2023-2024学年广东省江门市五校联考高二（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省江门市五校联考高二（上）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在空间直角坐标系中，a=(2x−4,x2,−4)，b=(−1,−4,1)，若a/​/b，则x的值为( )
A. 3B. 6C. 5D. 4
2.设直线l的斜率k满足|k|≤1，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A. [0,π4)B. [0,π4]∪[3π4,π)C. (3π4,π)D. [0,π4)∪(3π4,π]
3.三棱锥O−ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，若OA=a,OB=b,OC=c，则OE=( )
A. −12a−12b+cB. −12a+12b+c
C. −12a−14b+14cD. 12a+14b+14c
4.已知平面α的一个法向量为n=( 3,1,0)，则x轴与平面α所成角的大小为( )
A. π2B. π3C. 4D. π6
5.若点P(3,a)到直线x+ 3y−4=0的距离为1，则a值为( )
A. 3B. − 33C. 33或− 3D. 3或− 33
6.已知平面α的一个法向量n=(1,−2,−2)，点A(−1,3,0)在α内，则平面外一点P(−2,1,4)到α的距离为( )
A. 10B. 3C. 53D. 103
7.光线自点M(2,3)射到N(1,0)后被x轴反射，则反射光线所在的直线与圆C：x2+(y−4)2=1( )
A. 相离B. 相切C. 相交且过圆心D. 相交但不过圆心
8.圆x2+y2+4x−6y=0和圆x2+y2−6x=0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是( )
A. 3x+5y+9=0B. 3x−5y−9=0C. 3x−5y+9=0D. 3x+5y−9=0
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间向量m=(2,−1,3)，n=(−4,2,x)，则下列选项中正确的是( )
A. 当m//n时，x=−6B. 当m⊥n时，x=2
C. 当x=−4时，|m+n|= 6D. 当x=1时，cs〈m,n〉=− 66
10.已知直线l：kx−y−k=0与圆M：x2+y2−4x−2y+1=0，则下列说法正确的是( )
A. 直线l恒过定点(1,0)B. 圆M的半径为2
C. 不存在实数k，使得直线l与圆M相切D. 直线l被圆M截得的弦长最长为2 2
11.若直线3x+4y−12=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P是圆x2+y2+6x+2y+6=0上的一点，则△PAB的面积可能为( )
A. 6B. 11C. 14D. 18
12.已知正方体ABCD−A′B′C′D′的边长为2，Q为棱AA′的中点，M，N分别为线段C′D′，CD上两动点(包括端点)，记直线QM，QN与平面ABB′A′所成角分别为α，β，tan2α+tan2β=4，则存在点M，N，使得( )
A. MN//AA′B. MN=2 2C. MN=52D. MN⊥C′Q
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.点M是空间直角坐标系Oxyz中的一点，其坐标为(1,−1,2)，若点N与点M关于x轴对称，则点N的坐标为______ ．
14.已知向量a=(1,4,1)，b=(−2,1,1)，则向量a在向量b上投影向量为______ ．
15.若过点P(2,1)作圆x2+y2=1的切线，则切线方程为______．
16.经过点P(1,2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知a=(3,2,−1)，b=(2,1,2)．
(1)求(a+b)⋅(a−2b)；
(2)当(ka+b)⊥(a−kb)时，求实数k的值．
18.(本小题12分)
已知△ABC的顶点B(−2,0)，AB边上的高所在的直线方程为x+3y−26=0．
(1)求直线AB的方程；
(2)若BC边上的中线所在的直线方程为y=3，求直线AC的方程．
19.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy内有三个定点A(2,2)，B(1,3)，C(1,1)，记△ABC的外接圆为E．
(1)求圆E的方程；
(2)试判断直线l：y=x+2与圆E是否相交，并说明理由；若相交，求所截得的弦长．
20.(本小题12分)
如图所示，四棱锥P−ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，E为PC的中点，PD=DC=2．
(1)证明：PA//平面BDE；
(2)求三棱锥E−PAB的体积．
21.(本小题12分)
已知在平面直角坐标系xOy中，已知A、B是圆O：x2+y2=8上的两个动点，P是弦AB的中点，且∠AOB=90°．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)过点D(1,0)的直线与点P的轨迹T交于E，F两点，探索DE⋅DF是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
22.(本小题12分)
如图，在三棱锥A−BCD中，△ABC是正三角形，平面ABC⊥平面BCD，BD⊥CD，点E，F分别是BC，DC的中点．
(1)证明：平面ACD⊥平面AEF；
(2)若∠BCD=60°，点G是线段BD上的动点，问：点G运动到何处时，平面AEG与平面ACD所成的锐二面角最小．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：在空间直角坐标系中，a=(2x−4,x2,−4)，b=(−1,−4,1)，若a/​/b，
则2x−4−1=x2−4=−41，解得x=4．
故选：D．
由已知直接利用空间向量的坐标运算列式求解x的值．
本题考查空间向量共线的坐标运算，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由于直线l的斜率k满足|k|≤1，即−1≤k≤1，
则直线l的倾斜角α满足0≤tanα≤1或tanα≥−1，故有0≤α≤π4或3π4≤α