AE'AC=14.
故答案为12或14.
8.证明 ∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAE=90°,
∵∠AFE=∠BFA=90°,∴∠AFE=∠BAE,
∵∠AEF=∠BEA,
∴△AFE∽△BAE,
∴AEBE=EFAE,∴AEEF=EBAE,
又∵AE=ED,∴EDEF=EBED,
又∠DEF=∠BED,
∴△FED∽△DEB.
9.解析 (1)证明:∵四边形ABCD为正方形,
∴∠A=∠D=90°,AB=AD=CD,
设AB=AD=CD=4a,
∵E为边AD的中点,CF=3FD,
∴AE=DE=2a,DF=a,
∴ABDE=4a2a=2,AEDF=2aa=2,
∴ABDE=AEDF,
又∵∠A=∠D=90°,
∴△ABE∽△DEF.
(2)△ABE∽△EBF.
理由:∵△ABE∽△DEF,
∴EFBE=DEAB=12,∠ABE=∠DEF,
∵∠AEB+∠ABE=90°,∴∠AEB+∠DEF=90°,
∴∠BEF=90°,
又∵AEAB=12,∠A=90°,
∴AEAB=EFEB=12,∠A=∠BEF=90°,
∴△ABE∽△EBF.
素养探究全练
10.解析 (1)∵△ABC∽△ADE,
∴ABAD=ACAE,∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE,ABAC=ADAE,
∴△BAD∽△CAE,
∴BDCE=ABAC=68=34,
∵BD=2,∴CE=83.
(2)∵△BAD∽△CAE,∴∠ABD=∠ACE,
∵∠BAC=90°,∴∠ABD+∠ACB=90°,
∴∠ACE+∠ACB=90°,∴∠DCE=90°,
∵P为线段DE的中点,∴CP=12DE.
∵△ABC∽△ADE,
∴AD的值最小时,DE的值最小,则CP的值最小,
∵AB=6,AC=8,∠BAC=90°,
∴BC=AB2+AC2=62+82=10,
∵△ABC∽△ADE,∴ABAD=BCDE,
∴6AD=10DE,即ADDE=35.
根据垂线段最短可知,当AD⊥BC时,AD的值最小,
此时AD=AB·ACBC=6×810=245,
∴DE=53AD=8,
∴CP的最小值为12×8=4.