2024龙岩一中高二上学期第三次月考试题数学含答案

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一、单选题
1．在四面体中，空间的一个点满足，若四点共面，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在正三棱台中，，为中点，为中点，设，，，则可用，，表示为（ ）
A．B．
C． D．
3．两平行直线和间的距离是（ ）
A． B． C． D．
4．记等比数列的前项和为.若，，则（ ）
A．B．C．D．
5．如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点A是在第一象限内的交点，若，则（ ）
A．双曲线的渐近线为 B．的离心率为
C．的方程为 D．的面积为
6．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则不同的监考方法有
A．8种B．9种C．10种D．11种
7．已知长方体中，若是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知长方体，，，M是 的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（ ）
A．B．6C．D．5
二、多选题
9．已知二项式的展开式中各项的系数和为64，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为32
C．展开式中的常数项为540
D．展开式中二项式系数最大的项是第四项
10．若方程所表示的曲线为，则下面四个说法中错误的是（ ）
A．若，则为椭圆
B．若为椭圆，且焦点在轴上，则
C．曲线可能是圆
D．若为双曲线，则
11．已知，则（ ）
A．与均有公共点的直线斜率最大为
B．与均有公共点的圆的半径最大为4
C．向引切线，切线长相等的点的轨迹是圆
D．向引两切线的夹角与向引两切线的夹角相等的点的轨迹是圆
12．在数列中，.则下列结论中正确的是（ ）
A．B．是等比数列
C．D．
三、填空题
13．已知的展开式中的常数项为240，则 ．
14．函数的图像与坐标轴交于点A，B，C，则过A，B，C三点的圆的方程为
15．过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则
16．如图所示，有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为3a，4a，．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是 ．
四：解答题
17（本小题10分）
（1）若，求的值；
（2）在的展开式中，求系数最大的项；
18（本小题12分）．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点，且满足（为坐标原点）.
(1)求的方程；
(2)求的角平分线所在直线的方程.
19（本小题12分）．如图，在三棱锥中，为正三角形，平面平面.
(1)求证：；
(2)若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
20（本小题12分）．在平面直角坐标系中，已知圆，圆N过原点O及点且与圆C外切.
(1)求圆N的标准方程；
(2)若过点A的直线l被两圆截得的弦长相等，求直线l的方程.
21（本小题12分）．记为数列的前项和，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
22（本小题12分）．已知双曲线()左、右焦点为，其中焦距为，双曲线经过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过右焦点作直线交双曲线于M，N两点(M，N均在双曲线的右支上)，过原点O作射线，其中，垂足为为射线与双曲线右支的交点，求的最大值．
龙岩一中2025届高二数学第三次月考试题参考答案：
1．B 2．B 3．C 4．C 5．D 6．B 7．B 8．D
9．ABD 10．AD 11．AD 12．ABD
【详解】由，易知，
所以是以1为首项，为公比的等比数列.
对于A项，易知，，累加得，，当时，符合上式，故，
若为奇数，则，且单调递增，
若为偶数，则，且单调递减，
故，即A正确；对于B项，由上可知，
显然是以1为首项，为等比的等比数列，即B正确；
对于C、D选项，由A可知，故C错误，D正确.
13: 3 14． 15: 16．
拼成一个三棱柱时，全面积有三种情况：①上下底面对接，其全面积为.
②边合在一起时，全面积为.
③边合在一起时，全面积为.

拼成一个四棱柱时，有四种情况，全面积有三种情况：
让边长为所在的侧面重合，其上下底面积之和都是，
但侧面积分别为，
显然，三种情况中全面积最小的是；
因为比小，所以由题意得，
解得.

17:（1）∵，
令，可得，令，可得，
∴．
（2）①．
二项式系数最大的项为中间项，即第5项．所以．
②设第项系数的绝对值最大，
则所以解得
故系数绝对值最大的项是第6项和第7项．
18:（1）因为，所以，所以，
设，则，解得.因为点在上，所以，
所以，所以.
2）由（1）知，所以直线的方程为，
又，所以直线的方程为，即.
由抛物线的图形知，的角平分线所在直线的斜率为正数.
设为的角平分线所在直线上任一点，则有，
若，得，其斜率为负，不合题意，舍去.
所以，即，
所以的角平分线所在直线的方程为.
19（1）如图，设为的中点，
因为为正三角形，所以.
平面平面，平面平面，平面，
底面，而底面，
，又，平面，
平面，而平面，
；
（2）设的中点为，.
由（1）知两两垂直，以为轴、轴、轴的正半轴建立空间直角坐标系，，取，
则，.
.
设平面的法向量为，
则，取，则.
直线与平面所成角的正弦值为.
20（1）由题意知，圆的圆心在直线上，设，半径为，
因为圆与圆C外切，且圆C的圆心，半径为，
所以，即①，
又，即②，由①得，，代入②得，，
解得或(舍)，所以，故所求圆的标准方程为.
（2）当的斜率不存在时，的方程为：，与圆相离，不符合题意.
当的斜率存在时，设为，故的方程为，
则圆心C到直线的距离为：；圆心到直线的距离为：，
因为圆的弦长一半与圆心到弦的距离的平方和等于圆的半径的平方，
又被两圆截得的弦长相等，所以，即，
解得或，故直线的方程为或.
21:（1）因为，可得，
两式相减得，
整理得，可知数列是3为首项，2为公差的等差数列，
所以．
（2）由（1）可得：，
则
，所以．
22．（1）由题意得，，，解得，，
双曲线的方程为：.
（2）当直线斜率不存在时，，，则，
当直线斜率存在时，假设直线方程为，
联立双曲线方程得，
则，，，
∵直线与双曲线交于右支，∴，
则，
设射线OP方程为：，联立与双曲线的方程，
∴，，，∴，
∴
，
当且仅当时等号成立，最大值为．
综上，的最大值为.