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2023-2024学年吉林省松原市长岭县九年级（上）期末数学试卷（含解析） (1)
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这是一份2023-2024学年吉林省松原市长岭县九年级（上）期末数学试卷（含解析） (1)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图是一个由4个相同的长方体组成的立体图形，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
2.△ABC和△DEF相似，且相似比为23，那么△DEF和△ABC的面积比为( )
A. 23B. 32C. 49D. 94
3.如图，是反比例函数y=kx在第二象限的图象，则k的可能取值是( )
A. 2
B. −2
C. 12
D. −12
4.如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦且CD⊥AB，BC=6，AC=8，则sin∠ABD的值是( )
A. 43B. 34C. 35D. 45
5.如图，在△ABC中，点D在AB上，BD=2AD，DE//BC交AC于E，则下列结论不正确的是( )
A. BC=3DE
B. BDBA=CECA
C. △ADE∽△ABC
D. S△ADE=13S△ABC
6.如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为( )
A. 5csα m
B. 5csαm
C. 5sinα m
D. 5sinαm
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.在Rt△ABC中，若|sinA−1|+( 32−csB)2=0，则∠C= ______ ．
8.反比例函数y=3x关于y轴对称的函数的解析式为______ ．
9.将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BEEC的值是______．
10.如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是______ ．
11.如图，过原点O的直线与反比例函数y1，y2的图象在第一象限内分别交于点A，B，且A为OB的中点，若函数y1=1x，则y2与x的函数表达式是______．
12.已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3：4，△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为______ ．
13.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的表面积为______．
14.小芳的房间有一面积为3m2的玻璃窗，她站在室内离窗子4m的地方向外看，她能看到窗前面一幢楼房的面积有______ m2(楼之间的距离为20m)．
三、计算题：本大题共3小题，共22分。
15.如图，一艘轮船从离A观察站的正北10 3海里处的B港出发向东航行，观察站第一次测得该船在A地北偏东30°的C处；半小时后，又测得该船在A地的北偏东60°的D处，求此船的速度．
16.在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx的图象过点A(32,2)．
(1)求k的值；
(2)如图，在反比例y=kx(x>0)上有一点C，过A点的直线l⊥y轴，并与OC的延长线交于B，且OC=2BC，求点C的坐标．
17.实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(时)的关系可近似地用二次函数y=−200x2+400x刻画；1.5小时后(包括1.5小时)y与x可近似地用反比例函数y=kx(k>0)刻画(如图所示)．
(1)根据上述数学模型计算：
①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？
②当x=5时，y=45，求k的值．
(2)按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．
四、解答题：本题共9小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题5分)
在△ABC中，|cs∠A−12|+(1−tan∠B)2=0，求∠A，∠B，∠C的度数．
19.(本小题5分)
若反比例函数y=mxm2−5的图象经过第二、四象限，求m的值和该反比例函数的表达式．
20.(本小题5分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，cs∠ABC=35，D为AC上一点，而且∠DBC=30°，求AD的长．
21.(本小题7分)
在平面直角坐标系中，点A关于y轴的对称点为点B，点A关于原点O的对称点为点C．
(1)若A点的坐标为(1,2)，请你在给出的坐标系中画出△ABC.设AB与y轴的交点为D，则S△ADOS△ABC= ______ ；
(2)若点A的坐标为(a,b)(ab≠0)，则△ABC的形状为______ ．
22.(本小题7分)
如图，将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G．
(1)求EF的长
(2)求△EBG的周长．
23.(本小题7分)
已知图①和图②中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在方格纸上按要求画出格点三角形．
(1)在图①中画△A1B1C1，使得△A1B1C1∽△ABC，且相似比为2：1；
(2)在图②中画△MNP，使得△MNP∽△DEF，且周长比为 2：1．
24.(本小题8分)
如图是函数y=3x与函数y=6x在第一象限内的图象，点p是y=6x的图象上一动点，PA⊥x轴于点A，交y=3x的图象于点C，PB⊥y轴于点B，交y=3x的图象于点D．
(1)求证：D是BP的中点；
(2)求出四边形ODPC的面积．
25.(本小题8分)
如图，点A，B在反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，点A(m,2)，点B的横坐标是4，过点B作BC⊥x轴于点C，连接AC，AB．
(1)用含m的式子表示BC，则BC= ______ ；
(2)当0(3)在(2)的条件下，当△ABC的面积S最大时，求反比例函数y=kx的解析式．
26.(本小题10分)
已知△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=2 2，CD=CE= 2，点P、Q分别为AB、DE的中点，连接PQ、CP、CQ、BD．
猜想：如图①，当点D在AC上时，线段BD和PQ的大小关系是______ ．
探究：如图②，把△DCE绕着点C旋转一定的角度时，线段BD和PQ的大小关系是什么？并加以说明．
拓展：如图③，△ABC和△DCE均为直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，且∠A=∠E=30°，CD=1，BC= 3，点P、Q分别为AB、DE的中点，连接PQ、BD，当∠PQD=30°时，△BCD的面积是______ ．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层左边有一个正方形．
故选：A．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
2.【答案】D
【解析】解：∵△ABC和△DEF相似，且相似比为23，
∴△DEF和△ABC的相似比为32，
∴△DEF和△ABC的面积比为94．
故选：D．
先求出△DEF和△ABC的相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．
本题考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质，相似三角形的相似比要注意顺序．
3.【答案】D
【解析】解：∵反比例函数y=kx的图象在第二象限，
∴k<0，故可排除A、C；
∵x=−1时，y<1，
∴k−1<1，
∴k>−1，故可排除B．
故选：D．
先根据反比例函数的图象判断出k的符号，再根据x=−1时，y<1即可判断出k的取值范围，找出符合条件的k的值即可．
本题考查的是反比例函数的图象，即当k>0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限；当k<0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限．
4.【答案】D
【解析】【分析】
此题综合考查了垂径定理以及圆周角定理的推论，熟悉锐角三角函数的概念．由垂径定理和圆周角定理可证∠ABD=∠ABC，再根据勾股定理求得AB=10，即可求sin∠ABD的值．
【解答】
解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴AC=AD，∠ACB=90°，
∴∠ABD=∠ABC．
∵BC=6，AC=8，
由勾股定理得：AB=10，
∴sin∠ABD=sin∠ABC=810=45．
故选D．
5.【答案】D
【解析】解：∵BD=2AD，
∴AB=3AD，
∵DE//BC，
∴DEBC=ADAB=13，
∴BC=3DE，A结论正确；
∵DE//BC，
∴BDBA=CECA，B结论正确；
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，C结论正确；
∵DE//BC，AB=3AD，
∴S△ADE=19S△ABC，D结论错误，
故选：D．
根据平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质解答即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，灵活运用平行线分线段成比例定理、掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：如图，过点B作BC⊥AF于点C，
在Rt△ABC中，
∵BC=5米，∠CBA=∠α．
∴AB=BCcsα=5csα．
故选：B．
利用所给的角的余弦值求解即可．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
7.【答案】60°
【解析】解：由题意得：sinA=1，csB= 32，
可得∠A=90°，∠B=30°，
故∠C=180°−∠A−∠B=60°．
故答案为：60°．
根据题意可得sinA=1，csB= 32，根据特殊角的三角函数值可得∠A，∠B的度数，继而求得∠C的度数．
本题考查了特殊角的三角函数值，难度适中，解答本题的关键是熟记特殊角的三角函数值．
8.【答案】y=−3x
【解析】解：反比例函数y=3x关于y轴对称的函数的解析式为y=−3x．
故答案为：y=−3x．
根据“两反比例函数关于y轴对称，比例系数k互为相反数”即可求得关于y轴对称的函数的解析式．
本题考查了反比例函数的对称性，要求同学们熟练掌握．
9.【答案】 33
【解析】解：∵∠BAC=∠ACD=90°，
∴AB//CD，
∴△ABE∽△DCE，
∴BEEC=ABCD，
∵在Rt△ACB中∠B=45°，
∴AB=AC，
∵在Rt△ACD中，∠D=30°，
∴CD=ACtan30∘= 3AC，
∴BEEC=AC 3AC= 33．
故答案为： 33．
由∠BAC=∠ACD=90°，可得AB//CD，即可证得△ABE∽△DCE，然后由相似三角形的对应边成比例，可得：BEEC=ABCD，然后利用三角函数，用AC表示出AB与CD，即可求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
10.【答案】 1010
【解析】解：由题意可知，AB=2，AO= 42+22=2 5，BO= 22+22=2 2，
∵S△ABO=12AB⋅h=12AO⋅BO⋅sin∠AOB，
∴12×2×2=12×2 5×2 2×sin∠AOB，
∴sin∠AOB= 1010，
故答案为： 1010．
利用勾股定理求出AB、AO、BO的长，再由S△ABO=12AB⋅h=12AO⋅BO⋅sin∠AOB可得答案．
本题主要考查锐角的三角函数，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
11.【答案】y2=4x
【解析】解：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，
∵点A在反比例函数y1=1x上，
∴设A(a,1a)，
∴OC=a，AC=1a，
∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，
∴AC//BD，
∴△OAC∽△OBD，
∴ACBD=OCOD=OAOB，
∵A为OB的中点，
∴ACBD=OCOD=OAOB=12，
∴BD=2AC=2a，OD=2OC=2a，
∴B(2a,2a)，
设y2=kx，
∴k=2a⋅2a=4，
∴y2与x的函数表达式是：y2=4x．
故答案为：y2=4x．
过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，由于点A在反比例函数y1=1x上，设A(a,1a)，求得点B的坐标代入反比例函数的解析式即可求出结果．
本题主要考查了待定系数法求反比例函数，相似三角形的判定和性质，反比例函数y=kx中k的几何意义要注意数形结合思想的运用．
12.【答案】8
【解析】解：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴△ABC的周长：△A′B′C′的周长=3：4，
∵△ABC的周长为6，
∴△A′B′C′的周长=6×43=8．
故答案为：8．
根据相似三角形周长的比等于相似比计算即可得解．
本题主要考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形周长的比等于相似比的性质是解题的关键．
13.【答案】(18+2 3)cm2
【解析】【分析】
本题考查了三视图，三视图是中考经常考查的知识内容，难度不大，但要求对三视图画法规则要熟练掌握，对常见几何体的三视图要熟悉．由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
【解答】
解：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm，高为 3cm，三棱柱的高为3，所以，其表面积为3×2×3+2×12×2× 3=18+2 3(cm2).
故答案为(18+2 3)cm2．
14.【答案】108
【解析】解：根据题意：她能看到窗前面一幢楼房的图形与玻璃窗的外形应该相似，且相似比为244=6，
故面积的比为36；
故她能看到窗前面一幢楼房的面积有36×3=108(m2).
在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，依此进行分析．
本题考查了平行投影、视点、视线、位似变换、相似三角形对应高的比等于相似比等知识点．注意平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．
15.【答案】解：在Rt△ABC中，AC=ABcs∠BAC=10 3cs30∘=10 3 32=20.…(5分)
由题意，得∠CAD=∠CDA=30°，…(6分)
∴CD=AC=20(海里).20÷0.5=40(海里/时)．
答：此船的速度是40海里/时．…(8分)
【解析】根据已知及三角函数可求得AC的长，根据等腰三角形的性质可求得CD的长，已知时间则不难求得其速度．
此题考查的知识点是解直角三角形的应用−方向角问题，关键是转化为解直角三角形解答．
16.【答案】解：(1)∵反比例函数y=kx的图象过点A(32,2)，
∴k=32×2=3；
(2)作CE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，如图，
∵AB⊥y轴，
∴BF=2，
∵CE//BF，
∴△OCE∽△OBF，
∴CEBF=OCOB，
而OC=2BC，
∴CE=23BF=43，
当y=43时，3x=43，解得x=94，
∴C点坐标为(94,43).
【解析】(1)把A点坐标代入y=kx中可求出k的值；
(2)作CE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，如图，证明△OCE∽△OBF，利用相似比可求出CE的长，从而得到C点的纵坐标，然后利用反比例函数解析式可确定C点坐标．
本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式：先设出含有待定系数的反比例函数解析式y=xk(k为常数，k≠0)；再把已知条件(自变量与函数的对应值)带入解析式，得到待定系数的方程；接着解方程，求出待定系数；然后写出解析式．也考查了反比例函数的性质．
17.【答案】解：(1)①y=−200x2+400x=−200(x−1)2+200，
∴x=1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200(毫克/百毫升)；
②∵当x=5时，y=45，y=kx(k>0)，
∴k=xy=45×5=225；
(2)不能驾车上班；
理由：∵晚上20：00到第二天早上7：00，一共有11小时，
∴将x=11代入y=225x，则y=22511>20，
∴第二天早上7：00不能驾车去上班．
【解析】(1)①利用y=−200x2+400x=−200(x−1)2+200确定最大值；
②直接利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
(2)求出x=11时，y的值，进而得出能否驾车去上班．
此题主要考查了反比例函数与二次函数综合应用，根据图象得出正确信息是解题关键．
18.【答案】解：∵|cs∠A−12|+(1−tan∠B)2=0，
∴cs∠A−12=0，1−tan∠B=0，
即csA=12，tanB=1，
∴∠A=60°，∠B=45°，
∴∠C=180°−∠A−∠B=180°−60°−45°=75°．
【解析】先根据非负数的性质得到cs∠A−12=0，1−tan∠B=0，则根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数，然后根据三角形内角和定理计算出∠C的度数．
本题考查了特殊角的三角函数值：熟练记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
19.【答案】解：∵反比例函数y=mxm2−5的图象经过第二、四象限，
∴m2−5=−1，m<0，
解得：m=−2，
则反比例函数解析式为y=−1x．
【解析】利用反比例函数的性质确定出m的值，进而求出表达式即可．
此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
20.【答案】解：∵cs∠ABC=35，∠C=90°，
∴BCAB=35，
∵AB=10，
∴BC=10×=6，
∴AC= AB2−BC2=8，
∵∠DBC=30°，
∴CD=BC⋅tan30°=6× 33=2 3，
∴AD=AC−CD=8−2 3．
【解析】首先根据余弦定义计算出BC的长，再利用勾股定理可计算出AC的长，再次利用特殊角的三角函数值计算出CD的长，再根据线段的和差关系可得AD长．
此题主要考查了解直角三角形，关键是掌握特殊角的三角函数值，以及勾股定理的应用．
21.【答案】(1)14；
(2)直角三角形．
【解析】解：(1)∵A点的坐标为(1,2)，点A关于y轴的对称点为点B，点A关于原点O的对称点为点C，
∴B点坐标为(−1,2)，C点坐标为(−1,−2)，
连AB，BC，AC，AB交y轴于D点，如图，
D点坐标为(0,2)，
∴S△ADO=12OD⋅AD=12×2×1=1，S△ABC=12BC⋅AB=12×4×2=4，
∴S△ADOS△ABC=14；
(2)点A的坐标为(a,b)(ab≠0)，则B点坐标为(−a,b)，C点坐标为(−a,−b)，
AB//x轴，BC//y轴，AB=2|a|，BC=2|b|，
∴△ABC的形状为直角三角形．
故答案为：14；直角三角形．
解析：(1)由A点的坐标为(1,2)，而点A关于y轴的对称点为点B，点A关于原点O的对称点为点C，根据关于原点对称的坐标特点得到B点坐标为(−1,2)，C点坐标为(−1,−2)，则D点坐标为(0,2)，利用三角形面积公式有S△ADO=12OD⋅AD=12×2×1=1，S△ABC=12BC⋅AB=12×4×2=4，即可得到S△ADOS△ABC=14；
(2)点A的坐标为(a,b)(ab≠0)，则B点坐标为(−a,b)，C点坐标为(−a,−b)，则AB//x轴，BC//y轴，AB=2|a|，BC=2|b|，得到△ABC的形状为直角三角形．
本题考查了关于原点对称的坐标特点：点P(a,b)关于原点的对称点P′的坐标为(−a,−b).也考查了关于x轴、y轴对称的坐标特点以及三角形的面积公式．
22.【答案】解：(1)设EF=x cm，
∵EF=DF，
∴DF=x cm，
则AF=(6−x)cm，
∵AE=12AB=3cm，
由勾股定理得：
x2=32+(6−x)2，
解得：x=154，
∴EF=154cm；
(2)由(1)AF=6−x=6−154=94(cm)，
由题意得：∠GEF=∠D=90°，∠A=∠B=90°，
∴∠AEF+∠AFE=∠AEF+∠BEG，
∴∠AFE=∠BEG；
∴△AEF∽△BGE，
∴EFEG=AFBE=AEBG，
∴154EG=943=3BG，
∴EG=5，BG=4，
∴△EBG的周长=5+3+4=12(cm)．
【解析】(1)根据勾股定理即可求出EF的长度；
(2)证明△AEF∽△BGE，列出关于△BGE的三边长的比例式，求出三边的长度即可解决问题．
本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟记性质并求出△AEF的各边的长，然后利用相似三角形的性质求出△EBG的各边的长是解题的关键，也是本题的难点．
23.【答案】解：(1)如图①所示，
△A1B1C1即为所作图形；
(2)如图②所示，
△MNP即为所作图形．
【解析】(1)根据相似比得出各边扩大2倍，即可得出答案；
(2)根据相似比得出各边扩大 2倍，即可得出答案．
此题主要考查了作图−相似变换以及勾股定理，根据题意得出对应边的长是解答本题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵点P在函数y=6x上，
∴设P点坐标为(6m,m)．
∵点D在函数y=3x上，BP//x轴，
∴设点D坐标为(3x,m)，
由题意，得BD=3m，BP=6m，
∴BP=2BD，
∴D是BP的中点．
(2)解：∵S四边形OAPB=6，S△OBD=S△OAC=32，
∴S四边形OCPD=S四边形PBOA−S△OBD−S△OAC=6−32−32=3．
【解析】(1)根据函数图象上的点满足函数解析式，可得P、D点坐标，根据线段中点的定义，可得答案；
(2)根据图象割补法，可得面积的和差，可得答案．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了函数图象上的点满足函数解析式，线段中点的定义，图形割补法是求图形面积的重要方法．
25.【答案】12m
【解析】解：(1)∵点A(m,2)在反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，
∴k=2m，
∴y=2mx，
∵点B在反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，点B的横坐标是4，过点B作BC⊥x轴于点C，
∴y=2m4=12m，
∴BC=12m；
故答案为12m.
(2)S△ABC=12⋅12m⋅(4−m)=−14m2+m(0(3)由S△ABC=−14m2+m=−14(m−2)2+1，
∴当m=2时，△ABC的面积S最大，
∴当△ABC的面积S最大时，求反比例函数y=kx的解析式为y=4x．
(1)把A坐标代入y=kx求得k=2m，然后把x=4代入求得B的纵坐标，从而求得BC；
(2)根据三角形面积公式即可求得；
(3)把S△ABC=−14m2+m化成顶点式求得m的值，即可求得解析式．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例系数k的几何意义以及反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
26.【答案】BD= 2PQ 22
【解析】猜想：∵P点是AB的中点，△ABC是等腰直角三角形，
∴CP=12AB，
∴AC=BC=2 2，∠ACB=90°，
∴AB=4，
∴PC=2，
∵Q是DE的中点，△DCE为等腰直角三角形，
∴CQ=12DE，
∵CD=CE= 2，
∴CD=2，
∴CQ=1，
∵∠ACP=∠ACQ=45°，
∴∠PCQ=90°，
∴PQ= 5，
在Rt△BCD中，BD= 10，
∴BD= 2PQ，
故答案为：BD= 2PQ；
探究：BD= 2PQ，理由如下：
由猜想可知，AB=4，DE=2，CP=2，
CQ=1，
∴BCCP= 2，CDQC= 2，
∴BCCP=CDQC，
∵∠ACP=∠CDQ=45°，
∴∠PCQ=∠ACP+∠ACD+∠DCQ=90°+∠ACD，∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，
∴∠BCD=∠PCQ，
∴△BCD∽△PCQ，
∴BDPQ=BCCP= 2，
∴BD= 2PQ；
拓展：连接PC、CQ，如图③，
由探究可知，△PCQ∽△BCD，
∴∠PQC=∠BDC，
在Rt△DCE中，∠E=30°，
∴DE=2CD，
∵Q是DE的中点，
∴CD=12DE，
∴QC=CD，
∴△CDQ为等边三角形，
∴∠DQC=60°，
∵∠PQD=30°，
∴∠PQC=90°，
∴△BCD是直角三角形，
∵CD=1，BC= 3，
∴BD= 2，
∴S△BCD=S△BCD= 2×1×12= 22，
故答案为： 22．
猜想：先求出∠PCQ=90°，利用勾股定理求出PQ的长，再由勾股定理求出BD的长，即可确定数量关系；
探究：根据BCCP=CDQC，∠BCD=∠PCQ，证明△BCD∽△PCQ，可得BDPQ=BCCP= 2，即可得到BD= 2PQ；
拓展：连接PC、CQ，证明△CDQ为等边三角形，△BCD是直角三角形，求出BD= 2，再求S△BCD= 22即可．
本题考查几何变换的综合应用，熟练掌握等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质，勾股定理，等边三角形的性质，图形旋转的性质是解题的关键．
1.如图是一个由4个相同的长方体组成的立体图形，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
2.△ABC和△DEF相似，且相似比为23，那么△DEF和△ABC的面积比为( )
A. 23B. 32C. 49D. 94
3.如图，是反比例函数y=kx在第二象限的图象，则k的可能取值是( )
A. 2
B. −2
C. 12
D. −12
4.如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦且CD⊥AB，BC=6，AC=8，则sin∠ABD的值是( )
A. 43B. 34C. 35D. 45
5.如图，在△ABC中，点D在AB上，BD=2AD，DE//BC交AC于E，则下列结论不正确的是( )
A. BC=3DE
B. BDBA=CECA
C. △ADE∽△ABC
D. S△ADE=13S△ABC
6.如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为( )
A. 5csα m
B. 5csαm
C. 5sinα m
D. 5sinαm
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.在Rt△ABC中，若|sinA−1|+( 32−csB)2=0，则∠C= ______ ．
8.反比例函数y=3x关于y轴对称的函数的解析式为______ ．
9.将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BEEC的值是______．
10.如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是______ ．
11.如图，过原点O的直线与反比例函数y1，y2的图象在第一象限内分别交于点A，B，且A为OB的中点，若函数y1=1x，则y2与x的函数表达式是______．
12.已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3：4，△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为______ ．
13.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的表面积为______．
14.小芳的房间有一面积为3m2的玻璃窗，她站在室内离窗子4m的地方向外看，她能看到窗前面一幢楼房的面积有______ m2(楼之间的距离为20m)．
三、计算题：本大题共3小题，共22分。
15.如图，一艘轮船从离A观察站的正北10 3海里处的B港出发向东航行，观察站第一次测得该船在A地北偏东30°的C处；半小时后，又测得该船在A地的北偏东60°的D处，求此船的速度．
16.在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx的图象过点A(32,2)．
(1)求k的值；
(2)如图，在反比例y=kx(x>0)上有一点C，过A点的直线l⊥y轴，并与OC的延长线交于B，且OC=2BC，求点C的坐标．
17.实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(时)的关系可近似地用二次函数y=−200x2+400x刻画；1.5小时后(包括1.5小时)y与x可近似地用反比例函数y=kx(k>0)刻画(如图所示)．
(1)根据上述数学模型计算：
①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？
②当x=5时，y=45，求k的值．
(2)按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．
四、解答题：本题共9小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题5分)
在△ABC中，|cs∠A−12|+(1−tan∠B)2=0，求∠A，∠B，∠C的度数．
19.(本小题5分)
若反比例函数y=mxm2−5的图象经过第二、四象限，求m的值和该反比例函数的表达式．
20.(本小题5分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，cs∠ABC=35，D为AC上一点，而且∠DBC=30°，求AD的长．
21.(本小题7分)
在平面直角坐标系中，点A关于y轴的对称点为点B，点A关于原点O的对称点为点C．
(1)若A点的坐标为(1,2)，请你在给出的坐标系中画出△ABC.设AB与y轴的交点为D，则S△ADOS△ABC= ______ ；
(2)若点A的坐标为(a,b)(ab≠0)，则△ABC的形状为______ ．
22.(本小题7分)
如图，将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G．
(1)求EF的长
(2)求△EBG的周长．
23.(本小题7分)
已知图①和图②中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在方格纸上按要求画出格点三角形．
(1)在图①中画△A1B1C1，使得△A1B1C1∽△ABC，且相似比为2：1；
(2)在图②中画△MNP，使得△MNP∽△DEF，且周长比为 2：1．
24.(本小题8分)
如图是函数y=3x与函数y=6x在第一象限内的图象，点p是y=6x的图象上一动点，PA⊥x轴于点A，交y=3x的图象于点C，PB⊥y轴于点B，交y=3x的图象于点D．
(1)求证：D是BP的中点；
(2)求出四边形ODPC的面积．
25.(本小题8分)
如图，点A，B在反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，点A(m,2)，点B的横坐标是4，过点B作BC⊥x轴于点C，连接AC，AB．
(1)用含m的式子表示BC，则BC= ______ ；
(2)当0
26.(本小题10分)
已知△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=2 2，CD=CE= 2，点P、Q分别为AB、DE的中点，连接PQ、CP、CQ、BD．
猜想：如图①，当点D在AC上时，线段BD和PQ的大小关系是______ ．
探究：如图②，把△DCE绕着点C旋转一定的角度时，线段BD和PQ的大小关系是什么？并加以说明．
拓展：如图③，△ABC和△DCE均为直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，且∠A=∠E=30°，CD=1，BC= 3，点P、Q分别为AB、DE的中点，连接PQ、BD，当∠PQD=30°时，△BCD的面积是______ ．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层左边有一个正方形．
故选：A．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
2.【答案】D
【解析】解：∵△ABC和△DEF相似，且相似比为23，
∴△DEF和△ABC的相似比为32，
∴△DEF和△ABC的面积比为94．
故选：D．
先求出△DEF和△ABC的相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．
本题考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质，相似三角形的相似比要注意顺序．
3.【答案】D
【解析】解：∵反比例函数y=kx的图象在第二象限，
∴k<0，故可排除A、C；
∵x=−1时，y<1，
∴k−1<1，
∴k>−1，故可排除B．
故选：D．
先根据反比例函数的图象判断出k的符号，再根据x=−1时，y<1即可判断出k的取值范围，找出符合条件的k的值即可．
本题考查的是反比例函数的图象，即当k>0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限；当k<0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限．
4.【答案】D
【解析】【分析】
此题综合考查了垂径定理以及圆周角定理的推论，熟悉锐角三角函数的概念．由垂径定理和圆周角定理可证∠ABD=∠ABC，再根据勾股定理求得AB=10，即可求sin∠ABD的值．
【解答】
解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴AC=AD，∠ACB=90°，
∴∠ABD=∠ABC．
∵BC=6，AC=8，
由勾股定理得：AB=10，
∴sin∠ABD=sin∠ABC=810=45．
故选D．
5.【答案】D
【解析】解：∵BD=2AD，
∴AB=3AD，
∵DE//BC，
∴DEBC=ADAB=13，
∴BC=3DE，A结论正确；
∵DE//BC，
∴BDBA=CECA，B结论正确；
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，C结论正确；
∵DE//BC，AB=3AD，
∴S△ADE=19S△ABC，D结论错误，
故选：D．
根据平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质解答即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，灵活运用平行线分线段成比例定理、掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：如图，过点B作BC⊥AF于点C，
在Rt△ABC中，
∵BC=5米，∠CBA=∠α．
∴AB=BCcsα=5csα．
故选：B．
利用所给的角的余弦值求解即可．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
7.【答案】60°
【解析】解：由题意得：sinA=1，csB= 32，
可得∠A=90°，∠B=30°，
故∠C=180°−∠A−∠B=60°．
故答案为：60°．
根据题意可得sinA=1，csB= 32，根据特殊角的三角函数值可得∠A，∠B的度数，继而求得∠C的度数．
本题考查了特殊角的三角函数值，难度适中，解答本题的关键是熟记特殊角的三角函数值．
8.【答案】y=−3x
【解析】解：反比例函数y=3x关于y轴对称的函数的解析式为y=−3x．
故答案为：y=−3x．
根据“两反比例函数关于y轴对称，比例系数k互为相反数”即可求得关于y轴对称的函数的解析式．
本题考查了反比例函数的对称性，要求同学们熟练掌握．
9.【答案】 33
【解析】解：∵∠BAC=∠ACD=90°，
∴AB//CD，
∴△ABE∽△DCE，
∴BEEC=ABCD，
∵在Rt△ACB中∠B=45°，
∴AB=AC，
∵在Rt△ACD中，∠D=30°，
∴CD=ACtan30∘= 3AC，
∴BEEC=AC 3AC= 33．
故答案为： 33．
由∠BAC=∠ACD=90°，可得AB//CD，即可证得△ABE∽△DCE，然后由相似三角形的对应边成比例，可得：BEEC=ABCD，然后利用三角函数，用AC表示出AB与CD，即可求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
10.【答案】 1010
【解析】解：由题意可知，AB=2，AO= 42+22=2 5，BO= 22+22=2 2，
∵S△ABO=12AB⋅h=12AO⋅BO⋅sin∠AOB，
∴12×2×2=12×2 5×2 2×sin∠AOB，
∴sin∠AOB= 1010，
故答案为： 1010．
利用勾股定理求出AB、AO、BO的长，再由S△ABO=12AB⋅h=12AO⋅BO⋅sin∠AOB可得答案．
本题主要考查锐角的三角函数，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
11.【答案】y2=4x
【解析】解：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，
∵点A在反比例函数y1=1x上，
∴设A(a,1a)，
∴OC=a，AC=1a，
∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，
∴AC//BD，
∴△OAC∽△OBD，
∴ACBD=OCOD=OAOB，
∵A为OB的中点，
∴ACBD=OCOD=OAOB=12，
∴BD=2AC=2a，OD=2OC=2a，
∴B(2a,2a)，
设y2=kx，
∴k=2a⋅2a=4，
∴y2与x的函数表达式是：y2=4x．
故答案为：y2=4x．
过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，由于点A在反比例函数y1=1x上，设A(a,1a)，求得点B的坐标代入反比例函数的解析式即可求出结果．
本题主要考查了待定系数法求反比例函数，相似三角形的判定和性质，反比例函数y=kx中k的几何意义要注意数形结合思想的运用．
12.【答案】8
【解析】解：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴△ABC的周长：△A′B′C′的周长=3：4，
∵△ABC的周长为6，
∴△A′B′C′的周长=6×43=8．
故答案为：8．
根据相似三角形周长的比等于相似比计算即可得解．
本题主要考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形周长的比等于相似比的性质是解题的关键．
13.【答案】(18+2 3)cm2
【解析】【分析】
本题考查了三视图，三视图是中考经常考查的知识内容，难度不大，但要求对三视图画法规则要熟练掌握，对常见几何体的三视图要熟悉．由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
【解答】
解：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm，高为 3cm，三棱柱的高为3，所以，其表面积为3×2×3+2×12×2× 3=18+2 3(cm2).
故答案为(18+2 3)cm2．
14.【答案】108
【解析】解：根据题意：她能看到窗前面一幢楼房的图形与玻璃窗的外形应该相似，且相似比为244=6，
故面积的比为36；
故她能看到窗前面一幢楼房的面积有36×3=108(m2).
在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，依此进行分析．
本题考查了平行投影、视点、视线、位似变换、相似三角形对应高的比等于相似比等知识点．注意平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．
15.【答案】解：在Rt△ABC中，AC=ABcs∠BAC=10 3cs30∘=10 3 32=20.…(5分)
由题意，得∠CAD=∠CDA=30°，…(6分)
∴CD=AC=20(海里).20÷0.5=40(海里/时)．
答：此船的速度是40海里/时．…(8分)
【解析】根据已知及三角函数可求得AC的长，根据等腰三角形的性质可求得CD的长，已知时间则不难求得其速度．
此题考查的知识点是解直角三角形的应用−方向角问题，关键是转化为解直角三角形解答．
16.【答案】解：(1)∵反比例函数y=kx的图象过点A(32,2)，
∴k=32×2=3；
(2)作CE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，如图，
∵AB⊥y轴，
∴BF=2，
∵CE//BF，
∴△OCE∽△OBF，
∴CEBF=OCOB，
而OC=2BC，
∴CE=23BF=43，
当y=43时，3x=43，解得x=94，
∴C点坐标为(94,43).
【解析】(1)把A点坐标代入y=kx中可求出k的值；
(2)作CE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，如图，证明△OCE∽△OBF，利用相似比可求出CE的长，从而得到C点的纵坐标，然后利用反比例函数解析式可确定C点坐标．
本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式：先设出含有待定系数的反比例函数解析式y=xk(k为常数，k≠0)；再把已知条件(自变量与函数的对应值)带入解析式，得到待定系数的方程；接着解方程，求出待定系数；然后写出解析式．也考查了反比例函数的性质．
17.【答案】解：(1)①y=−200x2+400x=−200(x−1)2+200，
∴x=1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200(毫克/百毫升)；
②∵当x=5时，y=45，y=kx(k>0)，
∴k=xy=45×5=225；
(2)不能驾车上班；
理由：∵晚上20：00到第二天早上7：00，一共有11小时，
∴将x=11代入y=225x，则y=22511>20，
∴第二天早上7：00不能驾车去上班．
【解析】(1)①利用y=−200x2+400x=−200(x−1)2+200确定最大值；
②直接利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
(2)求出x=11时，y的值，进而得出能否驾车去上班．
此题主要考查了反比例函数与二次函数综合应用，根据图象得出正确信息是解题关键．
18.【答案】解：∵|cs∠A−12|+(1−tan∠B)2=0，
∴cs∠A−12=0，1−tan∠B=0，
即csA=12，tanB=1，
∴∠A=60°，∠B=45°，
∴∠C=180°−∠A−∠B=180°−60°−45°=75°．
【解析】先根据非负数的性质得到cs∠A−12=0，1−tan∠B=0，则根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数，然后根据三角形内角和定理计算出∠C的度数．
本题考查了特殊角的三角函数值：熟练记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
19.【答案】解：∵反比例函数y=mxm2−5的图象经过第二、四象限，
∴m2−5=−1，m<0，
解得：m=−2，
则反比例函数解析式为y=−1x．
【解析】利用反比例函数的性质确定出m的值，进而求出表达式即可．
此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
20.【答案】解：∵cs∠ABC=35，∠C=90°，
∴BCAB=35，
∵AB=10，
∴BC=10×=6，
∴AC= AB2−BC2=8，
∵∠DBC=30°，
∴CD=BC⋅tan30°=6× 33=2 3，
∴AD=AC−CD=8−2 3．
【解析】首先根据余弦定义计算出BC的长，再利用勾股定理可计算出AC的长，再次利用特殊角的三角函数值计算出CD的长，再根据线段的和差关系可得AD长．
此题主要考查了解直角三角形，关键是掌握特殊角的三角函数值，以及勾股定理的应用．
21.【答案】(1)14；
(2)直角三角形．
【解析】解：(1)∵A点的坐标为(1,2)，点A关于y轴的对称点为点B，点A关于原点O的对称点为点C，
∴B点坐标为(−1,2)，C点坐标为(−1,−2)，
连AB，BC，AC，AB交y轴于D点，如图，
D点坐标为(0,2)，
∴S△ADO=12OD⋅AD=12×2×1=1，S△ABC=12BC⋅AB=12×4×2=4，
∴S△ADOS△ABC=14；
(2)点A的坐标为(a,b)(ab≠0)，则B点坐标为(−a,b)，C点坐标为(−a,−b)，
AB//x轴，BC//y轴，AB=2|a|，BC=2|b|，
∴△ABC的形状为直角三角形．
故答案为：14；直角三角形．
解析：(1)由A点的坐标为(1,2)，而点A关于y轴的对称点为点B，点A关于原点O的对称点为点C，根据关于原点对称的坐标特点得到B点坐标为(−1,2)，C点坐标为(−1,−2)，则D点坐标为(0,2)，利用三角形面积公式有S△ADO=12OD⋅AD=12×2×1=1，S△ABC=12BC⋅AB=12×4×2=4，即可得到S△ADOS△ABC=14；
(2)点A的坐标为(a,b)(ab≠0)，则B点坐标为(−a,b)，C点坐标为(−a,−b)，则AB//x轴，BC//y轴，AB=2|a|，BC=2|b|，得到△ABC的形状为直角三角形．
本题考查了关于原点对称的坐标特点：点P(a,b)关于原点的对称点P′的坐标为(−a,−b).也考查了关于x轴、y轴对称的坐标特点以及三角形的面积公式．
22.【答案】解：(1)设EF=x cm，
∵EF=DF，
∴DF=x cm，
则AF=(6−x)cm，
∵AE=12AB=3cm，
由勾股定理得：
x2=32+(6−x)2，
解得：x=154，
∴EF=154cm；
(2)由(1)AF=6−x=6−154=94(cm)，
由题意得：∠GEF=∠D=90°，∠A=∠B=90°，
∴∠AEF+∠AFE=∠AEF+∠BEG，
∴∠AFE=∠BEG；
∴△AEF∽△BGE，
∴EFEG=AFBE=AEBG，
∴154EG=943=3BG，
∴EG=5，BG=4，
∴△EBG的周长=5+3+4=12(cm)．
【解析】(1)根据勾股定理即可求出EF的长度；
(2)证明△AEF∽△BGE，列出关于△BGE的三边长的比例式，求出三边的长度即可解决问题．
本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟记性质并求出△AEF的各边的长，然后利用相似三角形的性质求出△EBG的各边的长是解题的关键，也是本题的难点．
23.【答案】解：(1)如图①所示，
△A1B1C1即为所作图形；
(2)如图②所示，
△MNP即为所作图形．
【解析】(1)根据相似比得出各边扩大2倍，即可得出答案；
(2)根据相似比得出各边扩大 2倍，即可得出答案．
此题主要考查了作图−相似变换以及勾股定理，根据题意得出对应边的长是解答本题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵点P在函数y=6x上，
∴设P点坐标为(6m,m)．
∵点D在函数y=3x上，BP//x轴，
∴设点D坐标为(3x,m)，
由题意，得BD=3m，BP=6m，
∴BP=2BD，
∴D是BP的中点．
(2)解：∵S四边形OAPB=6，S△OBD=S△OAC=32，
∴S四边形OCPD=S四边形PBOA−S△OBD−S△OAC=6−32−32=3．
【解析】(1)根据函数图象上的点满足函数解析式，可得P、D点坐标，根据线段中点的定义，可得答案；
(2)根据图象割补法，可得面积的和差，可得答案．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了函数图象上的点满足函数解析式，线段中点的定义，图形割补法是求图形面积的重要方法．
25.【答案】12m
【解析】解：(1)∵点A(m,2)在反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，
∴k=2m，
∴y=2mx，
∵点B在反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，点B的横坐标是4，过点B作BC⊥x轴于点C，
∴y=2m4=12m，
∴BC=12m；
故答案为12m.
(2)S△ABC=12⋅12m⋅(4−m)=−14m2+m(0
∴当m=2时，△ABC的面积S最大，
∴当△ABC的面积S最大时，求反比例函数y=kx的解析式为y=4x．
(1)把A坐标代入y=kx求得k=2m，然后把x=4代入求得B的纵坐标，从而求得BC；
(2)根据三角形面积公式即可求得；
(3)把S△ABC=−14m2+m化成顶点式求得m的值，即可求得解析式．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例系数k的几何意义以及反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
26.【答案】BD= 2PQ 22
【解析】猜想：∵P点是AB的中点，△ABC是等腰直角三角形，
∴CP=12AB，
∴AC=BC=2 2，∠ACB=90°，
∴AB=4，
∴PC=2，
∵Q是DE的中点，△DCE为等腰直角三角形，
∴CQ=12DE，
∵CD=CE= 2，
∴CD=2，
∴CQ=1，
∵∠ACP=∠ACQ=45°，
∴∠PCQ=90°，
∴PQ= 5，
在Rt△BCD中，BD= 10，
∴BD= 2PQ，
故答案为：BD= 2PQ；
探究：BD= 2PQ，理由如下：
由猜想可知，AB=4，DE=2，CP=2，
CQ=1，
∴BCCP= 2，CDQC= 2，
∴BCCP=CDQC，
∵∠ACP=∠CDQ=45°，
∴∠PCQ=∠ACP+∠ACD+∠DCQ=90°+∠ACD，∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，
∴∠BCD=∠PCQ，
∴△BCD∽△PCQ，
∴BDPQ=BCCP= 2，
∴BD= 2PQ；
拓展：连接PC、CQ，如图③，
由探究可知，△PCQ∽△BCD，
∴∠PQC=∠BDC，
在Rt△DCE中，∠E=30°，
∴DE=2CD，
∵Q是DE的中点，
∴CD=12DE，
∴QC=CD，
∴△CDQ为等边三角形，
∴∠DQC=60°，
∵∠PQD=30°，
∴∠PQC=90°，
∴△BCD是直角三角形，
∵CD=1，BC= 3，
∴BD= 2，
∴S△BCD=S△BCD= 2×1×12= 22，
故答案为： 22．
猜想：先求出∠PCQ=90°，利用勾股定理求出PQ的长，再由勾股定理求出BD的长，即可确定数量关系；
探究：根据BCCP=CDQC，∠BCD=∠PCQ，证明△BCD∽△PCQ，可得BDPQ=BCCP= 2，即可得到BD= 2PQ；
拓展：连接PC、CQ，证明△CDQ为等边三角形，△BCD是直角三角形，求出BD= 2，再求S△BCD= 22即可．
本题考查几何变换的综合应用，熟练掌握等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质，勾股定理，等边三角形的性质，图形旋转的性质是解题的关键．
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