2023-2024学年江苏省徐州三十六中八年级（上）期中数学定心试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省徐州三十六中八年级（上）期中数学定心试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD平分∠BAC，则AD的长为( )
A. 5
B. 10
C. 12
D. 13
2.如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成3块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是____，这么做的依据是____.( )
A. 带①去，SASB. 带②去，SAS
C. 带③去，ASAD. ①②③都带去，SSS
3.如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是( )
A. ∠A=∠C
B. AD=CB
C. BE=DF
D. AD//BC
4.如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC=36cm2，AB=18cm，BC=12cm，则DE的长为( )
A. 2cm
B. 3613cm
C. 125cm
D. 3cm
5.公元3世纪切，中国古代书学家赵爽注《周牌算经》时，创造了“赵爽弦图”.如图，勾a=3，弦c=5，则小正方形ABCD的面积为( )
A. 1B. 3C. 4D. 9
6.兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在△ABC( )
A. 三条中线的交点B. 三条高的交点
C. 三条边的垂直平分线的交点D. 三个角的角平分线的交点
7.若实数x，y满足|x−3|+ y−6=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是( )
A. 9B. 12C. 15D. 12或15
8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=45°，AD⊥BC于点D，且AD=BD，∠ABC的平分线分别交AC、AD于点E、F两点，BE⊥AN于点M，下列结论中：①∠AFE=∠AEF；②DF=DN；③AN=BF；④EN//AD.其中正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是______．
10.如图，已知在△ABD和△ABC中，AD=AC，点A，B，E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是______ ．
11.等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个三角形底角的度数为______ ．
12.在如图所示的正方形网格中，∠1+∠2= ______ ．
13.如图：在△ABC中，若∠ABC=90°，∠A=58°，又CD=CB，则∠ABD= ______ 度.
14.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AC=6，AB=8，DE是边AB的垂直平分线，则△ADC的周长为______ ．
15.数轴上点A对应的数是−1，点C对应的数是−4，BC⊥AC，垂足为C，且BC=1，以A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为______．
16.如图，边长为9的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN.则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.求下列各式中x的值：
①(x+2)2=4；
②3+(x−1)3=−5．
四、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
如图，点B，F，C，E在同一条直线上，△ABC≌△DEF，AB=6，BC=11，BF=3，∠ACB=30°.求∠DFE的度数及DE，CE的长．
19.(本小题8分)
△ABC中，∠ABC=110°，AB边的垂直平分线交AB于D、AC于E，BC边的垂直平分线交BC于F、AC于G、AB的垂直平分线于H，求∠EBG和∠DHF的度数．
20.(本小题8分)
如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；
(2)在直线l上找一点P(在图中标出)使PB+PC的长最短，并求出这个最短长度．
21.(本小题8分)
如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．
求证：(1)BC=AD；
(2)△OAB是等腰三角形．
22.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm.点P从点A出发，沿AB以每秒4cm的速度向终点B运动．当点P不与点A、B重合时，过点P作PQ⊥AB交射线BC于点Q，以PQ为一边向上作正方形PQMN，设点P的运动时间为t(秒)．
(1)求线段PQ的长．(用含t的代数式表示)
(2)求点Q与点C重合时t的值．
(3)设正方形PQMN与△ABC的重叠部分周长为1(cm)，求l与t之间的函数关系式．
(4)作点C关于直线QM的对称点C′，连结PC′.当PC′与△ABC的边垂直或重合时，直接写出t的值．
23.(本小题8分)
已知：如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，将线段BC绕点B顺时针旋转一定角度得到线段BD.连接AD交BC于点E，过点C作线段AD的垂线，垂足为点F，交BD于点G．
(1)如图1，若∠CBD=45°．
①求∠BCG的度数；
②求证：CE=DG；
(2)如图2，若∠CBD=60°，当AC−DE=6时，求CE的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC于点D，
∴BD=12BC=5，
∴AD= AB2−BD2= 132−52=12，
故选：C．
由等腰三角形的性质可求BD的长，再利用勾股定理可求解AD的长．
本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理，求解BD的长是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：根据三角形全等的判定方法，根据角边角可确定一个全等三角形，
只有第三块玻璃包括了两角和它们的夹边，利用ASA得出全等，只有带③去才能配一块完全一样的玻璃，是符合题意的．
故选：C．
根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时要根据已知条件进行选择运用．
3.【答案】B
【解析】解：∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，
A、在△ADF和△CBE中，∠A=∠CAF=CE∠AFD=∠CEB,
∴△ADF≌△CBE(ASA)，
故A不符合题意；
B、在△ADF和△CBE中，AD=BC，AF=CE，∠AFD=∠CEB，
∴△ADF与△CBE不一定全等，
故B符合题意；
C、在△ADF和△CBE中，AF=CE∠AFD=∠CEBDF=BE,
∴△ADF≌△CBE(SAS)，
故C不符合题意；
D、∵AD/​/BC，
∴∠A=∠C，
在△ADF和△CBE中，∠A=∠CAF=CE∠AFD=∠CEB,
∴△ADF≌△CBE(ASA)，
故D不符合题意．
故选：B．
根据等式的性质由AE=CF可得AF=CE，然后利用全等三角形的判定方法逐一判断即可解答．
本题考查全等三角形的判定，熟记判定三角形全等的方法是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：如图，过点D作DF⊥BC于F，
∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF，
∵S△ABC=36cm2，AB=18cm，BC=12cm，
∴S△ABC=S△ABD+S△BCD=12AB⋅DE+12BC⋅DF=12DE⋅(AB+BC)=36cm2，
解得：DE=125(cm)．
故选：C．
过点D作DF⊥BC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，然后根据△ABC的面积列出方程求解即可得到DE．
此题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，正确作出辅助线是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：如图，
∵勾a=3，弦c=5，
∴股b= 52−32=4，
∴小正方形的边长=4−3=1，
∴小正方形的面积=12=1，
故选：A．
根据勾股定理和正方形的面积公式可求解．
本题运用了勾股定理和正方形的面积公式，关键是运用了数形结合的数学思想．
6.【答案】C
【解析】解：猎狗到△ABC三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在△ABC的三条边垂直平分线的交点．
故选：C．
用线段垂直平分线性质判断即可．
此题考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握性质是解本题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵实数x，y满足|x−3|+ y−6=0，
∴x=3，y=6．
∵3、3、6不能组成三角形，
∴等腰三角形的三边长分别为3、6、6，
∴等腰三角形周长为3+6+6=15．
故选：C．
根据绝对值及偶次方非负可得出x、y的值，由三角形三边关系可确定等腰三角形的三边长度，将其相加即可得出结论．
本题考查了等腰三角形的性质、偶次方(绝对值)的非负性以及三角形三边关系，根据绝对值及偶次方非负性结合三角形的三边关系找出等腰三角形的三条边的长度是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵∠BAC=90°，∠C=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AD⊥BC，
∴∠FAE=45°，
∵△ABC是等腰直角三角形，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=22.5°，
∴∠BFD=∠AFE=∠AEB=90°−22.5°=67.5°，故①正确；
∴AF=AE，
∴△AFE为等腰三角形，
∵BE⊥AN，
∴M为EF的中点，
∴∠DAN=∠CAN=12∠DAC=22.5°，
∴∠DAN=∠DBF=22.5°，
∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，
∴AD=BD，∠BDF=∠ADN=90°，
在△BDF和△ADN中，
∵∠DAN=∠DBFAD=BD∠ADN=∠BDF，
∴△BDF≌△ADN(ASA)，
∴DF=DN，AN=BF，故②、③正确；
∵∠AND=∠BFD=67.5°，
又∵∠BAN=∠BAD+∠DAN=67.5°，
∴∠AND=∠BAN，
∴AB=BN，
在△ABE和△NBE中，
AB=BN∠ABE=∠NBEBE=BE，
∴△ABE≌△NBE(SAS)，
∴∠BNE=∠BAE=90°，
∴EN⊥BC，
∵AD⊥BC，
∴EN/​/AD，故④正确，
综上分析可知，正确的有①②③④．
故选：D．
由∠FAE=45°可判断①，证明△BDF≌△ADN可判断②和③，证明△ABE≌△NBE可判断④，从而可得答案．
本题考查等腰直角三角形的性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练应用全等三角形的判定定理，证明三角形全等．
9.【答案】15：01
【解析】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与10：21成轴对称，所以此时实际时刻为15：01，
故答案为：15：01．
利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
10.【答案】BD=BC(或∠DAB=∠CAB)
【解析】解：∵DA=CA，AB=AB，
∴当添加BD=BC时，可根据“SSS”判断△ABD≌△ABC；
当添加∠DAB=∠CAB时，可根据“SAS”判断△ABD≌△ABC；
故答案为：BD=BC(或∠DAB=∠CAB)．
利用全等三角形的判定方法添加条件．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
11.【答案】40°
【解析】解：设底角的度数是x°，则顶角的度数为(2x+20)°，
根据题意得：x+x+2x+20=180，
解得：x=40，
故答案为：40°．
设底角的度数是x°，则顶角的度数为(2x+20)°，根据三角形内角和是180°列出方程，解方程即可得出答案．
本题考查了等腰三角形的性质，考查了方程思想，掌握等腰三角形两个底角相等是解题的关键．
12.【答案】90°
【解析】解：如图：
∵AB=DB，∠B=∠B，CB=EB，
∴△ABC≌△DBE(SAS)，
∴∠1=∠BDE，
∵∠B=90°，
∴∠2+∠BDE=90°，
∴∠2+∠1=90°．
故答案为：90°．
证明△ABC≌△DBE可得∠1=∠BDE，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．
13.【答案】16
【解析】解：∵∠ABC=90°，∠A=58°，
∴∠C=90°−∠A=90°−58°=32°，
∵CD=CB，
∴∠CBD=12(180°−∠C)=12(180°−32°)=74°，
∴∠ABD=∠ABC−∠CBD
=90°−74°
=16°．
故答案为：16．
根据直角三角形两锐角互余求出∠C，再根据等腰三角形两底角相等求出∠CBD，然后根据∠ABD=∠ABC−∠CBD，代入数据进行计算即可得解．
本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．
14.【答案】16
【解析】解：∵∠BAC=90°，AC=6，AB=8，
∴BC= AB2+AC2=10，
∵DE是边AB的垂直平分线，
∴BD=AD，
∴△ADC的周长=AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=6+10=16．
故答案为：16．
由勾股定理求出BC=10，由线段垂直平分线的性质推出BD=AD，于是得到△ADC的周长=AC+BC=6+10=16．
本题考查线段垂直平分线的性质，勾股定理，关键是由线段垂直平分线的性质得到BD=AD．
15.【答案】−1± 10
【解析】解：如图，
根据勾股定理得：AB= 32+12= 10，
∴AD=AB= 10，
若点D在点A的左侧，则点D表示的数为：−1− 10；
若点D在点A的右侧，则点D表示的数为：−1+ 10；
故答案为：−1± 10．
根据勾股定理求出AB的长，从而得到AD的长，分两种情况分别写出点D表示的数即可．
本题考查了勾股定理，实数与数轴，注意以A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于两个点．
16.【答案】94
【解析】解：如图，取BC的中点G，连接MG，
∵线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，
∴∠MBH+∠HBN=60°，
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
即∠MBH+∠MBC=60°，
∴∠HBN=∠GBM，
∵CH是等边三角形的高，
∴BH=12AB，
∴BH=BG，
又∵BM旋转到BN，
∴BM=BN，
在△MBG和△NBH中，
BM=BN∠GBM=∠HBNBG=BH，
∴△MBG≌△NBH(SAS)，
∴MG=NH，
根据垂线段最短，当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
此时∠BCH=12×60°=30°，
∴CG=12BC=12×9=92，
∴MG=12CG=94，
∴HN=94．
∴线段HN长度的最小值是94．
故答案为：94．
取BC的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质和旋转可以证明△MBG≌△NBH，可得MG=NH，根据垂线段最短，当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，由直角三角形的性质可求得线段HN长度的最小值．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
17.【答案】解：①∵(x+2)2=4，
∴x+2=± 4，即x+2=±2，
解得：x1=0，x2=−4；
②∵3+(x−1)3=−5，
∴(x−1)3=−8，
∴x−1=3−8，即x−1=−2，
则x=−1．
【解析】①开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
②移项、合并后再开立方，即可得出一个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了平方根和立方根的应用，关键是能根据平方根和立方根定义得出一元一次方程．
18.【答案】解：∵△ABC≌△DEF，AB=6，BC=11，∠ACB=30°，
∴∠ACB=∠DFE=30°，AB=DE=6，EF=BC=11，
∴BC−CF=EF−CF，
即BF=CE，
∵BF=3，
∴CE=3．
【解析】根据全等三角形的性质求解即可．
此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
19.【答案】解：∵AB的垂直平分线交AC于点E，BC的垂直平分线交AC于点G，
∴EA=EB，GB=GC，
∵∠ABC=110°，
∴∠A+∠C=70°，
∵EA=EB，GB=GC，
∴∠ABE=∠A，∠GBC=∠C，
∴∠ABE+∠GBC=70°，
∴∠EBG=110°−70°=40°，
在四边形BDHF中，∵∠ABC=110°、∠HDB=∠HFB=90°，
∴∠DHF=360°−∠ABC−∠HDB−∠HFB=70°．
【解析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，GB=GC，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和解答即可．
本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
20.【答案】解：(1)如图所示：△A′B′C′即为所求；
(2)如图所示：点P即为所求，
PB+PC=CB′= 22+32= 13．
【解析】(1)直接利用关于直线对称的性质得出对应点位置进而得出答案；
(2)利用轴对称求最短路线的性质得出P点位置，进而利用勾股定理得出答案．
此题主要考查了轴对称变换以及勾股定理，正确得出P点位置是解题关键．
21.【答案】证明：(1)∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∵AB=ABAC=BD，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)，
∴BC=AD;
(2)∵Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴∠CAB=∠DBA，
∴OA=OB，
∴△OAB是等腰三角形．
【解析】(1)根据AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC与△BAD是直角三角形，再根据AC=BD，AB=BA，得出Rt△ABC≌Rt△BAD，即可证出BC=AD，
(2)根据Rt△ABC≌Rt△BAD，得出∠CAB=∠DBA，从而证出OA=OB，△OAB是等腰三角形．
本题考查了全等三角形的判定及性质；用到的知识点是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定等，全等三角形的判定是重点，本题是道基础题，是对全等三角形的判定的训练．
22.【答案】解：(1)∵在Rt△ABC中、∠C=90°，
∴AB= AC2+BC2= 62+82=10，
∴AP=4t，BP=10−4t，
PQ=BP⋅tanB=BP⋅ACBC=(10−4t)×68=152−3t；
(2)当点Q与点C重合时，如图1所示：
∵csA=APAC=4t6，csA=ACAB=610=35，
∴4t6=35，
∴t=910(s)；
(3)当0BN=AB−AP−PN=10−4t−152+3t=52−t，
∵tanB=NHBN=ACBC，
∴NH=AC⋅BNBC=6×(52−t)8=34(52−t)，
csB=BNBH=BCAB，
∴BH=BN⋅ABBC=(52−t)×108=54(52−t)，
∴CH=BC−BH=8−54(52−t)，
∵tanA=PDAP=BCAC，
∴PD=AP⋅BCAC=4t×86=163t，
∵csA=APAD=ACAB，
∴AD=AP⋅ABAC=4t×106=203t，
∴CD=AC−AD=6−203t，
∴l=PN+NH+CH+CD=152−3t+34(52−t)+8−54(52−t)+6−203t=−236t+814；
当910如图3所示：
同理：NH=34(52−t)，BH=54(52−t)，BQ=54(10−4t)，
∴HQ=BQ−BH=54(10−4t)−54(52−t)，
∴l=2PQ+NH+HQ=2(152−3t)+34(52−t)+54(10−4t)−54(52−t)=−212t+1054；
(4)①当C′与C重合时，PC′⊥AB，如图4所示：
由(2)得：t=910s；
②当PC′⊥AC时，如图5所示：则PC′//BC，
连接C′E，
∵点C关于直线QM的对称点C′，
∴CC′⊥MQ，CE=C′E，
∴CC′//PQ，
∴四边形CC′PQ是平行四边形，
∴CQ=C′P，CC′=PQ=152−3t，
由(3)得：BQ=54(10−4t)，
∴C′P=CQ=8−54(10−4t)=−92+5t，
∵PD/​/BC，
∴APAB=PDBC=ADAC，即4t10=PD8=AD6，
∴PD=165t，AD=125t，
∴C′D=PD−C′P=165t−(−92+5t)=92−95t，
∵MQ/​/AB，
∴CQBC=CEAC，即−92+5t8=CE6，
∴CE=−278+154t=C′E，
∴DE=AC−AD−CE=6−125t−(−278+154t)=758−12320t，
∵C′D2+DE2=C′E2，即(92−95t)2+(758−12320t)2=(−278+154t)2
整理得：27t2−5315t+3874=0，
解得：t1=4330(s)，t2=52(s)(不合题意舍去)；
③当C′落在AB上时，PC′与AB重合，如图6所示：
∵点C关于直线QM的对称点C′，
∴OC=OC′，
∵四边形PQMN是正方形，
∴MQ//AB，
∴AD=CD=12AC=3，
∴DQ是△CAB的中位线，
∴CQ=BQ=12BC=4，
由(3)得：BQ=54(10−4t)，
∴54(10−4t)=4，
∴t=1710(s)，
综上所述，当PC′与△ABC的边垂直或重合时，t的值为910s或4330s或1710s.
【解析】(1)由勾股定理得出AB= AC2+BC2=10，由三角函数定义即可得出答案；
(2)由三角函数定义即可得出答案；
(3)分情况讨论，当0(4)分三种情况①当C′与C重合时，PC′⊥AB，由(2)得t=910s；
②当PC′⊥AC时，当PC′⊥AC时，则PC′//BC，连接C′E，易证四边形CC′PQ是平行四边形，得出CQ=C′P，CC′=PQ=152−3t，求出C′P=CQ=−92+5t，PD=165t，AD=125t，得出C′D=PD−C′P=92−95t，再求出CE=−278+154t=C′E，得出DE=AC−AD−CE=758−12320t，由C′D2+DE2=C′E2，列出方程求解即可；
③当C′落在AB上时，PC′与AB重合，证出DQ是△CAB的中位线，得出CQ=BQ=12BC=4，由(3)得BQ=54(10−4t)，得出54(10−4t)=4，求出t=1710s.
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、对称的性质、三角形中位线定理、三角函数定义等知识；本题综合性强，熟练掌握三角函数定义、对称的性质是解题的关键．
23.【答案】(1)①解：因为BA=BC，∠ABC=90°，
所以∠ACB=∠CAB=45°，
因为∠CBD=45°，
所以∠ACB=∠CBD，
所以AC/​/BD，
所以∠CAD=∠D，
因为BD=BC=BA，
所以∠D=∠BAD，
所以∠CAD=∠BAD=12∠CAB=22.5°，
因为CG⊥AD，
所以∠CFD=90°，
所以∠ACF=90°−22.5°=67.5°，
所以∠BCG=∠ACF−∠ACB=22.5°；
②证明：延长CG，AB交于T，如图：
因为∠ABE=∠CBT=90°，AB=BC，∠BAE=∠BCT=22.5°，
在△ABE和△CBT中
∠ABE=∠CBTAB=CB∠BAE=∠BCT
所以△ABE≌△CBT(ASA)，
所以BE=BT，∠AEB=∠T，
因为∠BAE=22.5°，
所以∠AEB=90°−∠BAE=67.5°=∠T，
因为∠EBG=∠TBG=45°，
所以∠TGB=180°−∠T−∠TBG=67.5°，
所以∠T=∠TGB，
所以BT=BG，
所以BE=BT=BG，
因为BC=BD，
所以BC−BE=BD−BG，即CE=DG；
(2)解：连接CD，过点D作DH⊥BC于H，在DH上取一点J，使得EJ=DJ，设CF=a，如图：
因为CB=BD，∠CBD=60°，
所以△BCD是等边三角形，
因为AB=BC，∠ABC=90°，
所以∠ABD=90°+60°=150°，∠BAC=∠ACB=45°，
所以∠BAD=∠BDA=15°，
所以∠CAF=∠BAC−∠BAD=30°，
因为CG⊥AD，
所以∠CFA=90°，
所以AC=2CF=2a，
因为∠CDB=60°，∠BDA=15°，
所以∠FDC=∠FCD=45°，
所以FC=DF=a，DC=BC=BD= 2a，
因为DH⊥BC，
所以CH=BH= 22a，DH= 3CH= 62a，∠HDB=30°，
所以∠JDE=∠HDB−∠BDA=15°，
设EH=x，
因为JE=JD，
所以∠JED=∠JDE=15°，
所以∠EJH=∠JED+∠JDE=30°，
所以EJ=2EH=DJ=2x，HJ= 3x，DE= EH2+DH2= x2+( 3x+2x)2=( 6+ 2)x，
因为DH= 62a=HJ+DJ，
所以 3x+2x= 62a，
所以x=( 6−3 22)a，
所以DE=(3− 3)a，
因为AC−DE=6，
所以2a−(3− 3)a=6，
所以a=3( 3+1)，
所以CE=CH+EH= 22a+( 6−3 22)a=( 6− 2)a=( 6− 2)×3( 3+1)=6 2．
【解析】解析：
(1)①由BA=BC，∠ABC=90°，∠CBD=45°，可得AC/​/BD，即得∠CAD=∠D，而BD=BC=BA，故∠D=∠BAD，可得∠CAD=∠BAD=12∠CAB=22.5°，根据CG⊥AD，即得∠ACF=90°−22.5°=67.5°，从而∠BCG=∠ACF−∠ACB=22.5°；
②延长CG，AB交于T，由∠ABE=∠CBT=90°，AB=BC，∠BAE=∠BCT=22.5°，得△ABE≌△CBT(ASA)，有BE=BT，∠AEB=∠T，根据∠BAE=22.5°，得∠AEB=90°−∠BAE=67.5°=∠T，又∠EBG=∠TBG=45°，即得∠TGB=180°−∠T−∠TBG=67.5°=∠T，得BT=BG，故BE=BT=BG，即得CE=DG；
(2)连接CD，过点D作DH⊥BC于H，在DH上取一点J，使得EJ=DJ，设CF=a，由CB=BD，∠CBD=60°，知△BCD是等边三角形，而AB=BC，∠ABC=90°，可得∠BAD=∠BDA=15°，∠CAF=30°，根据CG⊥AD，有AC=2CF=2a，又∠FDC=∠FCD=45°，知FC=DF=a，DC=BC=BD= 2a，CH=BH= 22a，DH= 3CH= 62a，设EH=x，可得EJ=2EH=DJ=2x，HJ= 3x，DE=( 6+ 2)x，故 3x+2x= 62a，得x=( 6−3 22)a，DE=(3− 3)a，根据AC−DE=6，得a=3( 3+1)，从而CE=CH+EH=6 2．
分析：
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．