江西省上饶市广丰区私立康桥中学2023-2024学年高二上学期期末数学模拟试题

这是一份江西省上饶市广丰区私立康桥中学2023-2024学年高二上学期期末数学模拟试题，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40 分．在每小题四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的）
1．抛物线的方程为，过点的直线交于两点，记直线的斜率分别为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在平行四边形中，，现将沿对角线折起，使与成角，则之间的距离的平方为（ ）
A．B．或C．2D．2或
4．已知为坐标原点，椭圆的左､右焦点分别是，离心率为.是椭圆上的点，的中点为，过作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（ ）
A．B．4C．D．
5．已知直线的一个方向向量为，且经过点，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．直线倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．阅读材料：数轴上，方程可以表示数轴上的点；平面直角坐标系中，方程（、不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角更多优质资源可进入 坐标系中，方程（、、不同时为0）可以表示坐标空间内的平面．过点且一个法向量为的平面的方程可表示为．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．在平面直角坐标系中，以轴非负半轴作为始边，角的终边与曲线相交于点，若，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中 ，有多项是符合题目要求的。正确选项全对得5分，正确选项不全得2分，有错误选项得0分）
9．已知直线与圆总有两个不同的交点为坐标原点，则（ ）
A．直线过定点
B．
C．当时，
D．当时，的最小值为
10．已知双曲线的左、右焦点别为，，过点的直线l与双曲线的右支相交于两点，则（ ）
A．若的两条渐近线相互垂直，则
B．若的离心率为，则的实轴长为
C．若，则
D．当变化时，周长的最小值为
11．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两，则（ ）
A．若，则
B．以为直径的圆与准线相切
C．设，则的最小值为
D．过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有2条
12．如图1，矩形由正方形与拼接而成．现将图形沿对折成直二面角，如图2．点（不与重合）是线段上的一个动点，点在线段上，点在线段上，且满足，，则（ ）
图1 图2
A．B．
C．的最大值为D．多面体的体积为定值
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．二项式的展开式的常数项为 .
14．若双曲线的一条浙近线方程为，则 .
15．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为是C上位于第一象限内的一点，且直线轴的正半轴交于A点，的内切圆在边上的切点为N，若，则双曲线C的离心率为 .
16．已知抛物线的焦点恰为圆的圆心，点在抛物线上，点，点，则的最小值为 ；的最小值为 .
四、解答题：本大题共6小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．已知对任意给定的实数，都有.求值：
(1)；
(2).
18．如图，在正方体中，E是棱上的点（点E与点C，不重合）．

(1)在图中作出平面与平面ABCD的交线，并说明理由；
(2)若正方体的棱长为1，平面与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为，求线段CE的长．
19．（1）已知，计算：；
（2）解方程：．
20．将长方体沿截面截去一个三棱锥后剩下的几何体如图所示，其中，，分别是，的中点.

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
21．已知直线：和圆：.
(1)判断直线和圆的位置关系，并求圆上任意一点到直线的最大距离；
(2)过直线上的点作圆的切线，切点为，求证：经过，，三点的圆与圆的公共弦必过定点，并求出该定点的坐标.
22．某学校为了提高学生的运动兴趣，增强学生身体素质，该校每年都要进行各年级之间的球类大赛，其中乒乓球大赛在每年“五一”之后举行，乒乓球大赛的比赛规则如下：高中三个年级之间进行单循环比赛，每个年级各派5名同学按顺序比赛（赛前已确定好每场的对阵同学），比赛时一个年级领先另一个年级两场就算胜利（即每两个年级的比赛不一定打满5场），若两个年级之间打成则第5场比赛定胜负．已知高三每位队员战胜高二相应对手的可能性均为，高三每位队员战胜高一相应对手的可能性均为，高二每位队员战胜高一相应对手的可能性均为，且队员、年级之间的胜负相互独立．
(1)求高二年级与高一年级比赛时，高二年级与高一年级在前两场打平的条件下，最终战胜高一年级的概率．
(2)若获胜年级积3分，被打败年级积0分，求高三年级获得积分的分布列和期望．
参考答案：
1．C
2．B
3．B
4．B
5．B
6．C
7．A
8．A
9．ACD
10．ACD
11．AB
12．AC
13．7
14．2
15．
16．
17．
(1)
(2)
【分析】（1）利用赋值法求解，令可得结果；
（2）利用赋值法求解，令可得结果；
【详解】（1）因为，
令，则；
（2）令，则，
由（1）知，
两式相减可得.
18．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）分别延长，交于点，连接.根据点线面的位置关系基本事实，可判定平面，平面，即可得出说明；
（2）设，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面与平面ABCD的法向量，根据已知得出关于的方程，求解即可得出答案.
【详解】（1）
如图1，分别延长，交于点，连接，则即为所求交线.
因为，平面，平面，
所以，平面，平面.
又平面，平面，
所以平面，平面，
所以，平面平面.
（2）
如图2，以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，设，.
则，，，，
所以，，，.
根据正方体的性质可知，平面，
所以即为平面的一个法向量.
设是平面的一个法向量，
所以，，即，
令，则，，
所以，是平面的一个法向量.
由已知可得，，
即，即，
整理可得，，解得或（舍去），
所以，，即.
19．（1）126；（2）．
【分析】（1）根据给定条件，利用组合数的性质求出并计算得解.
（2）利用组合计算公式、排列数公式求解即得.
【详解】（1）因为，则，解得，经验证符合题意，
所以
.
（2）由，得，
即，而由，知，解得，
所以原方程的解为.
20
(1)证明见解析
(2).
.【分析】(1)作出辅助线，得到四边形为平行四边形，进而得到线线平行，得到线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，从而得到线面角的正弦值.
【详解】（1）连接，如图所示，

∵长方形中，，分别是，的中点，
∴且，
∴四边形为平行四边形，
∴且，
又∵长方体中且，
∴且，
∴四边形为平行四边形，得.
又∵平面，平面，
∴平面
（2）以点为原点，，所在直线为轴，轴，以点为垂足，
垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设，
则，，，，
∴，，
设平面的一个法向量为，
则有，
令，则，，即，
设为直线与平面所成角，，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
21．
(1)相离；
(2)
【分析】（1）利用圆心到直线的距离与半径进行比较可判断直线与圆的位置关系，圆上任意一点到直线的最大距离为圆心到直线的距离与半径的和；
（2）由题意可知过，，三点的圆，即为以为直径的圆，设点坐标，表示圆心和半径，得出圆的方程，将其与圆的方程相减，可得公共弦所在直线方程，整理得出定点坐标即可.
【详解】（1）圆:的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离，
所以直线和圆相离；
因为直线和圆相离，如图：

过圆心作直线的垂线，垂足为，
要使圆上任意一点到直线的距离最大，则是线段的延长线与圆的交点，
点到直线的最大距离为；
（2）因为点在直线上，可设，

过，，三点的圆即以为直径的圆，
圆心为，半径为，
所以圆的方程为，
整理得，
所以过，，三点的圆方程为：，
将方程与方程相减得两圆的公共弦方程：，即，
由得，
所以该定点的坐标为.
22．
(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据前两局平局的情况下，后面分两种情况计算高二年级最终战胜高一年级的概率即可；
（2）由题可知高三年级获得积分的的取值可为0，3，6，分别计算概率从而可得分布列与数学期望.
【详解】（1）设高二年级与高一年级在前两场打平的条件下，最终战胜高高一年级的事件为，
则
（2）根据题意得高三年级获得积分的的取值可为0，3，6
的分布列为
0
3
6