黑龙江省哈尔滨市道里区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份黑龙江省哈尔滨市道里区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．一种细菌的半径是厘米，用科学记数法表示为( )厘米．
A．B．C．D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列所给的汽车标志中，不是轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
4．下列选项中的代数式，是分式的为（ ）.
A．B．C．D．
5．点关于x轴对称的点的坐标是( )．
A．B．C．D．
6．已知，，m，n为正整数，则为（ ）.
A．B．C．D．
7．若是一个完全平方式，则常数的值为( )．
A．B．4C．D．2
8．下列选项中的式子，是最简二次根式的是（ ）.
A．B．C．D．
9．点A，B的坐标分别为，，点P在x轴上，的值最小时，点P的坐标为( )．
A．B．C．D．
10．如图，，，点A在上，，的平分线交于M，交于P，连接交于点N，以下四个结论：①；②；③四边形的面积是面积的一半；④．一定正确的有（ ）个．

A．1B．2C．3D．4
二、填空题（每题3分，共30分）
11．若有意义，则实数x的范围是 ．
12．分式有意义，则字母m满足的条件是 ．
13．计算的结果是 .
14．把多项式分解因式的结果是 ．
15．上午8时，一条船从海岛A出发，以20海里/时的速度向正北航行，当日10时到达海岛B处，从A望灯塔C在北偏西方向，从B望灯塔C在北偏西方向，则海岛B到灯塔C的距离为 海里．
16．观察下列算式：①；②；③；把这个规律用含字母的式子表示为 ．
17．如图，点D在的边上，，，则为 度．
18．1261年，我国南宋数学家杨辉用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律，我们把这个三角形称为“杨辉三角形”，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为 .
19．已知，当分别取，，，……，时，所对应值的总和是 .
20．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“方差优数”，例如，12就是一个“方差优数”，可以利用进行研究，若将“方差优数”从小到大排列，则第10个“方差优数”是 ．
三、解答题（60分）
21．（1）计算；
（2）运用乘法公式计算．
22．计算
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6).
23．点D为的边上一点，连接，点E在外，连接，，，．
(1)如图1，若，请你判定的形状并证明；
(2)如图2，若，请你判定的形状并证明．
24．若关于的分式方程的解为正实数，求的取值范围.
25．在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了元预计今年的销量是去年的倍，今年销售额为万元已知去年的年销售额为万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？
26．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为.
古希腊的几何学家海伦（Hern，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名.在他的著作《度量》一书中，给出了公式和它的证明，这一公式称为海伦公式.
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式
.
(1)在中，，，，利用上面公式求的面积；
(2)求证：.
27．如图，点C为上一动点，以，为斜边在同侧作等腰直角三角形与等腰直角三角形，连接，点F在上，连接，．
(1)求证：点F为的中点；
(2)过点F作的垂线，点G为垂足，求的值；
(3)若，与的面积和为S，求S的最小值．
参考答案与解析
1．C
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
【详解】解：，
故选：C．
2．D
【分析】根据幂的乘方，负整数指数幂，同底数幂的除法，积的乘方运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：A、(a2)3=a6，故该选项不正确，不符合题意；
B、2a-2=，故该选项不正确，不符合题意；
C、 a6÷a2=a4，故该选项不正确，不符合题意；
D、(ab2)2=a2b4，故该选项正确，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了幂的乘方，负整数指数幂，同底数幂的除法，积的乘方，解题的关键是掌握相关知识并熟练计算．
3．B
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4．C
【分析】本题主要考查了分式，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．利用分式定义进行解答即可．
【详解】解：A. 是整式，故此选项不符合题意；
B. 是整式，故此选项不符合题意；
C. 是分式，故此选项符合题意；
D. 不是分式，故此选项不符合题意．
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”即可解答．
【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是．
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．
根据同底数幂的乘法运算法则即可得出答案．
【详解】解：，，m，n为正整数，
，
故选B．
7．A
【分析】本题考查完全平方公式的应用，根据完全平方公式的结构即可求得．
【详解】解：因为是一个完全平方式，
所以，
故选：A．
8．D
【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、不能再化简，是最简二次根式，故该选项符合题意；
故选：D．
9．C
【分析】考查最短路线问题，得到点A关于x轴的对称点的坐标，可得到直线的解析式，求得与x轴的交点即为所求点的坐标．
【详解】解：∵点，
∴点A关于x轴的对称点的坐标为，
设直线的解析式为
，
解得
∴
∴P的坐标为．
故选：C．
10．D
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角的判定和性质．利用证明，推出，，可证明①正确；延长交的延长线于点，证明，推出，，可证明②正确；连接，证明，推出，可证明③正确；连接，证明，推出，据此可证明④正确．
【详解】解：，
，
，
在和中
，
，
，，
，故①正确；
延长交的延长线于点，

∵，是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，故②正确；
连接，

∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，故④正确；
综上，四个结论都是正确的，
故选：D．
11．
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：
∴x．
故答案为：x．
12．##m不等于
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件可得，从而可得答案．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
13．
【分析】根据二次根式的性质先化简，再结合二次根式的加减运算即可求解．
【详解】解：
．
故答案为：．
14．
【分析】首先提公因式2，再利用平方差进行分解即可．
【详解】解：
=
=
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
15．40
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，三角形的外角性质，由三角形外角性质求出，根据等角对等边得出，根据题目的已知条件正确画出图形是解题的关键．
【详解】解：由题意可得：

（海里），
∵，，
∴，
∴，
∴（海里），
∴从海岛到灯塔的距离为40海里．
故答案为：40．
16．
【分析】根据：①1×3−22＝−1；②2×4−32＝−1；③3×5−42＝−1；…，可以把这个规律用含字母n（n为正整数）的式子表示出来，本题得以解决．
【详解】解：∵①1×3−22＝−1；
②2×4−32＝−1；
③3×5−42＝−1；
…，
∴把这个规律用含字母n（n为正整数）的式子表示出来是：n（n＋2）−（n＋1）2＝−1．
故答案为：n（n＋2）−（n＋1）2＝−1．
【点睛】本题主要考查了数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中式子中数字的变化规律．
17．
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，设．构建方程求出，可得结论．
【详解】解：设．
，
，
，
，
为外角，
，
∴
在中，
，
．
故答案为：108
18．
【分析】此题考查了数字变化规律，熟练掌握杨辉三角形的变化规律是解本题的关键．仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果．
【详解】解：根据题意得：展开后系数为：，，，，，系数和：；
展开后系数为：，，，，，，系数和：；
展开后系数为：，，，，，，，系数和：，
故答案为：．
19．
【分析】本题考查了二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方法是解题关键．先化简二次根式求出的表达式，再将的取值依次代入，然后求和即可得．
【详解】解：，
当时，，
当时，，
则所求的总和为：
故答案为：．
20．
【分析】本题考查因式分解的应用和新定义下方差优数的计算和分类，根据新定义，可以分别列出和的值，进而即可求解．
【详解】解：注意到，知，
∴．
当时，由产生的方差优数为：，……
当时，由产生的方差优数为：……
当时，由产产生的方差优数为：……
当时，由产生的方差优数为：，
当时，由产生的方差优数为：
当时，由．产生的方差优数为：
当时，由产生的方差优数为：
综上，将上述产生的方差优数从小到大排列如下：，
……
故第个方差优数是，
故答案为：．
21．（1）1，（2）
【分析】本题考查零指数幂，负整数指数幂，完全平方公式
（1）先算乘方，负整数指数幂，零指数幂，再算加减即可；
（2）运用完全平方公式计算即可．
【详解】解：（1）原式
（2）原式
22．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）本题考查整式的乘法，掌握运算法则即可解题．
（2）本题考查整式混合运算，会运用完全平方公式和平方差公式，即可解题．
（3）本题考查分式的除法和积的乘方，掌握运算法则即可解题．
（4）本题考查分式的混合运算和因式分解，掌握运算法则即可解题．
（5）本题考查二次根式的混合运算，掌握运算法则即可解题．
（6）本题考查二次根式的混合运算，掌握运算法则即可解题．
【详解】（1）解：．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：
．
（5）解：
．
（6）解：
．
【点睛】本题考查整式混合运算、完全平方公式、平方差公式、分式的混合运算、因式分解和二次根式的混合运算，正确掌握运算法则并灵活运用于计算中，是解题的关键．
23．(1)为等腰三角形
(2)为等边三角形
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质以及角平分线的判定等知识
（1）证，得，即可得出结论；
（2）过点作于点于点，证是等边三角形，得，再证，得，则平分，然后证，得，即可得出结论．
【详解】（1）解：（1）是等腰三角形，证明如下：
∵，
∴，
∵°，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：是等边三角形，证明如下：
如图2，过点作于点于点，
则，
∵，
∴是等边三角形，
∴
∴，
∵
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∵
∴平分，
∵，
∴，
，
∴
∵
∴
在和中，
，
∴
∴，
∵，
∴是等边三角形．
24．且
【分析】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法是解题的关键．利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：
方程两边同乘得，，
解得：，
且，
且
的取值范围是且．
25．去年黑木耳的年销量万斤
【分析】本题考查了分式方程的应用，设该村企去年黑木耳的年销量为万斤，则今年黑木耳的年销量为万斤，根据单价=总价÷数量结合今年每斤黑木耳的售价比去年增加了元，即可得出关于的分式方程得出结论．
【详解】解：设该村企去年黑木耳的年销量为万斤，则今年黑木耳的年销量为万斤，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：该村企去年黑木耳的年销量为万斤．
26．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了二次根式的应用，三角形面积的计算，熟练掌握海伦公式和秦九韵公式是解题的关键．
（1）根据海伦公式计算三角形的面积即可；
（2）根据海伦公式和秦九韵公式即可得到结果．
【详解】（1）解：，，，
，
的面积；
故答案为：；
（2）证明：，
．
27．(1)见详解
(2)
(3)18
【分析】本题是三角形的综合题，考查了等腰直角三角形的性质，平行线等分线段定理，三角形面积的计算，二次函数的性质
（1）根据等腰直角三角形的性质得到，求得，推出，求得，等量代换即可得到结论；
（2）过D作于，过作于N，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，根据平行线等分线段到了得到求得，于是得到结论；
（3）设，则，根据三角形的面积公式和二次函数的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵以为斜边在同侧作等腰直角三角形与等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∴
∴
∴点F为的中点；
（2）解：过D作于，过E作于，
∵和是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵
∴
∵，
∴
∴，
∴；
（3）解：∵
∴设则，
∵
∴，
∴
即
∴S的最小值为18．