陕西省榆林市府谷县府谷中学2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题

这是一份陕西省榆林市府谷县府谷中学2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题，共16页。试卷主要包含了等差数列中，已知，则，已知空间向量满足，则实数的值是，直线平分圆，则，函数的单调递减区间为，下列说法正确的是，已知圆与圆，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

1.等差数列中，已知，则（ ）
A.10 B.11 C.12 D.13
2.已知空间向量满足，则实数的值是（ ）
A.-5 B.-4 C.4 D.5
3.直线平分圆，则（ ）
A. B.1 C.-1 D.-3
4.已知抛物线经过点，点到抛物线的焦点的距离为3，则抛物线的准线方程为（ ）
A. B.
C. D.
5.函数的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D.
6.在直三棱柱中，是的中点，则直线与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7.的图象如图所示，则的图象最有可能是（ ）
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C. D.
8.双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于两点，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B.点关于直线的对称点为
C.过两点的直线方程为
D.已知点，向量，过点作以向量为方向向量的直线为，则点到直线的距离为
10.已知圆与圆，下列说法正确的是（ ）
A.与的公切线恰有4条
B.与相交弦的方程为
C.与相交弦的弦长为
D.若分别是圆上动点，则
11.设等差数列的前项和为，公差为，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.当时，取得最大值
C.
D.使得成立的最大自然数是15
12.如图，棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为线段上的动点，则（ ）
A.三棱锥的体积为定值
B.存在点，使得平面
C.为中点时，直线与所成角最小
D.点到直线距离的最小值为
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知，其中，若，则的值为__________.
14.函数的导函数__________.
15.如图甲是第七届国际数学教育大会（简称）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列，则此数列的通项公式为__________.
16.曲线过原点的切线方程为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.已知是等差数列的前项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
18.已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上.
（1）求圆心为的圆的一般方程；
（2）已知为圆上的点，求的最大值和最小值.
19.如图，已知正方体，点为棱的中点.
（1）证明：平面.
（2）求异面直线与所成角的正弦值.
20.已知函数.
（1）求的图象在处的切线方程；
（2）求的极值.
21.已知直线与抛物线交于两点.
（1）若直线过抛物线的焦点，线段中点的纵坐标为2，求的长；
（2）若直线经过点，求的值.
22.已知椭圆的中心在坐标原点，两焦点在轴上，离心率为，点在上，且的周长为6.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的动直线与相交于两点，点关于轴的对称点为，直线与轴的交点为，求的面积的最大值.
府谷中学高二数学期末模拟试卷
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】D
【解析】因为，为等差数列，所以有，
所以，.
故选：D.
2.【答案】D
【解析】由已知条件得出，解得.
故选：D.
3.【答案】D
【解析】变形为，故圆心为，
由题意得圆心在上，故，解得.
故选：D
4.【答案】A
【解析】由已知，解得，
故抛物线的准线方程为，
故选：A.
5.【答案】D
【详解】，
当时的单调递减区间为，
故选：D.
6.【答案】C
【解析】在直三棱柱中，，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
，则，线段的中点，于是，
所以直线与夹角的余弦值为.
故选：C
7.【答案】C
【详解】由导函数的图象可知，当或时，；当时，.所以，函数的增区间为和，减区间为，
所以，函数的图象为C选项中的图象.
故选：C.
8.【答案】C
【解析】
如图，设双曲线的方程为，则.
设切线与圆相切于点，过点作，垂足为，则.
所以，有，所以.
又，所以为等腰直角三角形，
所以，
根据双曲线的定义可得，，所以.
在中，由余弦定理可得，.
所以，，
所以，
所以，的离心率.
故选：C.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.【答案】ABD
【解析】对于A中，令，可得，令，可得，
则直线与两坐标轴围成的三角形的面积，所以A正确；
对于B中，设关于直线对称点坐标为，
则，解得，所以B正确；
对于C中，直线的两点式使用的前提是，所以错误；
对于中，以向量为方向向量的直线的斜率，
则过点的直线的方程为，即，
则点到直线距离，所以正确.
故选：ABD.
10.【答案】BCD
【解析】由已知得圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
因为，故两圆相交，
所以与的公切线恰有2条，故错误；
两圆方程做差可得与相交弦的方程为，故B正确；
由点到直线的距离公式得到相交弦的距离为，
故相交弦的弦长为正确；
由图可知，，故D正确.
故选：BCD
11.【答案】ABC
【详解】解：因为等差数列中，，
所以，A正确；
当时，取得最大值，B正确；
，C正确；
，
故成立的最大自然数错误.
故选：ABC.
12.【答案】ABD
【解析】
如图，以点坐标原点，建立空间直角坐标系.
则，
.
对于项，由正方体以及面面平行的性质可得，平面，
点在线段上，所以到平面的距离等于.
因为，所以.
则是个定值，故A项正确；
对于项，假设存在点，使得平面.
设.
，
则.
所以
，所以，满足条件.
此时有平面平面，
所以，存在点，使得平面，故B项正确；
对于项，设直线与所成角为.
因为.
所以
所以.
因为，所以当时，有最小值，显然有，
则有最大值，根据余弦函数的单调性可知，当时，有最小值，故C项错误；
对于项，因为，
所以，在方向上投影的绝对值为，
由知，当时，有最小值，则有最大值为，
又，所以，点到直线距离的最小值为，故项正确.
故选：ABD.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.【答案】
【解析】由已知可得，.
因为'，所以，解得，
所以，.
故答案为：.
14.【答案】
【分析】利用导函数的乘法公式和复合函数求导法则进行求解
【解析】
故答案为：
15.【答案】
【解析】根据图形，
因为都是直角三角形，
，
是以1为首项，以1为公差的等差数列，
，
，故答案为.
16.【答案】或.
【详解】由题意可得，
设切点为，则，
所以函数过原点的切线方程为，
解之得，则，
此时切线方程为，
若切点为原点，则，此时切线方程为.
故答案为：或.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.【答案】（1）；
（2）.
【解析】（1）设等差数列的前项为，公差为，则，解得.
故数列的通项公式；
（2），故
18.【答案】（1）；
（2）最大值为，最小值为.
【解析】（1），
弦的垂直平分线的斜率为，
又弦的中点坐标为弦的垂直平分线的方程为，即，
与直线联立，解得：，
圆心坐标为圆的半径，
则圆的方程为.
圆的一般方程为；
（2）由（1）知圆的方程为，
所以在圆外，
的最大值为，最小值为.
19.【答案】（1）证明见解析
（2）
【详解】（1）连接，交于点，连接，
因为为棱的中点，
所以是的中位线，
故，
因为平面平面，
所以平面
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方体边长为2，则，
则，
故，
又，所以
故与所成角的正弦值为.
20.【答案】（1）
（2）极大值为，无极小值.
【详解】（1）因为的定义域为.
所以.
的图象在处的切线方程为.
（2）
当时，，当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
.
故的极大值为，无极小值.
21.【答案】（1）6
（2）-4
【详解】（1）设，线段中点设为，则，
由题意，抛物线的焦点为，
根据抛物线的定义得；
（2）当直线斜率不存在时，，与抛物线只有一个交点，不符合题意.
所以直线斜率必存在，设为，
与抛物线联立得：，得，
所以.
22.【答案】（1）
（2）
【解析】（1）
由题知：，
所以椭圆
（2）如图所示：
设直线.
.
，解得.
.
因为点关于轴对称，所以.
设，因为三点共线，所以.
即，即.
解得
.
所以点为定点，.
.
令，
则，
当且仅当，即时取等号.
所以的面积的最大值为.