河南省郑州市第十八中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学模拟题三

这是一份河南省郑州市第十八中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学模拟题三，共19页。试卷主要包含了已知数列是等差数列，且，则，方程的化简结果是，直线与直线平行，则实数的值是，已知四面体是的重心，若，则，下列选项正确的是，已知圆，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

1.已知数列是等差数列，且，则（ ）
A.4 B.6 C.8 D.10
2.方程的化简结果是（ ）
A. B.
C. D.
3.直线与直线平行，则实数的值是（ ）
A.-2 B.1 C.-2或1 D.-1或2
4.已知平行六面体的所有棱长均为分别为的中点，则的长为（ ）
A.2 B.3 C. D.
5.若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.已知四棱锥的底面为正方形，平面，点是的中点，则点到直线的距离是（ ）
A. B. C. D.
7.已知是数列的前项和，则“是递增数列”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.已知四面体是的重心，若，则（ ）
A.4 B. C. D.更多优质资源可进入 二､多选题
9.下列选项正确的是（ ）
A.两条不重合直线的方向向量分别是，则
B.直线的方向向量，平面的法向量是，则
C.直线的方向向量，平面的法向量是，则
D.两个不同的平面的法向量分别是，则
10.已知圆，下列说法正确的是（ ）
A.过点作直线与圆交于两点，则范围为
B.过直线上任意一点作圆的切线，切点分别为，则直线必过定点
C.圆与圆有且仅有两条公切线，则实数的取值范围为
D.圆上有2个点到直线的距离等于1
11.已知在等比数列中，满足是的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A.数列是等比数列
B.数列是递增数列
C.数列是等差数列
D.数列中，仍成等比数列
12.已知抛物线上存在一点到其焦点的距离为3，点为直线上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为为坐标原点.则（ ）
A.抛物线的方程为 B.直线一定过抛物线的焦点
C.线段长的最小值为 D.
三､填空题
13.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是__________.
14.已知椭圆的焦点在轴上，若椭圆的焦距为4，则的值为__________.
15.已知数列的前项和为，则__________.
16.过椭圆的右焦点且与长轴垂直的弦的长为，过点且斜率为-1的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到的距离的最大值为__________.
四､解答题
17.已知等差数列满足，等比数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和.
18.在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面分别为的中点.
（1）证明：；
（2）求二面角的正弦值的大小.
19.已知点是抛物线上的动点，过点向轴作垂线段，垂足为，垂线段中点为，设的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设过点且斜率为1的直线交曲线于两点，为坐标原点，求的面积.
20.已知各项均为正数的数列的前项和为，且对一切都成立.若是公差为2的等差数列，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前项和.
21.已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，且满足轴，.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线交椭圆于两点，求（为坐标原点）面积的最大值.
22.如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，､分别为的中点，.
（1）证明：平面平面；
（2）若与所成角为，求二面角的余弦值.
参考答案：
1.C
【分析】由等差数列的性质得到，结合已知即可求结果.
【详解】由题设，故.
故选：C
2.C
【分析】由方程的几何意义及椭圆定义得出结果即可.
【详解】方程的几何意义为动点到定点和的距离和为10，并且，所以动点的轨迹为以两个定点为焦点，定值为的椭圆，所以，
根据，所以椭圆方程为.
故选：C.
3.B
【分析】由，解得，经过验证即可得出.
【详解】由，解得或，经过验证时两条直线重合，舍去.
故选：
【点睛】本题考查了直线的平行关系，考查了学生概念理解，转化与划归，数学运算的能力，属于基础题.
4.D
【分析】以为基底表示出，再根据数据量的运算律计算可得.
【详解】因为平行六面体的所有棱长均为，所以，
依题意可得，
所以
，
所以.
故选：D
5.C
【分析】由题意作图，根据直线与圆的位置关系，可得答案.
【详解】由曲线，可得，其中，表示以原点为圆心，半径为1的右半圆，是倾斜角为的直线，其与曲线有且只有一个公共点有两种情况：
（1）直线与半圆相切，根据，所以，结合图象，可得：；
（2）直线与半圆的下半部分相交于一个交点，由图可知.
综上可知：.
故选：C.
6.D
【分析】利用坐标法，根据点到直线的距离的向量求法即得.
【详解】如图建立空间直角坐标系，则，
所以，
所以，
所以点到直线的距离是.
故选：D.
7.B
【分析】利用，结合充分必要条件的定义即可判断.
【详解】当是递增数列，则，则，
但是的符号不确定，故充分性不成立；
当时，则，故是递增数列，即必要性成立；
综上，“是递增数列”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
8.B
【分析】取的中点，根据空间向量线性运算法则及空间向量基本定理计算可得.
【详解】取的中点，
所以
，
又，
可得，所以.
故选：B.
9.AD
【分析】对于A由不重合两直线方向向量平行可判断；对于要考虑直线可能在面内；对于，直线方向向量与法向量平行，则直线与面垂直；对于，由两法向量垂直可得两平面垂直.
【详解】对于，两条不重合直线的方向向量分别是：
，
则，所以，即，故A正确；
对于B，直线的方向向量，平面的法向量是，
则，
所以，即或，故B错误；
对于C，直线的方向向量，平面的法向量是，
则，所以，即，故错误；
对于，两个不同的平面的法向量分别是，
则，
所以，故正确.
故选：AD.
10.AB
【分析】对于A：可知点在圆内，根据圆心到过点的直线的距离结合弦长公式分析求解；对于B：作以为圆心，为半径的圆，由题意可知：直线为圆与圆的公共弦所在的直线，结合两圆方程分析求解；对于根据点到直线的距离公式结合圆的性质分析判断.
【详解】因为圆的圆心为，半径，
对于选项A：因为，可知点在圆内，
可得圆心到过点的直线的距离，
所以，故A正确；
对于选项B：设，则，
可得，
以为圆心，为半径的圆的方程为，
整理得，
由题意可知：直线为圆与圆的公共弦所在的直线，
可得，整理得，
令，解得，所以直线必过定点，故B正确；
对于选项C：圆的圆心，半径为，
则，
若圆与圆有且仅有两条公切线，则，
即，解得，
所以实数的取值范围为，故C错误；
对于选项D：因为圆心到直线的距离，
所以圆上有4个点到直线的距离等于1，故D错误.
故选：AB.
11.AC
【分析】根据等比数列､递增数列､等差数列等知识对选项进行分析，由此确定正确答案.
【详解】依题意可知，
所以，所以数列是等比数列，A选项正确.
，所以，且，所以数列是递减数列，B选项错误.
设，则，
所以数列是等差数列，选项正确.
，因为，故数列中，不成等比数列，所以选项错误.
故选：AC.
12.ACD
【分析】根据抛物线的定义，求得抛物线的方程，可判定正确；设，得出和的方程，联立方程组，结合，得到是方程的两个不等式的实数根，再由韦达定理和，可判定D正确；由，得出直线，结合直线的点斜式的形式，可判定不正确，再由圆锥曲线的弦长公式，结合二次函数的性质，可判定C正确.
【详解】由抛物线，可得焦点坐标，准线方程为，
因为抛物线上存在一点到其焦点的距离为3，
由抛物线的定义可得，可得，
所以抛物线的方程为，所以正确；
设，显然直线的斜率存在且不为0，设斜率为，
可得的方程为，
联立方程组，整理得，
因为是抛物线的切线，所以，即，
且点的纵坐标为，代入抛物线方程，可得横坐标为，即，
设直线的斜率存在且不为0，设斜率为，
同理可得：，且，
所以是方程的两个不等式的实数根，所以，
因为，
所以，所以正确；
由，且，可得，
则直线的方程为，即，
又由，可得，
所以，即，
所以直线一定过定点，该点不是抛物线的焦点，所以不正确.
由直线的斜率不为0，设直线的方程为，且，
联立方程组，整理得，所以，
则
，当且仅当时，等号成立，
即的最小值为，所以正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：解决直线与抛物线有关问题的方法与策略：
1､涉及抛物线的定义问题：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离（抛物线上的点到焦点的距离､抛物线上的点到准线的距离）进行等量转化.如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题.因此，涉及抛物线的焦半径､焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化.
2､涉及直线与抛物线的综合问题：通常设出直线方程，与抛物线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量､基本不等式､函数及导数在解答中的应用.
13.
【分析】根据空间向量投影向量的坐标运算即可得答案.
【详解】空间向量，则向量在向量上的投影向量是：
.
故答案为：.
14.
【分析】首先将椭圆方程化为标准式，即可得到，根据焦距求出.
【详解】椭圆即，焦点在轴上，所以，
所以，又椭圆的焦距为4，所以，解得.
故答案为：
15.16
【分析】根据递推公式，可求出，即可求解.
【详解】由题意得，即，
因为，所以为首项为，公比为2的等比数列，
所以
所以.
故答案为：16.
16.
【分析】利用点差法可求基本量的关系，再结合通径的长可求基本量，故可求焦半径的最大值.我们也可以联立直线方程和椭圆方程，从而可用基本量表示中点，从而得到基本量的一个关系式，同样结合通径长可取基本量，故可求焦半径的最大值.
【详解】法一：将代入椭圆的方程得，所以①，
设，则，
两式相减得，
又，所以②，
解①②得，所以，
所以上的点到焦点的距离的最大值为.
法二：将代入椭圆的方程得，所以①，
直线的方程是，即，
代入椭圆的方程并消去整理得，
则，
设，则，即②，
解①②得，满足，所以，
所以上的点到焦点的距离的最大值为.
故答案为：.
17.（1）
（2）
【分析】（1）根据等差数列和等比数列的概念以及通项公式直接求解即可.
（2）利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为.
由，可得，解得，
则.
由，
可得是首项为3，公比为3的等比数列，则.
（2）由（1）得，
，
，
所以
，
，
故.
18.（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）取得中点，得，可知平面，进而得结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，根据向量的夹角公式求解.
【详解】（1）取得中点，连接，
，
又平面平面，
所以平面，
又平面；
（2）平面平面，平面平面平面，
平面，
以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
，
设为平面的一个法向量，则，
取，则，故，
又为平面的一个法向量，
，
故二面角的正弦值为.
19.（1）
（2）
【分析】（1）根据中点坐标即可将代入求解，
（2）联立直线与抛物线方程得韦达定理，即可由面积公式求解.
【详解】（1）设，则，
由于在抛物线上，所以，即
（2）根据题意可设直线的方程为
联立，设，
则，
因此
面积为
20.（1）；
（2）.
【分析】（1）利用的关系结合条件及等比数列的定义可得，再根据等差数列的概念计算求；
（2）利用分组求和及等比数列求和公式计算即可.
【详解】（1）由，且对一切都成立，
可得，
又，所以，
则，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，则.
又是公差为2的等差数列，，所以，
则.
综上.
（2）由上可知，
故
.
21.（1）
（2）
【分析】（1）利用离心率公式与的关系，结合的坐标，即可得解；
（2）设，将代入椭圆，可得的方程，利用韦达定理得到三角形的面积关于的表达式，结合换元法与基本不等式即可得解.
【详解】（1）由已知得，又由，
可得，得椭圆方程为，
因为轴，令，则，得，
所以的坐标为，故由，得，
所以椭圆方程为；
（2）设，
将代入椭圆，可得，
则，
则
所以，
因为直线与轴交点的坐标为，
所以的面积，
令，则，
故，
当且仅当，即时，的面积取得最大值为.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为（或）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
22.（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）根据为的中点，得到，再由，利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；
（2）以为原点，以为轴，为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，再由平面的一个法向量为，由求解.
【详解】（1）证明：
是的中点，，
又平面，
平面平面，
平面平面；
（2）解：，
以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，
连接，
四边形为平行四边形，
是异面直线与所成的角，则，
，则，
，
设平面的法向量为，又，
，令，则，
，又平面的法向量，
设二面角的平面角为，经观察为钝角，
.