2023-2024学年河南省驻马店十中九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省驻马店十中九年级（上）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如果关于x的方程(m−3)xm2−7−x+3=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为( )
A. ±3B. 3C. −3D. 都不对
2.下列方程中，关于x的一元二次方程是( )
A. (x+1)2=2(x+1)B. 1x2+1x−2=0
C. ax2+bx+c=0D. x2+2x=x2−1
3.有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是( )
A. 12x(x+1)=45B. 12x(x−1)=45C. x(x−1)=45D. x(x+1)=45
4.抛物线y=2(x−3)2+1的顶点坐标是
( )
A. (3,1)B. (3,−1)C. (−3,1)D. (−3,−1)
5.一次函数y=ax+c(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
6.下列图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
7.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为．( )
A. 45°B. 50°C. 60°D. 75°
8.一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是( )
A. 0.5B. 1C. 2D. 4
9.下列事件中，必然发生的事件是( )
A. 明天会下雨B. 小明数学考试得99分
C. 今天是星期一，明天就是星期二D. 明年有370天
10.如图，过反比例函数y=kx(x>0)的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则k的值为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.已知关于x的方程x2−4x+a=0有两个相同的实数根，则a的值是______ ．
12.抛物线y=2x2−6x+10的顶点坐标是______ ．
13.抛物线的图象如图，则它的函数表达式是______ .当x ______ 时，y>0．
14.如图，将Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°，得到△AB′C′，连接BB′，若∠1=25°，则∠C的度数是______．
15.如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC= ______ (填度数)．
16.如图，半圆O的直径AB=2，弦CD/​/AB，∠COD=90°，则图中阴影部分的面积为______．
17.小燕抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为______．
18.一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为______ ．
19.反比例函数y=n−1x的图象在第二、四象限，则n的取值范围为______ ．
20.反比例函数y=kx的图象过点P(2,6)，那么k的值是______．
三、计算题：本大题共2小题，共8分。
21.解方程：x2+4x−1=0．
22.解方程：2(x−3)2=x2−9．
四、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
23.(本小题8分)
我市“利民快餐店”试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元(不含套餐成本).若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x(元)取整数，用y(元)表示该店日纯收入．(日纯收入=每天的销售额−套餐成本−每天固定支出)
(1)若每份套餐售价不超过10元．
①试写出y与x的函数关系式；
②若要使该店每天的纯收入不少于800元，则每份套餐的售价应不低于多少元？
(2)该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日纯收入．按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日纯收入为多少元？
24.(本小题6分)
△ABC在平面直角坐标系中的位置如图，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
(1)按要求作图：
①画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
②画出将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A2B2C2．
(2)回答下列问题：
①△A1B1C1中顶点A1坐标为______ ；
②若P(a,b)为△ABC边上一点，则按照(1)中①作图，点P对应的点P1的坐标为______ ．
25.(本小题12分)
如图，已知MN是⊙O的直径，直线PQ与⊙O相切于P点，NP平分∠MNQ．
(1)求证：NQ⊥PQ；
(2)若⊙O的半径R=2，NP=2 3，求NQ的长．
26.(本小题6分)
杭州某网站调查，2014年网民们最关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其它共五类．根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如下：

根据以上信息解答下列问题：
(1)请补全条形统计图并在图中标明相应数据；
(2)若杭州市约有900万人口，请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人？
(3)在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四人中随机抽取两人进行座谈，则抽取的两人恰好是甲和乙的概率为______ ．
27.(本小题8分)
如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A﹙−2，−5﹚C﹙5，n﹚，交y轴于点B，交x轴于点D．
(1)求反比例函数y=mx和一次函数y=kx+b的表达式；
(2)连接OA，OC.求△AOC的面积．
28.(本小题12分)
如图，已知抛物线y=−14x2−12x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；
(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得ΔACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵关于x的方程(m−3)xm2−7−x+3=0是关于x的一元二次方程，
∴m−3≠0m2−7=2，
即m≠3m=±3
解得m=−3，
故选：C．
根据一元二次方程的定义解答即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
利用一元二次方程的定义判断即可．
【解答】
解：下列方程中，关于x的一元二次方程是(x+1)2=2(x+1)，
故选：A．
3.【答案】B
【解析】解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
∴共比赛场数为12x(x−1)，
∴共比赛了45场，
∴12x(x−1)=45，
故选：B．
先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛12x(x−1)场，再根据题意列出方程为12x(x−1)=45．
此题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系．
4.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查二次函数的性质，解析式化为顶点式y=a(x−h)2+k，顶点坐标是(h,k)，对称轴是x=h.根据抛物线的解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】
解：由y=2(x−3)2+1，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(3,1)．
故选A．
5.【答案】B
【解析】解：A、一次函数y=ax+c与y轴交点应为(0,c)，二次函数y=ax2+bx+c与y轴交点也应为(0,c)，图象不符合，故本选项错误，不合题意；
B、由抛物线可知，a<0，由直线可知，a<0，且抛物线与直线与y轴的交点相同，故本选项正确，符合题意．
C、由抛物线可知，a<0，由直线可知，a>0，a的取值矛盾，故本选项错误，不合题意；
D、由抛物线可知，a>0，由直线可知，a<0，a的取值矛盾，故本选项错误，不合题意；
故选：B．
可先由一次函数y=ax+c图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致．
本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．
6.【答案】A
【解析】解：A、图形是中心对称图形，符合题意；
B、图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形不是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
根据中心对称图形的概念判断即可．
本题考查的是中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了圆周角定理及其应用的有关知识，设∠ADC=α，∠ABC=β，由题意可得α+β=180°α=12β，求出α，β即可解决问题．
【解答】
解：设∠ADC=α，∠ABC=β；
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠AOC=∠ABC=β；
∵∠ADC=12∠AOC=12β，∠ADC=α；而α+β=180°，
∴α+β=180°α=12β，
解得{α=60∘β=120∘,
∴∠ADC=60°．
故选C．
8.【答案】B
【解析】解：设半径为r，过O作OE⊥AB交AB于点D，连接OA、OB，
则AD=12AB=12×0.8=0.4米，
设OA=r，则OD=r−DE=r−0.2，
在Rt△OAD中，
OA2=AD2+OD2，即r2=0.42+(r−0.2)2，解得r=0.5米，
故此输水管道的直径=2r=2×0.5=1米．
故选：B．
根据题意知，已知弦长和弓形高，求半径(直径).根据垂径定理和勾股定理求解．
本题考查的是垂径定理，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．
9.【答案】C
【解析】解：A、B、D选项为不确定事件，即随机事件，故错误；
一定发生的事件只有第三个答案C、今天是星期一，明天就是星期二．
故选C．
必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
关键是理解必然事件就是一定发生的事件；解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．
10.【答案】C
【解析】解：∵点A是反比例函数y=kx图象上一点，且AB⊥x轴于点B，
∴S△AOB=12|k|=2，
解得：k=±4．
∵反比例函数在第一象限有图象，
∴k=4．
故选：C．
根据点A在反比例函数图象上结合反比例函数系数k的几何意义，即可得出关于k的含绝对值符号的一元一次方程，解方程求出k值，再结合反比例函数在第一象限内有图象即可确定k值．
本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是找出关于k的含绝对值符号的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数系数k的几何意义找出关于k的含绝对值符号的一元一次方程是关键．
11.【答案】4
【解析】解：由题意得：△=0，
则：(−4)2−4×1×a=0，
解得：a=4，
故答案为：4．
若一元二次方程有两个相等实数根，则根的判别式△=b2−4ac=0，建立关于a的方程，求出a的值．
此题主要考查了利用一元二次方程根的判别式(△=b2−4ac)判断方程的根的情况．关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；
(3)△<0⇔方程没有实数根．
12.【答案】(32,112)
【解析】解：∵y=2x2−6x+10=2(x−32)2+112，
∴顶点坐标为(32,112).
故本题答案为：(32,112).
用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，直接写出顶点坐标．
本题考查了抛物线解析式的变形及性质．顶点式y=a(x−h)2+k，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下；顶点坐标为(h,k)，对称轴为x=h．
13.【答案】y=x2−4x+3；<1，或x>3
【解析】解：观察可知抛物线的图象经过(1,0)，(3,0)，(0,3)，
由“交点式”，设抛物线解析式为y=a(x−1)(x−3)，
将(0,3)代入，
3=a(0−1)(0−3)，
解得a=1．
故函数表达式为y=x2−4x+3．
由图可知当x<1，或x>3时，y>0．
故答案为：y=x2−4x+3；<1，或x>3．
观察可知抛物线的图象经过(1,0)，(3,0)，(0,3)，可设交点式用待定系数法得到二次函数的解析式．
y>0时，求x的取值范围，即求抛物线落在x轴上方时所对应的x的值．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
14.【答案】70°
【解析】【解答】
解：∵Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，
∴AB=AB′，
∴△ABB′是等腰直角三角形，
∴∠ABB′=45°，
∴∠AC′B′=∠1+∠ABB′=25°+45°=70°，
由旋转的性质得∠C=∠AC′B′=70°．
故答案为：70°．
【分析】
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
根据旋转的性质可得AB=AB′，然后判断出△ABB′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠ABB′=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AC′B′，然后根据旋转的性质可得∠C=∠AC′B′．
15.【答案】130°
【解析】解：∵∠BAC=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−80°=100°，
∵点O是△ABC的内切圆的圆心，
∴BO，CO分别为∠ABC，∠BCA的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB=50°，
∴∠BOC=130°．
故答案为：130°．
运用三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB的度数，再根据点O是△ABC的内切圆的圆心，得出∠OBC+∠OCB=50°，从而得出答案．
本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的内切圆与内心等知识点的理解和掌握，能求出∠OBC+∠OCB的度数是解此题的关键．
16.【答案】π4
【解析】解：∵弦CD/​/AB，
∴S△ACD=S△OCD，
∴S阴影=S扇形COD=90°360∘×π×(22)2=π4．
故答案为：π4．
由CD/​/AB可知，点A、O到直线CD的距离相等，结合同底等高的三角形面积相等即可得出S△ACD=S△OCD，进而得出S阴影=S扇形COD，根据扇形的面积公式即可得出结论．
本题考查了扇形面积的计算以及平行线的性质，解题的关键是找出S阴影=S扇形COD，属于基础题．
17.【答案】12
【解析】解：∵抛硬币正反出现的概率是相同的，不论抛多少次出现正面或反面的概率是一致的，
∴正面向上的概率为12．
故答案为：12．
求出一次抛一枚硬币正面朝上的概率即可．
本题考查的是概率的意义，注意抛硬币只有两种情况，每次抛出的概率都是一致的，与次数无关．
18.【答案】13
【解析】解：∵一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，
∴从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为：23+2+1=13．
故答案为：13．
由一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，直接利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】n<1
【解析】解：由题意得，反比例函数y=n−1x的图象在二、四象限内，
则n−1<0，
解得n<1．
故答案为n<1．
由于反比例函数y=n−1x的图象在二、四象限内，则n−1<0，解得n的取值范围即可．
本题考查了反比例函数的性质，重点是注意y=kx(k≠0)中k的取值，①当k>0时，反比例函数的图象位于一、三象限；②当k<0时，反比例函数的图象位于二、四象限．
20.【答案】12
【解析】解：∵反比例函数y=kx的图象过点P(2,6)，
∴k=2×6=12，
故答案为：12．
根据反比例函数图象上点的坐标特征：图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k即可算出k的值．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
21.【答案】解：∵x2+4x−1=0，
∴x2+4x=1，
∴x2+4x+4=1+4，
∴(x+2)2=5，
∴x+2=± 5，
∴x=−2± 5，
∴x1=−2+ 5，x2=−2− 5．
【解析】本题主要考查用配方法解一元二次方程．
首先进行移项，得到x2+4x=1，方程左右两边同时加上4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解．
22.【答案】解：方程变形得：2(x−3)2−(x+3)(x−3)=0，
分解因式得：(x−3)(2x−6−x−3)=0，
解得：x1=3，x2=9．
【解析】方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．
23.【答案】解：(1)①y=400(x−5)−600．
②依题意得：400(x−5)−600≥800，解得：x≥8.5，
∵5∴每份套餐的售价应不低于9元．
(2)当5日净收入最大为y=400×10−2600=1400 (元)
当x>10时，y=(x−5)⋅[400−(x−10)×40]−600=−40(x−12.5)2+1650，
又∵x只能为整数，∴当x=12或13时，日销售利润最大，
但为了吸引顾客，提高销量，取x=12，
此时的日利润为：−40(12−12.5)2+1650=1640元；
答：每份套餐的售价为12元时，日纯收入为1640元．
【解析】(1)①利用每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元(不含套餐成本)，以及每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份得出等式求出即可；
②由题意得400(x−5)−600≥800，解出x的取值范围即可．
(2)由题意可得y与x的函数关系式，由二次函数的性质即可得到每份套餐的售价应定为多少元，并且此时日纯收入的钱数可计算得出．
本题考查的是一次函数的实际应用和二次函数的应用以及分段函数的有关知识，解题的关键是根据题目中的等量关系列出函数关系．
24.【答案】(2,−4)；(−a,−b)
【解析】解：(1)如图所示：
(2)①根据图形可得A1坐标为(2,−4)；
②点P1的坐标为(−a,−b)．
故答案为：(−2,−4)；(−a,−b)．
(1)首先找出对应点的位置，再顺次连接即可；
(2)①根据图形可直接写出坐标；②根据关于原点对称点的坐标特点可得答案．
此题主要考查了作图，旋转变换，关键是正确找出对应点的位置．
25.【答案】(1)证明：连结OP，如图，
∴直线PQ与⊙O相切，
∴OP⊥PQ，
∵OP=ON，
∴∠ONP=∠OPN，
∵NP平分∠MNQ，
∴∠ONP=∠QNP，
∴∠OPN=∠QNP，
∴OP//NQ，
∴NQ⊥PQ；
(2)解：连结PM，如图，
∵MN是⊙O的直径，
∴∠MPN=90°，
∵NQ⊥PQ，
∴∠PQN=90°，
而∠MNP=∠QNP，
∴Rt△NMP∽Rt△NPQ，
∴NPNQ=MNNP，即2 3NQ=42 3，
∴NQ=3．
【解析】(1)连结OP，根据切线的性质由直线PQ与⊙O相切得OP⊥PQ，再由OP=ON得到∠ONP=∠OPN，由NP平分∠MNQ得到∠ONP=∠QNP，利用等量代换得∠OPN=∠QNP，根据平行线的判定得OP//NQ，所以NQ⊥PQ；
(2)连结PM，根据圆周角定理由MN是⊙O的直径得到∠MPN=90°，易证得Rt△NMP∽Rt△NPQ，然后利用相似比可计算出NQ的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
26.【答案】16
【解析】解：(1)调查的总人数是：420÷30%=1400(人)，
关注教育的人数是：1400×25%=350(人)．
；
(2)900×10%=90万人；
(3)画树形图得：
则P(抽取的两人恰好是甲和乙)=212=16．
故答案为：16．
(1)根据关注消费的人数是420人，所占的比例式是30%，即可求得总人数，然后利用总人数乘以关注教育的比例求得关注教育的人数；
(2)利用总人数乘以对应的百分比即可；
(3)利用列举法即可求解即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
27.【答案】解：(1)把A(−2,−5)代入y=mx得：−5=m−2，
解得：m=10，
则反比例函数的解析式是：y=10x，
把x=5代入，得：y=105=2，
则C的坐标是(5,2)．
根据题意得：−2k+b=−55k+b=2，
解得：k=1b=−3，
则一次函数的解析式是：y=x−3．
(2)在y=x−3中，令x=0，解得：y=−3．
则B的坐标是(0,−3)．
∴OB=3，
∵点A的横坐标是−2，C的横坐标是5．
∴S△AOC=S△AOB+S△BOC=12OB×2×5+12×OB×5=12×3×7=212．
【解析】(1)把A(−2,−5)代入y=mx求得m的值，然后求得C的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式；
(2)首先求得C的坐标，根据S△AOC=S△AOB+S△BOC即可求解．
本题综合考查一次函数与反比例函数的图象与性质，利用反比例函数和一次函数的知识求三角形的面积，体现了数形结合的思想．
28.【答案】解：(1)令y=0得−14x2−12x+2=0，
∴x2+2x−8=0，
x=−4或2，
∴点A坐标(2,0)，点B坐标(−4,0)，
令x=0，得y=2，∴点C坐标(0,2)．
(2)由图象①AB为平行四边形的边时，
∵AB=EF=6，对称轴x=−1，
∴点E的横坐标为−7或5，
∴点E坐标(−7,−274)或(5,−274)，此时点F(−1,−274)，
∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6×274=812．
②当点E在抛物线顶点时，点E(−1,94)，设对称轴与x轴交点为M，令EM与FM相等，则四边形AEBF是菱形，此时以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=12×6×92=272．
(3)如图所示，
①当C为等腰三角形的顶角的顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，
在Rt△CM1N中，CN= CM12−M1N2= 7，
∴点M1坐标(−1,2+ 7)，点M2坐标(−1,2− 7).
②当M3为等腰三角形的顶角的顶点时，∵直线AC解析式为y=−x+2，
∴线段AC的垂直平分线为y=x与对称轴的交点为M3(−1.−1)，
∴点M3坐标为(−1,−1)．
③当点A为等腰三角形的顶角的顶点的三角形不存在．
综上所述点M坐标为(−1,−1)或(−1,2+ 7)或(−1,2− 7).
【解析】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．
(1)分别令y=0，x=0，即可解决问题．
(2)由图象可知AB只能为平行四边形的边，分E点为抛物线上的普通点和顶点2种情况讨论，即可求出平行四边形的面积．
(3)分A、C、M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题．