2022-2023学年山东省济宁市兖州区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省济宁市兖州区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.01”.下列说法正确的是( )
A. 抽101次也可能没有抽到一等奖
B. 抽100次奖必有一次抽到一等奖
C. 抽一次不可能抽到一等奖
D. 抽了99次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖
3.如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点顺时针旋转一定角度所得，点A′与点A是对应点，则这个旋转的角度大小可能是( )
A. 45°
B. 60°
C. 90°
D. 135°
4.已知m是关于x的方程x2−2x−3=0的一个根，则2m2−4m的值为( )
A. −6B. 6C. 3D. −3
5.关于反比例函数y=−2x，下列说法正确的是( )
A. 图象过(1,2)点B. 图象在第一、三象限
C. 当x>0时，y随x的增大而减小D. 当x<0时，y随x的增大而增大
6.如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为6，则弧BC的长为( )
A. 2π
B. 3π
C. 4π
D. π
7.如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B=20°，则∠CAD的度数是( )
A. 60°
B. 65°
C. 70°
D. 75°
8.在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是( )
A. B. C. D.
9.如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为( )
A. 5
B. 6
C. 163
D. 173
10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：①4a+2b+c>0；②y随x的增大而增大；③方程ax2+bx+c=0两根之和小于零；④一次函数y=ax+bc的图象一定不过第二象限，其中正确的个数是( )
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.抛物线y=2(x−1)2−5的顶点坐标是______．
12.方程x2+2x+m=0有两个相等实数根，则m=______．
13.如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______．
14.如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形，EH=2EF，AD是△ABC的高，BC=8，AD=6，那么EH的长为______．
15.定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为 ．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
(1)计算：(−3)2×3−1+(−5+2)+|−2|；
(2)解方程：2(x+5)=3x(x+5)．
17.(本小题6分)
2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享．游戏规则如下：
甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，两口袋中的球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜．
请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
18.(本小题8分)
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．
(1)△ABC绕着点C顺时针旋转90°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
(2)求△ABC旋转到△A1B1C时，BB1的长．
19.(本小题8分)
已知AB为⊙O的直径，AB=6，C为⊙O上一点，连接CA，CB．
(Ⅰ)如图①，若C为AB的中点，求∠CAB的大小和AC的长；
(Ⅱ)如图②，若AC=2，OD为⊙O的半径，且OD⊥CB，垂足为E，过点D作⊙O的切线，与AC的延长线相交于点F，求FD的长．
20.(本小题9分)
已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=4x的图象相交于点A(1,m)，B(n,−2)．
(1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
(2)根据函数图象，直接写出不等式kx+b>4x的解集；
(3)若点C是点B关于y轴的对称点，连接AC，BC，求△ABC的面积．
21.(本小题8分)
倡导全民阅读，建设书香社会．
【调査】目前，某地纸媒体阅读率为40%，电子媒体阅读率为80%，综合媒体阅读率为90%．
【百度百科】某种媒体阅读率，指有某种媒体阅读行为人数占人口总数的百分比；综合阅读率，在纸媒体和电子体中，至少有一种阅读行为的人数占人口总数的百分比，它反映了一个国家或地区的阅读水平．
【问题解决】(1)求该地目前只有电子媒体阅读行为人数占人口总数的百分比；
(2)国家倡导全民阅读，建设书香社会．预计未来两个五年中，若该地每五年纸媒体阅读人数按百分数x减少，综合阅读人数按百分数x增加，这样十年后，只读电子媒体的人数比目前增加53%，求百分数x．
22.(本小题10分)
如图1，抛物线y=ax2+bx+c的顶点(0,5)，且过点(−3,114)，先求抛物线的解析式，再解决下列问题：
【应用】问题1，如图2，线段AB=d(定值)，将其弯折成互相垂直的两段AC、CB后，设A、B两点的距离为x，由A、B、C三点组成图形面积为S，且S与x的函数关系如图所示(抛物线y=ax2+bx+c上MN之间的部分，M在x轴上)：
(1)填空：线段AB的长度d= ______ ；弯折后A、B两点的距离x的取值范围是______ ；若S=3，则是否存在点C，将AB分成两段(填“能”或“不能”) ______ ；若面积S=1.5时，点C将线段AB分成两段的长分别是______ ；
(2)探究：在如图1中，以原点O为圆心，A、B两点的距离x为半径的⊙O；画出点C分AB所得两段AC与CB的函数图象(线段)；设圆心O到该函数图象的距离为h，求h的值，探究该函数图象与⊙O的位置关系．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后能与自身重合．
2.【答案】A
【解析】解：根据概率的意义可得“抽到一等奖的概率为0.01”就是说抽100次可能抽到一等奖，也可能没有抽到一等奖，抽一次也可能抽到一等奖，抽101次也可能没有抽到一等奖．
故选：A．
根据概率是频率(多个)的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现进行解答即可．
本题考查概率的意义，掌握概率是对事件发生可能性大小的量的表现是关键．
3.【答案】C
【解析】解：如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′
∠AOA′即为旋转角，
∴旋转角为90°
故选：C．
如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′，∠AOA′即为旋转角．
本题考查了旋转的性质，解题的关键是能够根据题意确定旋转中心的知识，难度不大．
4.【答案】B
【解析】解：∵m是关于x的方程x2−2x−3=0的一个根，
∴m2−2m−3=0，
∴m2−2m=3，
∴2m2−4m=2(m2−2m)=2×3=6．
故选：B．
利用一元二次方程根的定义得到m2−2m=3，再把2m2−4m变形为2(m2−2m)，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5.【答案】D
【解析】解：∵k=−2<0，所以函数图象位于二四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，图象是轴对称图象，故A、B、C错误．
故选：D．
反比例函数y=kx(k≠0)的图象k>0时位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；k<0时位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；在不同象限内，y随x的增大而增大，根据这个性质选择则可．
本题考查了反比例函数图象的性质：①、当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k>0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．注意反比例函数的图象应分在同一象限和不在同一象限两种情况分析．
6.【答案】A
【解析】解：∵ABCDEF为正六边形，
∴∠COB=360°×16=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=OC=BC=6，
弧BC的长为60π×6180=2π．
故选：A．
连接OC、OB，求出圆心角∠AOB的度数，再利用弧长公式解答即可；
本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是能够求得扇形的圆心角，难度不大．
7.【答案】C
【解析】解：连接BD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∵∠ABC=20°，
∴∠CBD=∠ABD−∠ABC=70°，
∴∠CAD=∠CBD=70°，
故选：C．
连接BD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABD=90°，从而可求出∠CBD的度数，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．
本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标．根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为(0,2)，二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象．
【解答】
解：∵由题意可得，一次函数与y轴的交点为(0,2)，二次函数的开口向上，
当a<0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；
当a>0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．
故选C．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键在于证明三角形相似．
证明△ABE∽△CDE，求得AE：CE，再根据三角形的面积关系求得结果．
【解答】
解：∵CD//AB，
∴△ABE∽△CDE，
∴AECE=ABCD=42=2，
∴S阴影=23S△ABC=23×12×4×4=163，
故选：C．
10.【答案】D
【解析】解：∵当x=2时，y=4a+2b+c，对应的y值为正，即4a+2b+c>0，故①正确；
∵因为抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，故②错误；
∵由二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可知：函数图象与x轴有两个不同的交点，即对应方程有两个不相等的实数根，且正根的绝对值较大，
∴方程ax2+bx+c=0两根之和大于零，故③错误；
∵由图象开口向上，知a>0，与y轴交于负半轴，知c<0，由对称轴−b2a>0，知b<0，
∴bc>0，
∴一次函数y=ax+bc的图象一定经过第二象限，故④错误；
综上，正确的个数为1个，
故选：D．
根据函数的图象可知x=2时，函数值的正负性；并且可知与x轴有两个交点，即对应方程有两个实数根；函数的增减性需要找到其对称轴才知具体情况；由函数的图象还可知b、c的正负性，一次函数y=ax+bc所经过的象限进而可知正确选项．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系以及一次函数的图象，利用了数形结合的思想，此类题涉及的知识面比较广，能正确观察图象是解本题的关键．
11.【答案】(1,−5)
【解析】解：抛物线y=2(x−1)2−5的顶点坐标是(1,−5)．
故答案为(1,−5)．
根据二次函数的顶点式即可求解．
本题考查了二次函数的性质，解决本题的关键是掌握二次函数的顶点式．
12.【答案】1
【解析】解：∵方程x2+2x+m=0有两个相等实数根，
∴△=b2−4ac=4−4m=0，
解之得：m=1．
若一元二次方程有两等根，则根的判别式△=b2−4ac=0，建立关于m的方程，求出m的取值．
总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；
(3)△<0⇔方程没有实数根．
13.【答案】49
【解析】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为4个小正方形的面积，
∴小球停在阴影部分的概率是49，
故答案为：49．
根据几何概率的求法：小球落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件(A)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率．
14.【答案】245
【解析】解：设AD交EH于点R，
∵矩形EFGH的边FG在BC上，
∴EH/​/BC，∠EFC=90°，
∴△AEH∽△ABC，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ARE=∠ADB=90°，
∴AR⊥EH，
∴ARAD=EHBC，
∵EF⊥BC，RD⊥BC，EH=2EF，
∴RD=EF=12EH，
∵BC=8，AD=6，AR=6−12EH，
∴6−12EH6=EH8，
解得EH=245，
∴EH的长为245，
故答案为：245．
设AD交EH于点R，由矩形EFGH的边FG在BC上证明EH/​/BC，∠EFC=90°，则△AEH∽△ABC，得ARAD=EHBC，其中BC=8，AD=6，AR=6−12EH，可以列出方程6−12EH6=EH8，解方程求出EH的值即可．
此题重点考查矩形的性质、两条平行线之间的距离处处相等、相似三角形的判定与性质等知识，根据“相似三角形对应高的比等于相似比”列方程是解题的关键．
15.【答案】2− 2
【解析】【分析】
本题考查三角形的内心、直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算，掌握三角形的内心、直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算方法是正确解答的前提，画出符合题意的图形是正确解答的关键．
根据题意画出相应的图形，利用三角形的内心、直角三角形的边角关系以及三角形的面积公式进行计算即可．
【解答】
解：如图，当⊙O过点C，且在等腰直角三角形ABC的三边上截得的弦相等，
∴圆心O为三角形的内心，
∴当⊙O过点C，即CG=CF=DE，此时⊙O最大，
过点O分别作弦CG、CF、DE的垂线，垂足分别为P、N、M，连接OC，OA，OB，
∵CG=CF=DE，
∴OP=OM=ON，
∵∠C=90°，AB=2，AC=BC，
∴AC=BC= 22×2= 2，
由S△AOC+S△BOC+S△AOB=S△ABC，
∴12AC⋅OP+12BC⋅ON+12AB⋅OM=S△ABC=12AC⋅BC，
设OM=x，则OP=ON=x，
∴ 2x+ 2x+2x= 2× 2，解得x= 2−1，
即OP=ON= 2−1，
在Rt△CON中，OC= 2ON=2− 2，
故答案为：2− 2．
16.【答案】解：(1)原式=9×13+(−3)+2
=3+(−3)+2
=2；
(2)移项、提公因式得：(3x−2)(x+5)=0，
所以3x−2=0或x+5=0，
解得x1=23,x=−5．
【解析】(1)先根据乘方法则，负指数幂法则，绝对值的性质分别化简，再计算加减法；
(2)根据因式分解法解一元二次方程．
此题考查了计算能力，正确掌握实数的混合运算法则及一元二次方程的解法是解题的关键．
17.【答案】解：所有可能的结果如下：
∴共有10种等可能的结果，其中两球编号之和为奇数的有5种结果，两球编号之和为偶数的有5种结果，
∴P(小冰获胜)=510=12，P(小雪获胜)=510=12，
∵P(小冰获胜)=P(小雪获胜)，
∴游戏对双方都公平．
【解析】先用列表法将所有可能发生的结果列出来，再分别求出小冰获胜和小雪获胜的概率，进行比较即可求解．
本题考查列表法，游戏公平性，解题的关键是正确列出所有可能的结果．
18.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)BB1的长为：90×π×3180=32π．
【解析】(1)依据△ABC绕着点C顺时针旋转90°，即可画出旋转后对应的△A1B1C1；
(2)依据弧长计算公式，即可得到BB1的长．
本题主要考查了作图−旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质及弧长计算公式．
19.【答案】解：(Ⅰ)∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵C为AB的中点，
∴AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∴AC=BC，
又∵AB=6，根据勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
∴AC=3 2；
(Ⅱ)∵DF是⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∴∠FDO=90°，
∵OD⊥BC，
∴∠DEC=90°，
∵AB是⊙O直径，
∴∠FCB=90°，
∴四边形FCED为矩形，
∴FD=EC，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，AB=6，
则BC= AB2−AC2=4 2，
∵OD⊥BC，
∴EC=12BC=2 2，
∴FD=2 2．
【解析】(Ⅰ)根据圆周角定理得到∠ACB=90°，∠CAB=∠CBA，进而求出∠CAB，根据余弦的定义求出AC；
(Ⅱ)根据切线的性质得到OD⊥DF，证明四边形FCED为矩形，根据矩形的性质得到FD=EC，根据勾股定理求出BC，根据垂径定理解答即可．
本题考查的切线的性质、垂径定理、矩形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵反比例函数y=4x的图象过点A(1,m)，B(n,−2)，
∴4m=1，n=4−2，
解得m=4，n=−2，
∴A(1,4)，B(−2,−2)，
∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过A点和B点，
∴k+b=4−2k+b=−2，
解得k=2b=2，
∴一次函数的表达式为y=2x+2，
描点作图如下：

(2)由(1)中的图象可得，
不等式kx+b>4x的解集为：−21；
(3)由题意作图如下：

由图知△ABC中BC边上的高为6，BC=4，
∴S△ABC=12×4×6=12．
【解析】(1)根据反比例函数解析式求出A点和B点的坐标，然后用待定系数法求出一次函数的表达式即可；
(2)根据图象直接得出不等式的解集即可；
(3)根据对称求出C点坐标，根据A点、B点和C点坐标确定三角形的底和高，进而求出三角形的面积即可．
本题主要考查反比例函数和一次函数交点的问题，熟练掌握反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，三角形面积公式等知识是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设某地人数为a，既有传统媒体阅读又有数字媒体阅读的人数为y，
则传统媒体阅读人数为0.8a，数字媒体阅读人数为0.4a.依题意得：
0.8a+0.4a−y=0.9a，
解得y=0.3a，
∴传统媒体阅读又有数字媒体阅读的人数占总人口总数的百分比为30%．
则该社区有电子媒体阅读行为人数占人口总数的百分比为=80%−30%=50%．
(2)依题意得：0.9a(1+x)2+0.4a(1−x)2=0.5a(1+0.53)，整理得：5x2+26x−2.65=0，
解得：x1=0.1=10%，x2=−5.3(舍去)，
答：x为10%．
【解析】(1)根据题意，利用某地传统媒体阅读率为80%，数字媒体阅读率为40%，而综合阅读率为90%，得出等式求出答案；
(2)根据综合阅读人数−纸媒体阅读人数=只读电子媒体的人数，结合该地每五年纸媒体阅读人数按百分数x减少，综合阅读人数按百分数x增加列出方程即可求出答案．
此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键．
22.【答案】2 5 0【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点(0,5)，
∴y=ax2+5，
将点(−3,114)代入，得114=a×(−3)2+5，
∴a=−14，
∴抛物线的解析式为：y=−14x2+5；
(1)∵S与x的函数关系如图所示(抛物线y=ax2+bx+c上MN之间的部分，M在x轴上)，
在y=−14x2+5，当y=0时，x1=2 5，x2=−2 5，
∴M(2 5,0)，即当x=2 5时，S=0，
∴d的值为2 5；
∴弯折后A、B两点的距离x的取值范围是0当S=3时，设AC=a，则BC=2 5−a，
∴12a(2 5−a)=3，
整理，得a2−2 5a+6=0，
∵Δ=b2−4ac=−4<0，
∴方程无实数根；
当S=1.5时，
设AC=a，则BC=2 5−a，
∴12a(2 5−a)=1.5，
整理，得a2−2 5a+3=0，
解得a1= 5+ 2，a2= 5− 2，
∴当a= 5+ 2时，2 5−a= 5− 2，
当a= 5− 2时，2 5−a= 5+ 2，
∴若面积S=1.5时，点C将线段AB分成两段的长分别是 5+ 2和 5− 2；
故答案为：2 5，0(2)设AC=y，CB=x，则y=−x+2 5，
如图所示的线段PM，则P(0,2 5)，M(2 5,0)，
∴△OPM为等腰直角三角形，
∴PM= 2OP=2 10，
过点O作OH⊥PM于点H，
则h=OH=12PM= 10，
∴当0当x= 10时，AC与CB的函数图象(线段PM)与⊙O相切；
当 10(1)先求出抛物线的解析式，由抛物线的解析式先求出点M的坐标，由二次函数的图象及性质即可判断d的值，可由d的值判断出x的取值范围，分别将S=3和1.5代入抛物线解析式，即可求出点C将线段AB分成两段的长；
(2)设AC=y，CB=x，则y=−x+2 5，可直接写出点C分AB所得两段AC与CB的函数解析式，并画出图象，过点O作OH⊥PM于点H，即可确定h的长；分情况可讨论出AC与CB的函数图象(线段PM)与⊙O的位置关系．
本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，直线与圆的位置关系等，解题关键是熟练掌握二次函数的图象及性质并能灵活运用．