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2024重庆市黔江中学高二上学期12月月考数学试卷含解析
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考试时间：120分钟
考试范围：选择性必修一全部内容，选择性必修二数列部分等差数列及前面内容
一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在平面直角坐标系xOy中，直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知双曲线一条渐近线方程为，则（ ）
A. B. C. D.
3. 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为
A. B.
C. D.
4. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图，某园林中的圆弧形挪动高为2.5m，底面宽为1m，则该门洞的半径为（ ）
A. 1.2mB. 1.3 mC. 1.4 mD. 1.5 m
5 已知等差数列中，，则（ ）
A. 30B. 15C. 5D. 10
6. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已知在堑堵中，，，，若直线与直线所成角为，则( )
A. B. 2C. D.
8. 如图，已知抛物线：和圆：，过抛物线的焦点作直线与上述两曲线自左而右依次交于点，，，，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知直线，直线，则（ ）
A. 当时，与的交点是B. 直线与都恒过
C. 若，则D. ，使得平行于
10. 已知圆和圆的交点为A，B，则（ ）.
A. 两圆的圆心距
B. 直线AB的方程为
C. 圆上存两点P和Q使得
D. 圆上的点到直线AB的最大距离为
11. “奔跑吧少年”青少年阳光体育系列赛事活动于近日开赛，本次比赛的总冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积，托盘由边长为4的正三角形钢片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②则下列结论正确的是（ ）
A. 直线与平面所成的角为
B. 直线平面
C. 异面直线与所成的角的余弦值为
D. 球上的点离球托底面的最大距离为
12. 已知点P为双曲线上任意一点，为其左、右焦点，O为坐标原点．过点P向双曲线两渐近线作垂线，设垂足分别为M、N，则下列所述正确的是（ ）
A. 为定值B. O、P、M、N四点一定共圆
C. 的最小值为D. 存在点P满足P、M、三点共线时，P、N、三点也共线
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 经过两点直线的方向向量为，则______．
14. 已知数列，，，，，，，，，，，，则该数列的第项为_____________.
15. 过点P作圆切线，记切点分别为A，B，则__________．
16. 斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即，，，，，，，，，，，，，，在实际生活中，很多花朵如梅花、飞燕草、万寿菊等的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．斐波那契数列满足：，，经计算发现：（），则___________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知等差数列，，其中，，仍成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和，且，求．
18. 已知圆C的圆心为C，且过点，．
（1）当AB为直径时，圆C的面积取得最小值，求此时圆C的标准方程及圆C的面积；
（2）对于（1）中的圆，设过点的直线与圆C所截得弦长为2，求直线的方程．
19. 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面底面，且分别为棱的中点．
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离．
20. 已知是抛物线的焦点，抛物线上点A满足AF垂直于x轴，且．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）是该抛物线上的两点，，求线段的中点到轴的距离；
（3）已知点，直线过点与抛物线交于，两个不同的点均与点H不重合，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
21. 如图，在正三棱柱中，，，分别为，，的中点，，．
（1）证明：平面．
（2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
22. 已知椭圆C的方程为，其离心率为，，为椭圆的左右焦点，过作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，的周长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过B作x轴的垂线交椭圆于点D．
①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
②求面积的最大值．
考试时间：120分钟
考试范围：选择性必修一全部内容，选择性必修二数列部分等差数列及前面内容
一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在平面直角坐标系xOy中，直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知双曲线一条渐近线方程为，则（ ）
A. B. C. D.
3. 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为
A. B.
C. D.
4. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图，某园林中的圆弧形挪动高为2.5m，底面宽为1m，则该门洞的半径为（ ）
A. 1.2mB. 1.3 mC. 1.4 mD. 1.5 m
5 已知等差数列中，，则（ ）
A. 30B. 15C. 5D. 10
6. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已知在堑堵中，，，，若直线与直线所成角为，则( )
A. B. 2C. D.
8. 如图，已知抛物线：和圆：，过抛物线的焦点作直线与上述两曲线自左而右依次交于点，，，，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知直线，直线，则（ ）
A. 当时，与的交点是B. 直线与都恒过
C. 若，则D. ，使得平行于
10. 已知圆和圆的交点为A，B，则（ ）.
A. 两圆的圆心距
B. 直线AB的方程为
C. 圆上存两点P和Q使得
D. 圆上的点到直线AB的最大距离为
11. “奔跑吧少年”青少年阳光体育系列赛事活动于近日开赛，本次比赛的总冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积，托盘由边长为4的正三角形钢片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②则下列结论正确的是（ ）
A. 直线与平面所成的角为
B. 直线平面
C. 异面直线与所成的角的余弦值为
D. 球上的点离球托底面的最大距离为
12. 已知点P为双曲线上任意一点，为其左、右焦点，O为坐标原点．过点P向双曲线两渐近线作垂线，设垂足分别为M、N，则下列所述正确的是（ ）
A. 为定值B. O、P、M、N四点一定共圆
C. 的最小值为D. 存在点P满足P、M、三点共线时，P、N、三点也共线
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 经过两点直线的方向向量为，则______．
14. 已知数列，，，，，，，，，，，，则该数列的第项为_____________.
15. 过点P作圆切线，记切点分别为A，B，则__________．
16. 斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即，，，，，，，，，，，，，，在实际生活中，很多花朵如梅花、飞燕草、万寿菊等的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．斐波那契数列满足：，，经计算发现：（），则___________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知等差数列，，其中，，仍成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和，且，求．
18. 已知圆C的圆心为C，且过点，．
（1）当AB为直径时，圆C的面积取得最小值，求此时圆C的标准方程及圆C的面积；
（2）对于（1）中的圆，设过点的直线与圆C所截得弦长为2，求直线的方程．
19. 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面底面，且分别为棱的中点．
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离．
20. 已知是抛物线的焦点，抛物线上点A满足AF垂直于x轴，且．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）是该抛物线上的两点，，求线段的中点到轴的距离；
（3）已知点，直线过点与抛物线交于，两个不同的点均与点H不重合，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
21. 如图，在正三棱柱中，，，分别为，，的中点，，．
（1）证明：平面．
（2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
22. 已知椭圆C的方程为，其离心率为，，为椭圆的左右焦点，过作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，的周长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过B作x轴的垂线交椭圆于点D．
①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
②求面积的最大值．
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