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2022-2023学年山东省聊城市临清市八年级（上）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年山东省聊城市临清市八年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.2022年冬奥会在北京举行，以下历届冬奥会会徽是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.在光明中学组织的全校师生迎“五四”诗词大赛中，来自不同年级的25名参赛同学的得分情况如图所示.这些成绩的众数和中位数分别是( )
A. 98分、97分B. 98分、96分C. 96分、98分D. 96分、97分
3.若xy=32，则x−yy的值为( )
A. 13B. −13C. 12D. 52
4.如图，CD//AB，∠1=130°，∠2=80°，则∠E的度数是( )
A. 40°B. 50°C. 80°D. 130°
5.如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是( )
A. AB=DC
B. ∠A=∠D
C. ∠B=∠C
D. AE=BF
6.如图，将量角器按放置在Rt△ACB上，使点C与圆心重合，已知∠ACB=90°，∠A=30°.若B点的刻度为138°，则D点的对应刻度为( )
A. 52°
B. 72°
C. 78°
D. 82°
7.若解关于x的分式方程2x−mx−2=1时出现了增根，则m的值为( )
A. 4B. −2C. −4D. 2
8.有以下命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若|a|=|b|，则a=b；③全等三角形对应边上的中线长相等；④相等的角是对顶角，其中真命题是( )
A. ①②B. ①④C. ②④D. ①③
9.已知3x−4(x−1)(x−2)=Ax−1+Bx−2，则A+B的值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
10.《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程为( )
A. 1.4−x2.4−x=813B. 1.4+x2.4+x=813C. 1.4−2x2.4−2x=813D. 1.4+2x2.4+2x=813
11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AC上一点，将△ABD沿线段BD翻折，使得点A落在A′处，若∠A′BC=20°，则∠CBD=( )
A. 5°
B. 10°
C. 15°
D. 20°
12.如图，在△ABC中，点E和F分别是AC，BC上一点，EF//AB，∠BCA的平分线交AB于点D，∠MAC是△ABC的外角，若∠EFC=α，∠MAC=β，∠ADC=γ，则α，β，γ三者间的数量关系是( )
A. β=α+γB. β=2α−2γC. β=α+2γD. β=2γ−α
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
13.某校体育期末考核“立定跳远”、“800米”、“仰卧起坐”三项，按3：4：3的比重算出期末成绩.已知小林这三项的考试成绩分别为80分、90分、100分，则小林的体育期末成绩为______ 分.
14.若点M(−3,a)与点N(b,4)关于x轴对称，则a+b=______．
15.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点连接CF.若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为______．
16.已知1a+1b=3，则5a−7ab+5ba+6ab+b= ______ ．
17.如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，EF垂直平分BC，P为直线EF上任意一点，则AP+BP的最小值是______．
三、解答题：本题共8小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
解分式方程：
(1)xx−2=2+1x−2；
(2)x+1x−1−4x2−1=1．
19.(本小题8分)
先化简(a2−1a−3−a−1)÷a+1a2−6a+9，然后从−1，0，3中选一个合适的数作为a的值代入求值．
20.(本小题8分)
如图，点C在线段AE上，BC//DE，AC=DE，BC=CE，延长AB分别交CD、ED于点G、F．
(1)求证：AB=CD；
(2)若∠D=30°，∠E=62°，求∠FGC的度数．
21.(本小题8分)
我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．
(1)根据图示计算出a、b、c的值；
(2)结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？
(3)计算初中代表队决赛成绩的方差s初中2，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE=AC．
(1)求证：AD⊥BC；
(2)若∠BAC=72°，求∠B的度数．
23.(本小题9分)
今年，某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛.某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多10元，用600元在甲商店租用服装的数量与用500元在乙商店租用服装的数量相等．
(1)求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？
(2)若租用10套以上服装，甲商店给以每套九折优惠.该参赛队伍准备租用20套服装，请问在哪家商店租用服装的费用较少，并说明理由．
24.(本小题10分)
证明：等腰三角形两底角的角平分线相等．
25.(本小题10分)
如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO+∠BDO=90°．
(1)求证：AC=BC；
(2)如图2，点C的坐标为(5,0)，点E为AC上一点，且∠DEA=∠DBO．
①求证：BD=DE；
②求BC+EC的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：B．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
2.【答案】B
【解析】解：由条形图可得：25名参赛同学的得分数据出现最多的是98分，
∴众数是98分，
∵排在最中间的数据是第13个数据，为96分，
∴中位数是96分，
故选：B．
根据众数和中位数的定义即可求解．
本题考查了观察条形统计图，众数和中位数的定义，学会从条形统计图中获取解题信息，作为已知条件；一组数据中按照从大到小(或从小到大)的顺序排列，若有奇数个数据，则最中间的那个数就是中位数，若有偶数个数据，则中间两个数的平均数是中位数；一组数据中出现次数最多的那个数或那几个数是这组数据的众数．
3.【答案】C
【解析】解：∵xy=32，
∴x=32y，
∴x−yy=32y−yy=12yy=12，
故选：C．
根据等式的性质求出x=32y，代入所求式子中，即可求出答案．
本题考查了等式的性质，分式的求值，能灵活运用等式的性质进行变形是解此题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵CD//AB，∠2=80°，
∴∠2=∠EAB=80°，
∵∠1=130°，∠E=∠1−∠EAB，
∴∠E=130°−80°=50°，
故选：B．
先由平行线证明∠2=∠EAB=80°，再利用三角形的外角的性质可得答案．
本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，熟记两直线平行，同位角相等与三角形的外角的性质是解本题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：条件是AB=DC，
理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD=∠AEB=90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
AB=CDBE=CF，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)，
故选：A．
根据垂直定义求出∠CFD=∠AEB=90°，再根据全等三角形的判定定理即可得到答案．
本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键．
6.【答案】C
【解析】解，如图，连接CD，
∵点B的读数为138°，
∴∠ECB=138°，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∵CD=CB，
∴△CDB为等边三角形，
∴∠DCB=60°，
∴∠ECD=138°−60°=78°，
∴点D的读数应该为78°．
故选：C．
连接CD，求出∠D的度数，得到等边△CDB，进而得到∠DCB=60°即可求解．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7.【答案】A
【解析】解：方程两边都乘以x−2，得：2x−m=x−2，
∵分式方程有增根，
∴分式方程的增根为x=2，
将x=2代入2x−m=x−2，得：4−m=2−2，
解得m=4，
故选：A．
由分式方程的最简公分母为x−2，且分式方程有增根知增根为x=2，将x=2代入去分母后所得整式方程，解之可得答案．
本题主要考查分式方程的增根，解题的关键是掌握分式方程增根的定义及产生的原因．
8.【答案】D
【解析】解：①同旁内角互补，两直线平行，原命题是真命题；
②若|a|=|b|，则a=±b，原命题是假命题；
③全等三角形对应边上的中线长相等，原命题是真命题；
④相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题．
正确的为①③，
故选：D．
根据平行线的判定，绝对值的性质、全等三角形的性质、对顶角的性质进行判断即可．
本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题真假的关键是要熟悉课本中的性质定理．
9.【答案】C
【解析】解：∵3x−4(x−1)(x−2)=Ax−1+Bx−2，
∴3x−4(x−1)(x−2)=A(x−2)+B(x−1)(x−1)(x−2)=(A+B)x+(−2A−B)(x−1)(x−2)，
∴A+B=3−2A−B=−4，解得：A=1B=2，
∴A+B=3，
故选：C．
由条件可得3x−4(x−1)(x−2)=(A+B)x+(−2A−B)(x−1)(x−2)，从而可得A+B=3−2A−B=−4，再解方程组即可．
本题考查的是分式的加减运算的逆运算，二元一次方程组的应用，理解题意，建立方程组解题是关键．
10.【答案】D
【解析】解：由题意可得，
1.4+2x2.4+2x=813，
故选：D．
根据题意可知，装裱后的长为2.4+2x，宽为1.4+2x，再根据整幅图画宽与长的比是8：13，即可得到相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
11.【答案】D
【解析】解：由折叠得∠ABD=∠A′BD，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵∠A′BC=20°，
∴∠ABA′=80°，
∴∠ABD=∠A′BD=40°，
∴∠CBD=∠A′BD−∠A′BC=20°，
故选：D．
由折叠得∠ABD=∠A′BD，求出∠ABA′=80°，得到∠ABD=∠A′BD=40°，即得答案．
此题考查了折叠的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记折叠的性质得到∠ABD=∠A′BD是解题的关键．
12.【答案】D
【解析】解：∵EF//AB，∠EFC=α，
∴∠B=∠EFC=α，
∵CD平分∠BCA，
∴∠ACB=2∠BCD，
∵∠ADC是△BDC的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BCD，
∵∠ADC=γ，
∴∠BCD=γ−α，
∵∠MAC是△ABC的外角，
∴∠MAC=∠B+∠ACB，
∵∠MAC=β，
∴β=α+2(γ−α)，
即β=2γ−α，
故选：D．
根据平行线的性质得到∠B=∠EFC=α，由角平分线的定义得到∠ACB=2∠BCD，根据∠ADC是△BDC的外角，得到∠ADC=∠B+∠BCD，由三角形外角的性质得到∠MAC=∠B+∠ACB，于是得到结果．
本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
13.【答案】90
【解析】解：根据题意得：3×80+4×90+3×1003+4+3=90(分)，
即小林的体育期末成绩为90分，
故答案为：90．
根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．
此题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算公式列出算式是本题的关键；本题易出现的错误是求80、90、100这三个数的平均数．
14.【答案】−7
【解析】解：∵点M(−3,a)与点N(b,4)关于x轴对称，
∴b=−3，a=−4，
∴a+b=−7．
本题比较容易，考查平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．依此先求出a、b的值，再求出a+b的值．
解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
15.【答案】48°
【解析】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=24°，
∴∠ABC=48°，
∴∠ACB=180°−∠ABC−∠A=180°−48°−60°=72°，
∵EF垂直平分BC，
∴FB=FC，
∴∠FCB=∠FBC=24°，
∴∠ACF=∠ACB−∠FCB=72°−24°=48°．
故答案为48°．
先利用角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD=24°，再根据三角形内角和计算出∠ACB=72°，接着根据线段垂直平分线的性质得FB=FC，则∠FCB=∠FBC=24°，然后计算∠ACB−∠FCB即可．
本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
16.【答案】89
【解析】解：由题意可知1a+1b=a+bab=3，即a+b=3ab，
则有5a−7ab+5ba+6ab+b=5(a+b)−7ab(a+b)+6ab=8ab9ab=89，
故答案为：89．
由题意利用分式的运算法则对条件变形得出a+b=3ab，进而整体代入结论即可求出答案．
本题考查代数式求值，熟练掌握分式的运算以及结合整体思想进行分析是解题的关键．
17.【答案】10
【解析】解：连接PC，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴BP=PC．
∴PA+BP=AP+PC．
∴当点A，P，C在一条直线上时，PA+BP有最小值，最小值=AC=10．
故答案为：10．
根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P在AC上时，AP+BP有最小值．
本题考查了轴对称−最短路线问题的应用，正确判断点A、P、C在一条直线上时，AP+PB有最小值是解题的关键．
18.【答案】解：(1)xx−2=2+1x−2，
方程两边同时乘以x−2得，x=2(x−2)+1，
解得x=3，检验：把x=3代入x−2=1≠0，
∴原方程的解是x=3．
(2)x+1x−1−4x2−1=1，
方程两边同乘(x+1)(x−1)，
得：(x+1)2−4=(x+1)(x−1)，
整理得：2x−2=0，
解得：x=1．
检验：当x=1时，(x+1)(x−1)=0，
所以x=1是方程的增根，
∴原方程无解．
【解析】(1)先去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可；
(2)先去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可．
本题考查的是分式方程的解法，掌握“解分式方程的步骤与方法”是解本题的关键，易错点是不检验．
19.【答案】解：原式=(a2−1a−3−(a+1)(a−3)a−3)÷a+1(a−3)2
=a2−1−(a2−2a−3)a−3÷a+1(a−3)2
=a2−1−a2+2a+3a−3⋅(a−3)2a+1
=2(a+1)a−3⋅(a−3)2a+1
=2(a−3)
=2a−6，
当a=−1，3时，原式没有意义；
当a=0时，原式=0−6=−6．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵BC//DE，
∴∠ACB=∠E，
在△ABC与△DCE中，
AC=DE∠ACB=∠EBC=CE，
∴△ABC≌△DCE(SAS)，
∴AB=CD；
(2)解：∵△ABC≌△DCE，
∴∠A=∠D=30°，
∴∠DFA=∠A+∠E=30°+62°=92°，
∴∠FGC=∠D+∠DFA=30°+92°=122°．
【解析】(1)根据SAS证明△ABC与△DCE全等，即可得出结论；
(2)先由全等三角形的性质得∠A=∠D=30°，再由三角形的外角性质得∠DFA=∠A+∠E=92°，然后由三角形的外角性质即可得答案．
本题考查的是全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
21.【答案】解：(1)初中5名选手的平均分a=75+80+85+85+1005=85(分)，
由条形图中的数据可知初中部分数出现次数最多的是85分，故众数b=85，
高中5名选手的成绩是：70，75，80，100，100，故中位数c=80；
(2)由表格可知初中部与高中部的平均分相同，初中部的中位数高，
故初中部决赛成绩较好；
(3)s初中2=(75−85)2+(80−85)2+(85−85)2+(85−85)2+(100−85)25=70，
∵s初中2∴初中代表队选手成绩比较稳定．
【解析】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x−，则方差S2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(xn−x−)2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
(1)根据平均数的计算公式和众数、中位数的定义分别进行解答；
(2)根据平均数相同的情况下，中位数高的那个队的决赛成绩较好；
(3)根据方差公式先算出初中部代表队的方差，然后与高中部代表队的方差比较即可得出答案．
22.【答案】(1)证明：如图所示，连接AE，
∵EF垂直平分AB，
∴AE=BE，
又∵BE=AC，
∴AE=AC，∵D是EC的中点，∴AD⊥BC；
(2)解：设∠B=x°，
∵AE=BE，
∴∠BAE=∠B=x°，
∴由三角形的外角的性质，∠AEC=2x°，
∵AE=AC，
∴∠C=∠AEC=2x°，
在△ABC中，3x+72=180，
解得x=36，
∴∠B=36°．
【解析】(1)如图所示，连接AE，由线段垂直平分线的性质得到AE=BE，进而证明AE=AC，再由三线合一定理即可证明AD⊥BC；
(2)设∠B=x°，根据等边对等角得到∠BAE=∠B=x°，由三角形外角的性质推出∠C=∠AEC=2x°，再根据三角形内角和定理建立方程求解即可．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套(x+10)元，
由题意可得：600x+10=500x，
解得：x=50，
经检验，x=50是该分式方程的解，并符合题意，
∴x+10=60，
∴甲商店租用的服装每套为60元，乙商店租用的服装每套为50元；
(2)在乙商店租用服装的费用较少．
理由：该参赛队伍准备租用20套服装时，
甲商店的费用为：60×20×0.9=1080(元)，
乙商店的费用为：50×20=1000(元)，
∵1080>1000，
∴乙商店租用服装的费用较少．
【解析】【分析】
(1)设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套(x+10)元，由“用600元在甲商店租用服装的数量与用500元在乙商店租用服装的数量相等”列分式方程，解方程并检验即可得出答案；
(2)分别计算甲、乙商店的费用，比较大小即可得出答案．
本题主要考查了分式方程的应用，能够根据题意找出等量关系建立方程是解决本题的关键，但要注意分式方程需要进行检验．
24.【答案】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的角平分线．
求证：BD=CE
证明：如图所示，
∵AB=AC，BD，CE是△ABC的角平分线．
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠DBC=∠ECB，
又∵BC=CB，
∴△EBC≌△DCB(ASA)，
∴BD=CE．
【解析】由于AB=AC，BD，CE是△ABC的角平分线，利用等边对等角，角平分线定义，可得∠ABC=∠ACB，∠DBC=∠ECB，而BC=CB，利用ASA可证△EBC≌△DCB，再利用全等三角形的性质可证BD=CE．
本题考查等腰三角形的性质，利用等腰三角形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质．
25.【答案】(1)证明：∵∠CAO+∠BDO=90°，∠BDO+∠CBD=90°，
∴∠CAO=∠CBD．
在△ACD和△BCD中，
∠ACD=∠BCD∠CAO=∠CBDCD=CD，
∴△ACD≌△BCD(AAS)．
∴AC=BC；
(2)①证明：由(1)知△ACD≌△BCD，
∴∠CAD=∠CBD，BD=AD，
又∵∠DEA=∠DBO，
∴∠DEA=∠CAD，
∴AD=ED，
又∵AD=BD，
∴BD=DE；
②解：过D作DN⊥AC于N点，如图2：
∵∠ACD=∠BCD，DN⊥AC，DO⊥OC，
∴DO=ON，
在Rt△BDO和Rt△EDN中，
BD=DEDO=DN，
∴Rt△BDO≌Rt△EDN(HL)，
∴BO=EN．
在△DOC和△DNC中，
∠DOC=∠DNC∠OCD=∠NCDDC=DC，
∴△DOC≌△DNC(AAS)，
∴OC=NC，
∴BC+EC=BO+OC+NC−NE=2OC=10．
【解析】(1)由题意∠CAO+∠BDO=90°，可知∠CAO=∠CBD，CD平分∠ACB与y轴交于D点，所以可由AAS定理证明△ACD≌△BCD，由全等三角形性质可得AC=BC；
(2)①由(1)得∠CAD=∠CBD，BD=AD，由题意得∠DEA=∠DBO，可知∠DEA=∠CAD，AD=ED，最后证得BD=DE；
②过D作DN⊥AC于N点，可证得Rt△BDO≌Rt△EDN，△DOC≌△DNC，所以BC+EC=BO+OC+NC−NE=2OC=10，即可证得BC+EC的长．
本题主要考查了全等三角形的判定及其性质，做题时添加了辅助线，正确作出辅助线是解题的关键．平均分(分)
中位数(分)
众数(分)
方差(分 2)
初中部
a
85
b
S初中2
高中部
85
c
100
160
1.2022年冬奥会在北京举行，以下历届冬奥会会徽是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.在光明中学组织的全校师生迎“五四”诗词大赛中，来自不同年级的25名参赛同学的得分情况如图所示.这些成绩的众数和中位数分别是( )
A. 98分、97分B. 98分、96分C. 96分、98分D. 96分、97分
3.若xy=32，则x−yy的值为( )
A. 13B. −13C. 12D. 52
4.如图，CD//AB，∠1=130°，∠2=80°，则∠E的度数是( )
A. 40°B. 50°C. 80°D. 130°
5.如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是( )
A. AB=DC
B. ∠A=∠D
C. ∠B=∠C
D. AE=BF
6.如图，将量角器按放置在Rt△ACB上，使点C与圆心重合，已知∠ACB=90°，∠A=30°.若B点的刻度为138°，则D点的对应刻度为( )
A. 52°
B. 72°
C. 78°
D. 82°
7.若解关于x的分式方程2x−mx−2=1时出现了增根，则m的值为( )
A. 4B. −2C. −4D. 2
8.有以下命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若|a|=|b|，则a=b；③全等三角形对应边上的中线长相等；④相等的角是对顶角，其中真命题是( )
A. ①②B. ①④C. ②④D. ①③
9.已知3x−4(x−1)(x−2)=Ax−1+Bx−2，则A+B的值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
10.《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程为( )
A. 1.4−x2.4−x=813B. 1.4+x2.4+x=813C. 1.4−2x2.4−2x=813D. 1.4+2x2.4+2x=813
11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AC上一点，将△ABD沿线段BD翻折，使得点A落在A′处，若∠A′BC=20°，则∠CBD=( )
A. 5°
B. 10°
C. 15°
D. 20°
12.如图，在△ABC中，点E和F分别是AC，BC上一点，EF//AB，∠BCA的平分线交AB于点D，∠MAC是△ABC的外角，若∠EFC=α，∠MAC=β，∠ADC=γ，则α，β，γ三者间的数量关系是( )
A. β=α+γB. β=2α−2γC. β=α+2γD. β=2γ−α
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
13.某校体育期末考核“立定跳远”、“800米”、“仰卧起坐”三项，按3：4：3的比重算出期末成绩.已知小林这三项的考试成绩分别为80分、90分、100分，则小林的体育期末成绩为______ 分.
14.若点M(−3,a)与点N(b,4)关于x轴对称，则a+b=______．
15.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点连接CF.若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为______．
16.已知1a+1b=3，则5a−7ab+5ba+6ab+b= ______ ．
17.如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，EF垂直平分BC，P为直线EF上任意一点，则AP+BP的最小值是______．
三、解答题：本题共8小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
解分式方程：
(1)xx−2=2+1x−2；
(2)x+1x−1−4x2−1=1．
19.(本小题8分)
先化简(a2−1a−3−a−1)÷a+1a2−6a+9，然后从−1，0，3中选一个合适的数作为a的值代入求值．
20.(本小题8分)
如图，点C在线段AE上，BC//DE，AC=DE，BC=CE，延长AB分别交CD、ED于点G、F．
(1)求证：AB=CD；
(2)若∠D=30°，∠E=62°，求∠FGC的度数．
21.(本小题8分)
我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．
(1)根据图示计算出a、b、c的值；
(2)结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？
(3)计算初中代表队决赛成绩的方差s初中2，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE=AC．
(1)求证：AD⊥BC；
(2)若∠BAC=72°，求∠B的度数．
23.(本小题9分)
今年，某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛.某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多10元，用600元在甲商店租用服装的数量与用500元在乙商店租用服装的数量相等．
(1)求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？
(2)若租用10套以上服装，甲商店给以每套九折优惠.该参赛队伍准备租用20套服装，请问在哪家商店租用服装的费用较少，并说明理由．
24.(本小题10分)
证明：等腰三角形两底角的角平分线相等．
25.(本小题10分)
如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO+∠BDO=90°．
(1)求证：AC=BC；
(2)如图2，点C的坐标为(5,0)，点E为AC上一点，且∠DEA=∠DBO．
①求证：BD=DE；
②求BC+EC的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：B．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
2.【答案】B
【解析】解：由条形图可得：25名参赛同学的得分数据出现最多的是98分，
∴众数是98分，
∵排在最中间的数据是第13个数据，为96分，
∴中位数是96分，
故选：B．
根据众数和中位数的定义即可求解．
本题考查了观察条形统计图，众数和中位数的定义，学会从条形统计图中获取解题信息，作为已知条件；一组数据中按照从大到小(或从小到大)的顺序排列，若有奇数个数据，则最中间的那个数就是中位数，若有偶数个数据，则中间两个数的平均数是中位数；一组数据中出现次数最多的那个数或那几个数是这组数据的众数．
3.【答案】C
【解析】解：∵xy=32，
∴x=32y，
∴x−yy=32y−yy=12yy=12，
故选：C．
根据等式的性质求出x=32y，代入所求式子中，即可求出答案．
本题考查了等式的性质，分式的求值，能灵活运用等式的性质进行变形是解此题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵CD//AB，∠2=80°，
∴∠2=∠EAB=80°，
∵∠1=130°，∠E=∠1−∠EAB，
∴∠E=130°−80°=50°，
故选：B．
先由平行线证明∠2=∠EAB=80°，再利用三角形的外角的性质可得答案．
本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，熟记两直线平行，同位角相等与三角形的外角的性质是解本题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：条件是AB=DC，
理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD=∠AEB=90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
AB=CDBE=CF，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)，
故选：A．
根据垂直定义求出∠CFD=∠AEB=90°，再根据全等三角形的判定定理即可得到答案．
本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键．
6.【答案】C
【解析】解，如图，连接CD，
∵点B的读数为138°，
∴∠ECB=138°，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∵CD=CB，
∴△CDB为等边三角形，
∴∠DCB=60°，
∴∠ECD=138°−60°=78°，
∴点D的读数应该为78°．
故选：C．
连接CD，求出∠D的度数，得到等边△CDB，进而得到∠DCB=60°即可求解．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7.【答案】A
【解析】解：方程两边都乘以x−2，得：2x−m=x−2，
∵分式方程有增根，
∴分式方程的增根为x=2，
将x=2代入2x−m=x−2，得：4−m=2−2，
解得m=4，
故选：A．
由分式方程的最简公分母为x−2，且分式方程有增根知增根为x=2，将x=2代入去分母后所得整式方程，解之可得答案．
本题主要考查分式方程的增根，解题的关键是掌握分式方程增根的定义及产生的原因．
8.【答案】D
【解析】解：①同旁内角互补，两直线平行，原命题是真命题；
②若|a|=|b|，则a=±b，原命题是假命题；
③全等三角形对应边上的中线长相等，原命题是真命题；
④相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题．
正确的为①③，
故选：D．
根据平行线的判定，绝对值的性质、全等三角形的性质、对顶角的性质进行判断即可．
本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题真假的关键是要熟悉课本中的性质定理．
9.【答案】C
【解析】解：∵3x−4(x−1)(x−2)=Ax−1+Bx−2，
∴3x−4(x−1)(x−2)=A(x−2)+B(x−1)(x−1)(x−2)=(A+B)x+(−2A−B)(x−1)(x−2)，
∴A+B=3−2A−B=−4，解得：A=1B=2，
∴A+B=3，
故选：C．
由条件可得3x−4(x−1)(x−2)=(A+B)x+(−2A−B)(x−1)(x−2)，从而可得A+B=3−2A−B=−4，再解方程组即可．
本题考查的是分式的加减运算的逆运算，二元一次方程组的应用，理解题意，建立方程组解题是关键．
10.【答案】D
【解析】解：由题意可得，
1.4+2x2.4+2x=813，
故选：D．
根据题意可知，装裱后的长为2.4+2x，宽为1.4+2x，再根据整幅图画宽与长的比是8：13，即可得到相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
11.【答案】D
【解析】解：由折叠得∠ABD=∠A′BD，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵∠A′BC=20°，
∴∠ABA′=80°，
∴∠ABD=∠A′BD=40°，
∴∠CBD=∠A′BD−∠A′BC=20°，
故选：D．
由折叠得∠ABD=∠A′BD，求出∠ABA′=80°，得到∠ABD=∠A′BD=40°，即得答案．
此题考查了折叠的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记折叠的性质得到∠ABD=∠A′BD是解题的关键．
12.【答案】D
【解析】解：∵EF//AB，∠EFC=α，
∴∠B=∠EFC=α，
∵CD平分∠BCA，
∴∠ACB=2∠BCD，
∵∠ADC是△BDC的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BCD，
∵∠ADC=γ，
∴∠BCD=γ−α，
∵∠MAC是△ABC的外角，
∴∠MAC=∠B+∠ACB，
∵∠MAC=β，
∴β=α+2(γ−α)，
即β=2γ−α，
故选：D．
根据平行线的性质得到∠B=∠EFC=α，由角平分线的定义得到∠ACB=2∠BCD，根据∠ADC是△BDC的外角，得到∠ADC=∠B+∠BCD，由三角形外角的性质得到∠MAC=∠B+∠ACB，于是得到结果．
本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
13.【答案】90
【解析】解：根据题意得：3×80+4×90+3×1003+4+3=90(分)，
即小林的体育期末成绩为90分，
故答案为：90．
根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．
此题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算公式列出算式是本题的关键；本题易出现的错误是求80、90、100这三个数的平均数．
14.【答案】−7
【解析】解：∵点M(−3,a)与点N(b,4)关于x轴对称，
∴b=−3，a=−4，
∴a+b=−7．
本题比较容易，考查平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．依此先求出a、b的值，再求出a+b的值．
解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
15.【答案】48°
【解析】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=24°，
∴∠ABC=48°，
∴∠ACB=180°−∠ABC−∠A=180°−48°−60°=72°，
∵EF垂直平分BC，
∴FB=FC，
∴∠FCB=∠FBC=24°，
∴∠ACF=∠ACB−∠FCB=72°−24°=48°．
故答案为48°．
先利用角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD=24°，再根据三角形内角和计算出∠ACB=72°，接着根据线段垂直平分线的性质得FB=FC，则∠FCB=∠FBC=24°，然后计算∠ACB−∠FCB即可．
本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
16.【答案】89
【解析】解：由题意可知1a+1b=a+bab=3，即a+b=3ab，
则有5a−7ab+5ba+6ab+b=5(a+b)−7ab(a+b)+6ab=8ab9ab=89，
故答案为：89．
由题意利用分式的运算法则对条件变形得出a+b=3ab，进而整体代入结论即可求出答案．
本题考查代数式求值，熟练掌握分式的运算以及结合整体思想进行分析是解题的关键．
17.【答案】10
【解析】解：连接PC，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴BP=PC．
∴PA+BP=AP+PC．
∴当点A，P，C在一条直线上时，PA+BP有最小值，最小值=AC=10．
故答案为：10．
根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P在AC上时，AP+BP有最小值．
本题考查了轴对称−最短路线问题的应用，正确判断点A、P、C在一条直线上时，AP+PB有最小值是解题的关键．
18.【答案】解：(1)xx−2=2+1x−2，
方程两边同时乘以x−2得，x=2(x−2)+1，
解得x=3，检验：把x=3代入x−2=1≠0，
∴原方程的解是x=3．
(2)x+1x−1−4x2−1=1，
方程两边同乘(x+1)(x−1)，
得：(x+1)2−4=(x+1)(x−1)，
整理得：2x−2=0，
解得：x=1．
检验：当x=1时，(x+1)(x−1)=0，
所以x=1是方程的增根，
∴原方程无解．
【解析】(1)先去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可；
(2)先去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可．
本题考查的是分式方程的解法，掌握“解分式方程的步骤与方法”是解本题的关键，易错点是不检验．
19.【答案】解：原式=(a2−1a−3−(a+1)(a−3)a−3)÷a+1(a−3)2
=a2−1−(a2−2a−3)a−3÷a+1(a−3)2
=a2−1−a2+2a+3a−3⋅(a−3)2a+1
=2(a+1)a−3⋅(a−3)2a+1
=2(a−3)
=2a−6，
当a=−1，3时，原式没有意义；
当a=0时，原式=0−6=−6．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵BC//DE，
∴∠ACB=∠E，
在△ABC与△DCE中，
AC=DE∠ACB=∠EBC=CE，
∴△ABC≌△DCE(SAS)，
∴AB=CD；
(2)解：∵△ABC≌△DCE，
∴∠A=∠D=30°，
∴∠DFA=∠A+∠E=30°+62°=92°，
∴∠FGC=∠D+∠DFA=30°+92°=122°．
【解析】(1)根据SAS证明△ABC与△DCE全等，即可得出结论；
(2)先由全等三角形的性质得∠A=∠D=30°，再由三角形的外角性质得∠DFA=∠A+∠E=92°，然后由三角形的外角性质即可得答案．
本题考查的是全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
21.【答案】解：(1)初中5名选手的平均分a=75+80+85+85+1005=85(分)，
由条形图中的数据可知初中部分数出现次数最多的是85分，故众数b=85，
高中5名选手的成绩是：70，75，80，100，100，故中位数c=80；
(2)由表格可知初中部与高中部的平均分相同，初中部的中位数高，
故初中部决赛成绩较好；
(3)s初中2=(75−85)2+(80−85)2+(85−85)2+(85−85)2+(100−85)25=70，
∵s初中2
【解析】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x−，则方差S2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(xn−x−)2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
(1)根据平均数的计算公式和众数、中位数的定义分别进行解答；
(2)根据平均数相同的情况下，中位数高的那个队的决赛成绩较好；
(3)根据方差公式先算出初中部代表队的方差，然后与高中部代表队的方差比较即可得出答案．
22.【答案】(1)证明：如图所示，连接AE，
∵EF垂直平分AB，
∴AE=BE，
又∵BE=AC，
∴AE=AC，∵D是EC的中点，∴AD⊥BC；
(2)解：设∠B=x°，
∵AE=BE，
∴∠BAE=∠B=x°，
∴由三角形的外角的性质，∠AEC=2x°，
∵AE=AC，
∴∠C=∠AEC=2x°，
在△ABC中，3x+72=180，
解得x=36，
∴∠B=36°．
【解析】(1)如图所示，连接AE，由线段垂直平分线的性质得到AE=BE，进而证明AE=AC，再由三线合一定理即可证明AD⊥BC；
(2)设∠B=x°，根据等边对等角得到∠BAE=∠B=x°，由三角形外角的性质推出∠C=∠AEC=2x°，再根据三角形内角和定理建立方程求解即可．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套(x+10)元，
由题意可得：600x+10=500x，
解得：x=50，
经检验，x=50是该分式方程的解，并符合题意，
∴x+10=60，
∴甲商店租用的服装每套为60元，乙商店租用的服装每套为50元；
(2)在乙商店租用服装的费用较少．
理由：该参赛队伍准备租用20套服装时，
甲商店的费用为：60×20×0.9=1080(元)，
乙商店的费用为：50×20=1000(元)，
∵1080>1000，
∴乙商店租用服装的费用较少．
【解析】【分析】
(1)设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套(x+10)元，由“用600元在甲商店租用服装的数量与用500元在乙商店租用服装的数量相等”列分式方程，解方程并检验即可得出答案；
(2)分别计算甲、乙商店的费用，比较大小即可得出答案．
本题主要考查了分式方程的应用，能够根据题意找出等量关系建立方程是解决本题的关键，但要注意分式方程需要进行检验．
24.【答案】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的角平分线．
求证：BD=CE
证明：如图所示，
∵AB=AC，BD，CE是△ABC的角平分线．
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠DBC=∠ECB，
又∵BC=CB，
∴△EBC≌△DCB(ASA)，
∴BD=CE．
【解析】由于AB=AC，BD，CE是△ABC的角平分线，利用等边对等角，角平分线定义，可得∠ABC=∠ACB，∠DBC=∠ECB，而BC=CB，利用ASA可证△EBC≌△DCB，再利用全等三角形的性质可证BD=CE．
本题考查等腰三角形的性质，利用等腰三角形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质．
25.【答案】(1)证明：∵∠CAO+∠BDO=90°，∠BDO+∠CBD=90°，
∴∠CAO=∠CBD．
在△ACD和△BCD中，
∠ACD=∠BCD∠CAO=∠CBDCD=CD，
∴△ACD≌△BCD(AAS)．
∴AC=BC；
(2)①证明：由(1)知△ACD≌△BCD，
∴∠CAD=∠CBD，BD=AD，
又∵∠DEA=∠DBO，
∴∠DEA=∠CAD，
∴AD=ED，
又∵AD=BD，
∴BD=DE；
②解：过D作DN⊥AC于N点，如图2：
∵∠ACD=∠BCD，DN⊥AC，DO⊥OC，
∴DO=ON，
在Rt△BDO和Rt△EDN中，
BD=DEDO=DN，
∴Rt△BDO≌Rt△EDN(HL)，
∴BO=EN．
在△DOC和△DNC中，
∠DOC=∠DNC∠OCD=∠NCDDC=DC，
∴△DOC≌△DNC(AAS)，
∴OC=NC，
∴BC+EC=BO+OC+NC−NE=2OC=10．
【解析】(1)由题意∠CAO+∠BDO=90°，可知∠CAO=∠CBD，CD平分∠ACB与y轴交于D点，所以可由AAS定理证明△ACD≌△BCD，由全等三角形性质可得AC=BC；
(2)①由(1)得∠CAD=∠CBD，BD=AD，由题意得∠DEA=∠DBO，可知∠DEA=∠CAD，AD=ED，最后证得BD=DE；
②过D作DN⊥AC于N点，可证得Rt△BDO≌Rt△EDN，△DOC≌△DNC，所以BC+EC=BO+OC+NC−NE=2OC=10，即可证得BC+EC的长．
本题主要考查了全等三角形的判定及其性质，做题时添加了辅助线，正确作出辅助线是解题的关键．平均分(分)
中位数(分)
众数(分)
方差(分 2)
初中部
a
85
b
S初中2
高中部
85
c
100
160
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