2023-2024学年河南省周口市沈丘县等几校八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省周口市沈丘县等几校八年级（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.9的平方根是( )
A. 3B. −3C. ±3D. ± 3
2.下列各组数中，能构成直角三角形的是( )
A. 4，5，6B. 1，1， 2C. 6，8，11D. 5，12，23
3.如图是某国产品牌手机专卖店今年8−12月高清大屏手机销售额折线统计图．根据图中信息，可以判断相邻两个月高清大屏手机销售额变化最大的是( )
A. 8−9月
B. 9−10月
C. 10−11月
D. 11−12月
4.下列说法正确的是( )
A. 周长相等的两个三角形全等B. 面积相等的两个三角形全等
C. 三个角对应相等的两个三角形全等D. 三条边对应相等的两个三角形全等
5.如图，AB=AC，若要使△ABE≌△ACD，则添加的一个条件不能是( )
A. ∠B=∠CB. BE=CD
C. BD=CED. ∠ADC=∠AEB
6.下列因式分解中，正确的个数为( )
①x3+2xy+x=x(x2+2y)；②x2+4x+4=(x+2)2；
③−x2+y2=(x+y)(x−y)
A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个
7.如图，在△ACB中，有一点P在AC上移动，若AB=AC=5，BC=6，则AP+BP+CP的最小值为( )
A. 4.8
B. 8
C. 8.8
D. 9.8
8.我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a+b)2−(a−b)2=4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是( )
A. a2−b2=(a+b)(a−b)B. (a−b)(a+2b)=a2+ab−b2
C. (a−b)2=a2−2ab+b2D. (a+b)2=a2+2ab+b2
9.如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的中垂线，直线m为∠ABC的角平分线，l与m相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？( )
A. 24°B. 30°C. 32°D. 36°
10.在数学中，为了书写简便，我们通常记k=1nk=1+2+3+…+(n−1)+n，如k=14(x+k)=(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)，则化简k=13[(x−k)(x−k−1)]的结果是( )
A. 3x2−15x+20B. 3x2−9x+8C. 3x2−6x−20D. 3x2−12x−9
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.比较大小： 10 3.(填“>”、“=”或“<”)
12.“内错角相等，两直线平行”的逆命题是______．
13.小明统计了本班40名学生出生月份，其中在9月份出生的频率为0.5，那么九月份出生的有______人．
14.已知m2−n2=16，m+n=5，则m−n=______．
15.如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用______秒钟．
三、计算题：本大题共2小题，共16分。
16.计算：
(1)3−827× 14− (−2)2；
(2) 3− 25+| 3−3|+31−6364．
17.因式分解
(1)5a2b+10ab2−15ab.
(2)(x−2y)2+8xy．
四、解答题：本题共6小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题9分)
化简求值：
(1)(x−1)(2x+1)−2(x−5)(x+2)，其中x=15；
(2)(a2b−2ab2−b3)÷b−(a−b)(a+b)，其中a=13,b=−12．
19.(本小题9分)
在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为600米，与公路上另一停靠站B的距离为800米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径400米范围内不得进入．问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
20.(本小题9分)
如图，点E在△ABC的外部，点D在BC上，DE交AC于点F，∠1=∠2=∠3，AB=AD.求证：△ABC≌△ADE．
21.(本小题10分)
在结束了380课时初中阶段数学内容的教学后，唐老师计划安排60课时用于总复习，根据数学内容所占课时比例，绘制如下统计图表(图1～图3)，请根据图表提供的信息，回答下列问题：
(1)图1中“统计与概率”所在扇形的圆心角为______度；
(2)图2、3中的a=______，b=______；
(3)在60课时的总复习中，唐老师应安排多少课时复习“数与代数”内容？
22.(本小题10分)
(1)如图1，已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，则阴影部分的面积是___________(写成平方差的形式)；
(2)将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形AHDE的面积是__________________(写成多项式相乘的形式)；
(3)比较图1与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式___________________．
(4)利用所得公式计算：2(1+12)(1+122)(1+124)(1+128)+1214．
23.(本小题12分)
(1)问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC边上一点(不与点B，C重合)，连接AD，过点A作AE⊥AD，并满足AE=AD，连接CE.则线段BD和线段CE的数量关系是______ ，位置关系是______ ．
(2)探索：如图2，当D点为BC边上一点(不与点B，C重合)，Rt△ABC与Rt△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE.试探索线段.BD2，CD2，AD2之间满足的等量关系，并证明你的结论；
(3)拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，若BD=3，CD=1，请求出线段AD的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【解答】
解：9的平方根是± 9=±3．
故选：C．
【分析】
根据平方根的定义和求法，可得9的平方根是：± 9=±3，据此解答即可．
此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查勾股定理的逆定理，属于基础题．
根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可得出答案．
【解答】
解：A.∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误；
B.∵12+12=( 2)2，∴能构成直角三角形，故B正确；
C.∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；
D.∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．
故选B．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查折线统计图的运用，折线统计图表示的是事物的变化情况，根据图中信息求出相邻两个月的高清大屏手机销售额变化量是解题的关键．根据折线图的数据，分别求出相邻两个月的高清大屏手机销售额的变化值，比较即可得解．
【解答】
解：8−9月，30−23=7万元，
9−10月，30−25=5万元，
10−11月，25−15=10万元，
11−12月，19−15=4万元，
所以，相邻两个月中，高清大屏手机销售额变化最大的是10−11月．
故选：C．
4.【答案】D
【解析】解：A、全等三角形的周长相等，但周长相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；
B、全等三角形的面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；
C、判定全等三角形的过程中，必须有边的参与，故本选项错误；
D、正确，符合判定方法SSS．
故选：D．
根据全等三角形的判定方法，此题应采用排除法，对选项逐个进行分析从而确定正确答案．
本题考查全等三角形的判定方法，常用的方法有SSS，SAS，AAS，ASA等，应该对每一种方法彻底理解真正掌握并能灵活运用．而满足SSA，AAA是不能判定两三角形是全等的．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.已知条件AB=AC，还有公共角∠A，然后再结合选项所给条件和全等三角形的判定定理进行分析即可．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【解答】
解：A、添加∠B=∠C可利用ASA定理判定△ABE≌△ACD，故此选项不合题意；
B、添加BE=CD不能判定△ABE≌△ACD，故此选项符合题意；
C、添加BD=CE可得AD=AE，可利用SAS定理判定△ABE≌△ACD，故此选项不合题意；
D、添加∠ADC=∠AEB可利用AAS定理判定△ABE≌△ACD，故此选项不合题意；
故选B．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查因式分解，属于基础题．
直接利用提取公因式法以及公式法分别分解因式进而判断得出即可．
【解答】解：①x3+2xy+x=x(x2+2y+1)，故原题错误；
②x2+4x+4=(x+2)2；正确；
③−x2+y2=(x+y)(y−x)，故原题错误；
故正确的有1个．
故选C．
7.【答案】D
【解析】解：
从B向AC作垂线段BP，交AC于P，
设AP=x，则CP=5−x，
在Rt△ABP中，BP2=AB2−AP2，
在Rt△BCP中，BP2=BC2−CP2，
∴AB2−AP2=BC2−CP2，
∴52−x2=62−(5−x)2
解得x=1.4，
在Rt△ABP中，BP= 52−1．42= 23.04=4.8，
∴AP+BP+CP=AC+BP=5+4.8=9.8．
故选D．
若AP+BP+CP最小，就是说当BP最小时，AP+BP+CP才最小，因为不论点P在AC上的那一点，AP+CP都等于AC.那么就需从B向AC作垂线段，交AC于P.先设AP=x，再利用勾股定理可得关于x的方程，解即可求x，在Rt△ABP中，利用勾股定理可求BP.那么AP+BP+CP的最小值可求．
本题主要考查最短路线问题，确定出P点的位置是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：空白部分的面积：(a−b)2，
还可以表示为：a2−2ab+b2，
所以，此等式是(a−b)2=a2−2ab+b2．
故选：C．
根据空白部分的面积等于大正方形的面积减去两个长方形的面积再加上右上角小正方形的面积列式整理即可得解．
本题考查了完全平方公式的几何背景，利用两种方法表示出空白部分的面积是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记各性质并列出关于∠ABP的方程是解题的关键．
根据角平分线的定义可得∠ABP=∠CBP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP=CP，再根据等边对等角可得∠CBP=∠BCP，然后利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可．
【解答】
解：∵直线m为∠ABC的角平分线，
∴∠ABP=∠CBP．
∵直线l为BC的中垂线，
∴BP=CP，
∴∠CBP=∠BCP，
∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，
在△ABC中，3∠ABP+∠A+∠ACP=180°，
即3∠ABP+60°+24°=180°，
解得∠ABP=32°．
故选：C．
10.【答案】A
【解析】解：k=13[(x−k)(x−k−1)]=(x−1)(x−2)+(x−2)(x−3)+(x−3)(x−4)
=x2−3x+2+x2−5x+6+x2−7x+12
=3x2−15x+20，
故选：A．
根据k=1nk=1+2+3+…+(n−1)+n，可得答案．
本题考查了规律型，利用求和公式得出多项式的乘法是解题关键．
11.【答案】>
【解析】解：∵32=9<10，
∴ 10>3，
故答案为：>．
先求出3= 9，再比较即可．
本题考查了实数的大小比较和算术平方根的应用，用了把根号外的因式移入根号内的方法．
12.【答案】两直线平行，内错角相等
【解析】解：“内错角相等，两直线平行”的条件是：内错角相等，结论是：两直线平行．
将条件和结论互换得逆命题为：两条直线平行，内错角相等．
故答案为：两直线平行，内错角相等．
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
13.【答案】20
【解析】解：因为该班共有40名学生，其中9月份出生的频率为0.5，
所以九月份出生的有40×0.5=20人，
故答案为：20．
根据频数=总数×频率解答可得．
本题主要考查频数与频率，解题的关键是掌握频率=频数÷数据总数．
14.【答案】165
【解析】解：∵m2−n2=16，m+n=5，
∴(m+n)(m−n)=m2−n2，即5(m−n)=16．
∴m−n=165．
故答案是：165．
根据(m+n)(m−n)=m2−n2，再把m2−n2=16，m+n=5，代入求解．
本题主要考查平方差公式的运用，熟练掌握公式是解题的关键．
15.【答案】2.5
【解析】解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
(1)展开前面右面由勾股定理得AB= (2+3)2+(2)2= 29cm；
(2)展开底面右面由勾股定理得AB= 32+(2+2)2=5cm；
所以最短路径长为5cm，用时最少：5÷2=2.5秒．
把此正方体的点A所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于5，另一条直角边长等于2，利用勾股定理可求得．
本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
16.【答案】解：(1)3−827× 14− (−2)2
=−23×12−2
=−213；
(2) 3− 25+| 3−3|+31−6364
= 3−5+3− 3+14
=−74．
【解析】(1)先按照求立方根、求平方根的法则化简，再进行实数的加减运算即可；
(2)先按照求平方根、求立方根、绝对值的化简法则计算，再合并同类项及同类二次根式即可．
本题考查了求平方根、求立方根、绝对值的化简等实数运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=5ab(a+2b−3)；
(2)原式=x2−4xy+4y2+8xy=x2+4xy+4y2=(x+2y)2．
【解析】(1)原式提取公因式即可；
(2)原式利用完全平方公式化简，整理即可得到结果．
此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
18.【答案】解：(1)(x−1)(2x+1)−2(x−5)(x+2)
=2x2+x−2x−1−2(x2−3x−10)
=2x2+x−2x−1−2x2+6x+20
=5x+19，
当x=15时，原式=5×15+19=1+19=20；
(2)(a2b−2ab2−b3)÷b−(a−b)(a+b)
=a2−2ab−b2−(a2−b2)
=a2−2ab−b2−a2+b2
=−2ab，
当a=13,b=−12，原式=−2×13×(−12)=13．
【解析】(1)利用多项式乘多项式的法则进行计算，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答；
(2)利用平方差公式，多项式除以单项式的法则进行计算，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】解：公路AB不需要暂时封锁．
理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．
∵CA⊥CB，
∴∠ACB=90°，
因为BC=800米，AC=600米，
所以，根据勾股定理有AB= 8002+6002=1000(米)．
因为S△ABC=12AB⋅CD=12BC⋅AC
所以CD=BC⋅ACAB=800×6001000=480(米)．
由于400米<480米，故没有危险，
因此AB段公路不需要暂时封锁．
【解析】过C作CD⊥AB于D.根据CA⊥CB，得出∠ACB=90°，利用根据勾股定理有AB=1000米．利用S△ABC=12AB⋅CD=12BC⋅AC得到CD=480米．再根据480米>400米可以判断没有危险．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用直角三角形的性质求出CD的长．
20.【答案】证明：∵∠1=∠2=∠3，∠AFE=∠CFD，
∴∠1+∠DAF=∠2+∠DAF，∠C=180°−∠3−∠DFC，∠E=180°−∠2−∠AFE，
∴∠BAC=∠DAE，∠C=∠E，
在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠DAE∠C=∠EAB=AD，
∴△ABC≌△ADE(AAS)．
【解析】根据角的和差和三角形的内角和得到∠BAC=∠DAE，∠C=∠E，然后根据全等三角形的判定定理即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
21.【答案】解：(1)36；
(2) 60， 14 ；
(3)依题意，得45%×60=27，
答：唐老师应安排27课时复习“数与代数”内容．
【解析】解：(1)(1−45%−5%−40%)×360°=36°；
故答案为：36；
(2)380×45%−67−44=60；
60−18−13−12−3=14；
故答案为：60，14．
(3)见答案．
【分析】
(1)先计算出“统计与概率”所占的百分比，再乘以360°即可；
(2)根据数与代数所占的百分比，求得数与代数的课时总数，再减去数与式的和，即为a的值，再用a的值减去图3中A，B，C，E的值，即为b的值；
(3)用60乘以45%即可．
本题考查了条形统计图、扇形统计图和统计表，是基础知识要熟练掌握．
22.【答案】解：(1)a2−b2；
(2)(a+b)(a−b)；
(3)(a+b)(a−b)=a2−b2；
(4)原式=4(1−12)(1+12)(1+122)(1+124)(1+128)+1214
=4(1−122)(1+122)(1+124)(1+128)+1214
=4(1−124)(1+124)(1+128)+1214
=4(1−128)(1+128)+1214
=4(1−1216)+1214
=4−1214+1214
=4．
【解析】【分析】
此题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
(1)根据图1确定出阴影部分面积即可；
(2)根据图2确定出长方形面积即可；
(3)根据两图形面积相等得到乘法公式；
(4)利用得出的平方差公式计算即可得到结果．
【解答】
解：(1)根据题意得：阴影部分面积为a2−b2；
故答案为a2−b2；
(2)根据题意得：阴影部分面积为(a+b)(a−b)；
故答案为(a+b)(a−b)；
(3)可得(a+b)(a−b)=a2−b2；
故答案为(a+b)(a−b)=a2−b2；
(4)见答案．
23.【答案】BD=CE BD⊥CE
【解析】解：(1)问题：在Rt△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
故答案为：BD=CE，BD⊥CE；
(2)探索：结论：2DA2=BD2+CD2，
理由是：如图2中，连接EC．
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∵△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，
∴DE2=CE2+CD2，
∴DE2=BD2+CD2，
∵DE2=AD2+AE2=2AD2，
∴2AD2=BD2+CD2；
(3)拓展：如图3，将AD绕点A逆时针旋转90°至AG，连接CG、DG，
则△DAG是等腰直角三角形，
∴∠ADG=45°，
∵∠ADC=45°，
∴∠GDC=90°，
同理得：△BAD≌△CAG，
∴CG=BD=3，
Rt△CGD中，∵CD=1，
∴DG= CG2−CD2= 32−12=2 2，
∵△DAG是等腰直角三角形，
∴AD=AG=2．
(1)问题：证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答即可；
(2)探索：证明△BAD≌△CAE，得到BD=CE，根据勾股定理计算即可；
(3)拓展：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△BAD≌△CAG，得到BD=CG=3，证明△CDG是直角三角形，根据勾股定理计算即可．
本题是四边形的综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．