福建省福清重点中学2023-2024学年高二上学期1月考试数学试题(含答案)

这是一份福建省福清重点中学2023-2024学年高二上学期1月考试数学试题(含答案)，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40 分．在每小题四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的）
1．如图，平行六面体的各棱长均为，，，则（ ）

A．B．
C．D．
2．如图，已知矩形ABCD中，E为线段CD上一动点（不含端点），记，现将沿直线AE翻折到的位置，记直线CP与直线AE所成的角为，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知空间向量，若，则（ ）
A．B．3C．D．2
4．已知直线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知直线与曲线相交，交点依次为，若，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知为圆上的一动点，为坐标原点，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P，Q均在椭圆上，且，，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，点，点P在C上，，且的面积为1，则C的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中 ，有多项是符合题目要求的。正确选项全对得5分，正确选项不全得2分，有错误选项得0分）
9．如图，在直三棱柱中，若，，是棱的中点，则下列说法正确的是（ ）

A．点到平面的距离为
B．是平面的一个法向量
C．点到平面的距离为
D．
10．已知圆O：与圆C：交于A，B两点，则下列说法正确的是（ ）
A．线段AB的垂直平分线所在的直线方程为
B．直线AB的方程为
C．
D．若点P是圆O上的一点，则△PAB面积的最大值为
11．如图，双曲线的光学性质:是双曲线的左、右焦点，从发出的光线m射在双曲线右支上一点P，经点P反射后，反射光线的反向延长线过；当P异于双曲线顶点时，双曲线在点P处的切线平分.若双曲线C的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．若射线n所在直线的斜率为k，则
B．当时，
C．当时，
D．若点T的坐标为，直线与C相切，则
12．下列说法中不正确的是（ ）
A．若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为
D．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在四棱锥中，底面是平行四边形，是棱上一点，且，，则 ．
14．已知，，从点射出的光线经轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为 .
15．已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点.且，则 .
16．已知的三个顶点都在抛物线上，且点F为抛物线的焦点，若，则
四、解答题：本大题共6小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，，于点F，，交PD于点E．

(1)证明：CF⊥平面ADF；
(2)求二面角的余弦值．
18．如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，AB为底面直径，四边形POBC是梯形，且，，，D为圆O上一点．

(1)若点M在线段AD上，且，求证：∥平面CDB；
(2)当直线PD与平面PAB所成的角为30°时，求二面角的正弦值．
19．如图，已知圆，点.
(1)求圆心在直线上，经过点且与圆相外切的圆的方程；
(2)若过点的直线与圆交于两点，且圆弧恰为圆周长的，求直线的方程.
20．己知直线，直线，其中．
(1)若直线经过点，且，求m，n；
(2)若直线，当与之间的距离取最大值时，求直线的方程．
21．已知双曲线：的右焦点为，直线：与的渐近线相交于点，，且的面积为.
(1)求C的标准方程；
(2)过点F作直线与C的右支相交于M，N两点，若x轴上的点G使得等式恒成立，求证：点的横坐标为.
22．已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，过点作直线轴，与交于两点（在上方），且四边形的面积为的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知，是否存在过点的直线与曲线交于（在上方）两点，使得与的面积比为？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
数学参考答案
1．B
【分析】分析得出，利用平面向量数量积即可求得的值.
【详解】平行六面体的各棱长均为，，，
，，
，而，
，
.
故选：B.
2．B
【分析】利用空间向量夹角余弦公式和向量数量积公式得到，由三角形三边关系得到，求出答案.
【详解】AB选项，
，
因为，所以，所以，A错误，B正确；
由于在上单调递减，故，不确定和的大小关系，CD错误.
故选：B．
3．A
【分析】根据空间向量运算的坐标表示进行计算即可.
【详解】由题意可得，因为，所以，解得.
故选：A.
4．A
【分析】根据直线一般方程可求得，再利用诱导公式及同角三角函数之间的基本关系可得其结果.
【详解】由直线的方程为，得斜率，
则
；
故选：A．
5．A
【分析】根据给定条件，探讨函数的对称性求出点坐标，再怀线段长建立方程组，借助函数单调性及奇偶性求出点即可得解.
【详解】令，由，
得曲线关于点对称，且在上单调递增，
由直线与曲线依次交于点，，得点，
由消去y得，即，
令，则，
则函数为偶函数，又函数在上单调递增，
，有，则，
即函数在上单调递增，而在上单调递增，则在上单调递增，
而，于是的解为或，则点，
所以直线的方程为，即.
故选：A
【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，
(1)存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.
(2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.
6．D
【分析】根据点到点的距离公式，结合圆的性质即可求解.
【详解】的圆心为，半径为，
由题意得，故在圆外，
所以的最大值为．
故选：D
7．C
【分析】设，根据题意，得到，连接，求得，结合椭圆的定义和知，列出方程，求得，进而求得椭圆的离心率.
【详解】设，，由，可得，
连接，则，
由椭圆的定义，可得，，
又由知，点在PQ上，所以，
即，可得，则，，
因此，可得．
故选：C.

8．B
【分析】根据抛物线的定义，结合几何关系确定出的大小，然后根据的面积列出关于的方程，由此求解出的值，则即可得到准线方程.
【详解】根据题意画出图象，如图:

易知C的准线l过点M，过P作于点Q，由抛物线的定义可知，
由，可知，
所以在中，，在中，，
由正弦定理得，所以，
所以，
则为等腰直角三角形，所以．又的面积为1，
所以的面积为2，则，得.
所以C的准线方程为.
故选：B.
9．BCD
【分析】方法一，由面面垂直性质定理得到平面，可判断A；证明平面可判断B；由等体积法判断C，利用C中结论判断D；方法二，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算依次判断选项.
【详解】方法一，在直三棱柱中，
因为平面⊥平面，平面平面，，面，
所以平面，所以点到平面的距离为.故A错误；
又平面，所以，
在中，因为，，
所以，故，
又面，面，，
所以平面，故B正确；
设点到平面的距离为，则是以C为顶点，为底面的三棱锥的高，
因为平面，所以BC是三棱锥的高，
又为直角三角形，所以，
所以，
又是直角三角形，所以，
又，，所以，
所以是直角三角形，故，
由得，，则，
即点C到平面BDC1的距离为，故C，D正确.
方法二，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
对于A，易知为平面的一个法向量，
所以点到平面的距离为.故A错误；
对于B，，
则，
，
故，，
又面，面，，
所以平面，故B正确；
对于C，设平面的法向量为，
又，则，
取，则，
从而点C到平面的距离为，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：BCD
10．ABD
【分析】根据相交圆的公共弦与两圆心连线垂直平分判断A，再由两圆方程作差得公共弦所在直线判断B，根据弦心距、半径、半弦长关系求弦长判断C，再由圆上点到直线的最大距离为圆心到直线距离加半径长判断D.
【详解】由圆C：知圆心为，
所以直线OC的方程为，即，
所以线段AB的垂直平分线所在的直线方程为，故A正确；
因为圆O：与圆C：，两圆方程作差，
可得直线AB的方程为，故B正确；
点O到直线AB的距离，所以，故C错误；
点到直线的距离的最大值为，则面积的最大值为，故D正确．
故选：ABD．
11．ABD
【分析】对于A，由题意直线与双曲线有两个交点，结合渐近线斜率即可判断；对于B，结合双曲线定义勾股定理进行验算即可判断；对于C，由双曲线定义、余弦定理以及三角形面积公式即可判断；对于D，由双曲线定义结合角平分线定理即可验证.
【详解】因为双曲线C的方程为，所以，渐近线方程为.
对于A，因为从发出的光线m射在双曲线右支上一点P，经点P反射后，反射光线的反向延长线过.
所以直线与双曲线有两个交点，所以，故A正确；
对于B，由双曲线的定义，结合图形，可得，又，
所以，
因为，
所以，解得，故B正确；
对于C，设，在中，由余弦定理得，
又，，
所以，
，故C错误；
对于D，因为平分，由角平分线定理知，，
所以，又，所以，解得，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：充分利用双曲线定义以及解三角形知识、灵活转换利用已知条件，并通过数学结合思想是顺利解题的关键.
12．ACD
【分析】利用倾斜角与斜率的关系及截距的定义一一判定选项即可.
【详解】对于A，若直线倾斜角大于，则直线的斜率存在负值，故A错误；
直线的倾斜角为，则，
因为，所以，故B正确；
对于C，设直线与轴交点为，则与轴交点为，
当时，直线过原点，斜率为，故方程为；
当时，直线的斜率，
故直线方程为，即，故C错误；
直线斜率定义为倾斜角的正切值，但不能是，故D错误.
故选:ACD.
13．
【分析】由已知选取为基底，根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解.
【详解】连接，
则
，
又，所以．
故答案是：.
14．
【分析】求出关于轴对称点坐标，再求得关于直线的对称点坐标，线段的长即为所求路程．
【详解】
因为，，
所以直线的方程为：
点关于轴的对称点，
设点关于直线的对称点，
则，，解得，．
，
所以根据反射原理的对称性，
光线所经过的路程为
，
故答案为：．
15．/2.5
【分析】根据余弦定理和椭圆的定义求解即可.
【详解】
由，知，
所以，，
所以，解得，
故答案为：.
16．12
【分析】由抛物线方程确定焦点坐标以及准线方程，设，根据向量的坐标运算推出，再根据抛物线的定义得出和的关系式，即可求得答案.
【详解】由抛物线可得焦准距为，，准线方程为；
设，
，，
,
由于，则，
故，即，
又的三个顶点都在抛物线上，
则
，
故答案为：12
17．【详解】（1）∵PD⊥平面ABCD，AD平面ABCD，∴PD⊥AD，
又CD⊥AD，， 平面,
∴AD⊥平面PCD，PC平面PCD，
∴AD⊥PC，又AF⊥PC，
又,平面,
∴PC⊥平面ADF，即CF⊥平面ADF.
（2）设AB=1，在中，CD=1，∠DPC=30°，
∴PC=2，，由（1）知CF⊥DF，
∴，,
∴，又FE∥CD，
∴，∴，同理可得，
如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，
则,
设向量为平面AEF的法向量，则,
∴令可得，∴，
由（1）知平面ADF的一个法向量为,
设二面角D﹣AF﹣E的平面角为θ，可知θ为锐角，
,
∴二面角D﹣AF﹣E的余弦值为.

18．【详解】（1）解法一：取线段OB的中点N，连接MN，PN．
因为，，所以且，
因此四边形PCBN是平行四边形，所以．
又平面CDB，平面CDB，所以平面CDB．
因为，，所以．
又平面CDB，平面CDB，所以平面CDB．
而平面PMN，
所以平面平面CDB，
又平面PMN，所以平面CDB．

解法二:在线段BD上取点E，使得，连接CE，ME，
又，所以，且，
又，且，所以，且．
所以四边形PCEM是平行四边形，所以，
又平面CDB，平面CDB，所以平面CDB．

（2）由圆锥的对称性不妨取点D为如图所示位置，在圆锥底面内过点D作于点F，连接PF，
因为平面平面ABD，平面平面，所以平面PAB，
所以就是直线PD与平面PAB所成的角，所以，
因为，
所以．
连接OD，则，即点F为OB的中点．
以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则，
于是．
设平面APD的法向量为，则，得，
取，可得．
设平面PDB的法向量为，则，得，
取，可得．
所以，
故二面角的正弦值为．
19．【详解】（1）解：由，化为标准方程得
所以圆的圆心坐标为，
又因为圆的圆心在直线上，所以当两圆外切时，切点为，
设圆的圆心坐标为，因为在圆上，可得，
则有
解得，所以圆的圆心坐标为，半径，
故圆的方程为.

（2）解：因为圆弧恰为圆周长的，
根据圆的性质，可得，所以点到直线的距离为，
①当直线的斜率不存在时，点到轴的距离为，直线即为轴，
此时直线的方程为.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.
可得，即，解得，
所以直线的方程，即，
故所求直线的方程为或.

20．【详解】（1）因为直线经过点，将点代入直线的方程可得，解得，
又因为，所以，解得．
综上所述，．
（2）根据题意，直线过定点，直线过定点．
因为，所以与之间的距离
当时，与之间的距离取得最大值．
此时，
又因为直线AB的斜率，直线的斜率为，
所以，解得，
所以直线的方程为．
21．【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，直线与渐近线的交点坐标为，
不妨设，，，
则，即，
所以，且，得，，
所以双曲线的标准方程为；

（2）由可知，，
根据正弦定理可知，，而，
所以，
所以，则，
所以,
设直线，，
联立，得，
，，
，，
，
所以，
即，
则，解得：，
所以点的横坐标为
22．【详解】（1）设的焦距为，则，代入椭圆的方程，
得，解得，所以.
由，得，
由，得，
又，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）知，，假设存在直线，使得，
若不存在斜率，则，故，
，不合题意；
若存在斜率，设的方程为，
直线的方程为，所以直线过点，
所以，
所以，所以，
所以，
设，
则，
所以.
联立消去并整理得，
则，
又，所以，
所以，
解得，
所以的方程为，
故存在直线，使得，且直线的方程为.