吉林省长春市九台区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份吉林省长春市九台区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8道题，每题3分，共24分）
1．8的立方根是（ ）
A．2B．C．4D．
2．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
3．面积为的长方形一边长为另一边长为（ ）
A．B．C．D．
4．直角三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足+|b﹣4|＝0，则此三角形的第三长为（ ）
A．5B．25C．D．5或
5．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ）
A．B．C．D．
7．在中，根据下列尺规作图的痕迹，不能判断与大小关系的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，中，，将折叠，使点C与的中点D重合，折痕交于点M，交于点N，则线段的长为（ ）.

A．B．C．3D．
二、填空题（本大题共6道题，每题3分，共18分）
9．若，则的值为 ．
10．已知△ABC是等腰三角形．若∠A=40°，则△ABC的顶角度数是 ．
11．如图，点是的角平分线上一点，，垂足为点，且，点是射线上一动点，则的最小值为 ．
12．如图，在数轴上点 A 表示的实数是 ．

13．如图，在中，，，分别过点B，C作过点A的直线的垂线．若，，则 cm．
14．如图，已知圆柱底面的周长为6dm，圆柱高为4dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为
三、解答题（本大题共78分）
15．先化简，再求值：，其中
16．已知， ，求的值.
17．图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．均在格点上，按下列要求画图：
(1)在图①中，以格点为顶点，画以为底边的等腰；
(2)在图②中，以格点为顶点，画出以为腰的等腰；
(3)在图③中，以格点为顶点，画出以为腰的等腰，并且所画的与图②中所画的不全等．
18．阅读下列材料：
一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：
因式分解：am+bm+an+bn
＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）．
(1)利用分组分解法分解因式：
①3m﹣3y+am﹣ay；
②a2x+a2y+b2x+b2y．
(2)因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝ （直接写出结果）．
19．小聪、小明参加了100米跑的5期集训，每期集训结束时进行测试．根据他们集训时间、测试成绩绘制成如下两个统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)这5期的集训共有多少天？
(2)小明参加集训第___________期时成绩最好，此期集训的天数是___________天，最好成绩为___________秒；
(3)哪一期小聪的成绩比他上一期的成绩进步最多？进步了多少秒？
20．如图，点E在△ABC外部，点D在边BC上，DE交AC于点F，若，．
(1)求证：；
(2)若，，求∠E的度数．
21．党的十八大以来，各地积极推动城市绿化工作，大力拓展城市生态空间，让许多城市再现绿水青山、某小区物业在小区拐角清理出了一块空地进行绿化改造，如图，，．
(1)为了方便居民的生活，在绿化时将修一条从点A直通点C的小路，求小路的长度；
(2)若该空地的改造费用为每平方米150元，试计算改造这片空地共需花费多少元？
22．（1）如图1，已知：在中，，平分，平分，过点D作，分别交、于、两点，则图中共有 个等腰三角形；与、之间的数量关系是 ，的周长是 ．
（2）如图2，若将（1）中“中，”改为“”其余条件不变，则与、之间的数量关系？证明你的结论．
（3）已知：如图3，在外，，且平分，平分的外角，过点作分别交、于、两点，则与、之间又有何数量关系 ．
23．阅读下列材料：
我们把形如及的式子叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
例如：把二次三项式进行配方．
【直接应用】
（1）把二次三项式配方；
（2）代数式的最小值为___________；
【类比应用】
（1）已知（为任意实数），则与的大小关系是___________（填“”、“”或“”）
（2）当分别为的三边，且满足，判断此时的形状并说明理由．
24．如图，中，，点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点M个速度为，点N的速度为，当点M、N第一次相遇时，点M、N同时停止运动，设点M、N的运动时间为秒．

(1)当点M在上时，___________；当点M在上时，___________（用含t的代数式表示）．
(2)点N在上时，若为直角三角形，求t的值．
(3)连结，当的对称轴垂直平分线段时，直接写出t的值．
参考答案与解析
1．A
【分析】本题考查求一个数的立方根，正确理解立方根的定义是解题的关键．
根据可得答案．
【详解】解：，
8的立方根是2，
故选A．
2．B
【分析】根据幂的乘方的性质和同底数幂的乘法计算即可.
【详解】解：
=
=
故选B.
【点睛】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键.
3．A
【分析】根据整式的除法法则即可求解.
【详解】解：另一边长为()÷=
故选：A.
【点睛】此题主要考查整式的除法，解题的关键是熟知整式除法的运算法则.
4．D
【分析】先根据非负数的性质求出，然后分别讨论b为直角边和为斜边时，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵直角三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足+|b﹣4|＝0，
∴，
解得，
当a、b为直角三角形两直角边时，则由勾股定理可得第三边，
当b为直角三角形的斜边时，则由勾股定理可得第三边，
∴直角三角形第三边的长为5或，
故选D．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
5．D
【分析】根据等面积法列出等式，进而化简等式，结合勾股定理即可作出判断．
【详解】解：A．∵，
∴，
∴，故选项A能证明勾股定理，不符合题意；
B．∵，
∴，
∴，故选项B能证明勾股定理，不符合题意；
C．∵，
∴，
∴，故选项C能证明勾股定理，不符合题意；
D．是证明完全平方公式，不能证明勾股定理，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题是证明勾股定理，熟记基本图形的面积公式和完全平方公式，利用等面积法正确得出等量关系是解答的关键．
6．C
【分析】根据SSS，SAS，ASA逐一判定，其中SSA不一定符合要求．
【详解】A. ．根据SSS一定符合要求；
B. ．根据SAS一定符合要求；
C. ．不一定符合要求；
D. ．根据ASA一定符合要求．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定，解决问题的关键是熟练掌握判定三角形全等的SSS，SAS，ASA三个判定定理．
7．D
【分析】利用基本作图可直接对由A选项和B选项中和的长，再根据基本作图和线段垂直平分线的性质、三角形三边的关系，比较和的长，可判断C，不能比较和的长，可判断D．
【详解】解：A．由作图痕迹，在上截取线段等于，则，所以A选项不符合题意；
B．由作图痕迹，在上延长线上截取线段等于，则，所以B选项不符合题意；
C．由作图痕迹，作的垂直平分线，可知，根据三角形三边关系得，即，所以C选项不符合题意；
D．由作图痕迹，作的垂直平分线，仿照C，可知，不能说明和的大小，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
8．D
【分析】由折叠的性质可得DN=CN，根据勾股定理可求DN的长，即可得出结果．
【详解】解：∵D是AB中点，AB=4，
∴AD=BD=2，
∵将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，
∴DN=CN，
∴BN=BC-CN=6-DN，
在Rt△DBN中，DN2=BN2+DB2，
∴DN2=（6-DN）2+4，
∴DN=，
∴CN=DN=，
故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换、折叠的性质、勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
9．4
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用多项式乘以多项式运算法则计算，将关于x的一次项合并，进而得出的值．
【详解】解：解：，
，
．
故答案为：4．
10．40°或100°
【分析】分∠A为三角形顶角或底角两种情况讨论，即可求解．
【详解】解：当∠A为三角形顶角时，则△ABC的顶角度数是40°；
当∠A为三角形底角时，则△ABC的顶角度数是180°-40°-40°=100°；
故答案为：40°或100°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，此类题目，难点在于要分情况讨论．
11．3
【分析】根据垂线段最短可知当PM⊥OC时，PM最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案．
【详解】解：根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小，
当PM⊥OC时，
又∵OP平分∠AOC，，，
∴PM=PD=3
故答案为：3
【点睛】本题考查了垂线段最短、角平分线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．
12．
【分析】根据勾股定理求得的长度，即可得到的长度，根据点的位置即可得到点表示的数．
【详解】解：如图，

根据勾股定理得：，
，
点表示的实数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数与数轴，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
13．7
【分析】根据直角三角形的内角之间的关系，找出相等的角证明，进而求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵分别过点，作过点的直线的垂线，
∴与为直角三角形，
∴，
∵
∴,
∴，
在与中，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，一线三垂直模型，能够根据直角三角形内角之间的关系找出相等的角是解决本题的关键．
14．10dm
【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．
∵圆柱底面的周长为6dm，圆柱高为4dm，
∴AB＝4dm，BC＝BC′＝3dm，
∴AC2＝42+32＝25，
∴AC＝5dm，
∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝10dm．
故答案为：10dm
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”是解题的关键．
15．，
【分析】本题主要考查了整式的化简计算，熟练掌握平方差公式、完全平方公式，多项式乘多项式法则，是解题的关键．先根据平方差公式、完全平方公式，多项式乘多项式法则进行化简计算，然后代入求值即可．
【详解】解：
当时，原式
16．5.
【分析】根据幂的运算法则和平方差公式即可求出答案．
【详解】解：由题意可知，，
∴
∵
∴=5
故答案为5.
【点睛】本题考查幂的运算法则，解题的关键是熟练运用幂的运算法则和平方差公式，本题属于基础题型．
17．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质等知识．
（1）根据等腰三角形的定义作出图形即可；
（2）根据等腰三角形的定义作出图形即可；
（3）根据等腰三角形的定义以及题目要求作出图形即可．
【详解】（1）解：如图①中，即为所求：
（2）解：如图②中，即为所求：
（3）解：如图③中，即为所求．
18．(1)①（m−y）（3＋a）；②（x＋y）（a2＋b2）
(2)（a＋b＋1）（a＋b−1）
【分析】（1）①直接将前两项和后两项组合，提取公因式，进而分解因式即可；
②直接将前两项和后两项组合，提取公因式，进而分解因式即可；
（2）将前三项利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】（1）解：①原式＝（3m−3y）＋（am−ay）
＝3（m−y）＋a（m−y）
＝（m−y）（3＋a）；
②原式＝（a2x＋a2y）＋（b2x＋b2y）
＝a2（x＋y）＋b2（x＋y）
＝（x＋y）（a2＋b2）；
（2）a2＋2ab＋b2−1
＝（a＋b）2−1
＝（a＋b＋1）（a＋b−1）．
故答案为：（a＋b＋1）（a＋b−1）．
【点睛】此题主要考查了分组分解法以及提取公因式法、公式法分解因式，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键．
19．(1)55天
(2)四，14，11.53
(3)第三期，0.2秒
【分析】本题考查条形统计图、折线统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据图中的信息可知这5期的集训各有多少天，求出它们的和即可；
（2）根据条形统计图、折线统计图中的数据求解即可；
（3）由折线统计图可得第3期小聪的成绩比他上一期的成绩进步最多，进步时间可由折线统计图计算．
【详解】（1）（天）
答：这5期的集训共有55天．
（2）小明参加集训第四期时成绩最好，此期集训的天数是14天，
最好成绩为11.53秒；
（3）第三期，（秒）
答：第三期小聪的成绩比他上一期的成绩进步最多，进步了0.2秒．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）证，，再由证明即可；
（2）由全等三角形的性质得，再由三角形的外角性质得，即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）解：由（1）可知，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，熟练利用三角形外角的性质是解题的关键．
21．(1)小路的长度为15m
(2)改造这片空地共需花费17100元
【分析】本题考查勾股定理和勾股定理逆定理的实际应用．
（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）根据勾股定理逆定理，判断出为直角三角形，分割法求出四边形的面积，再乘以每平方米的改造费用即可．
熟练掌握勾股定理及其逆定理，是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
答：小路的长度为15m；
（2）∵，，
∴，
∴为直角三角形，
∴四边形的面积，
元；
答：改造这片空地共需花费17100元．
22．（1）5；；；（2），见解析；（3）
【分析】（1）根据等边对等角可得，根据角平分线的定义可得，，推得，根据等角对等边可得，根据平行线的性质可推得，，根据等角对等边可得，，，即可求解；
（2）根据角平分线的定义可得，，根据平行线的性质可得，，推得，，根据等角对等边可得，，即可证明；
（3）根据角平分线的定义可得，，根据平行线的性质可推得，，根据等角对等边可得，，即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，，，
∴，，
∴，，，
∴等腰三角形有，，，，共5个，
∴，
即，
的周长．
故答案为：5；；；
（2），理由如下：
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
即．
（3）如图：
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴， ，
∴，，
又∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，等边对等角，三角形综合题，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
23．直接应用：（1）；（2）2；类比应用：（1）；（2）直角三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，完全平方公式，勾股定理逆定理，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
直接应用：
（1）凑完全平方公式配方即可；
（2）凑完全平方公式配方即可得出答案；
类比应用：
（1）用作差法比较大小即可；
（2）先因式分解，判断字母a、b、c三边的关系，再判定三角形的形状．
【详解】解：直接应用：（1）
（2），
∵，
∴，
∴的最小值为2；
故答案为：2；
类比应用：
（1）
，
∵，
∴，
故答案为：；
（4）是直角三角形．
理由是：，
，
，
，
，
，即，
是直角三角形．
24．(1)；
(2)或5
(3)或或或
【分析】（1）分点M在上和点M在上两种情况求解即可；
（2）分点M是的中点和点N是的中点两种情况画图进行求解即可；
（3）分四种情况画出图形，列方程进行求解即可．
【详解】（1）解：当点M在上时，，当点M在上时，．
故答案为：，；
（2）解：由题意，点N的速度为，，
当时，点N落在上，此时点M也在上．
当点M是的中点时，如图1，
当点M是的中点时，
，
是等边三角形，
，
此时，满足题意，

当点N是的中点时，如图2，
，
此时，满足题意，

综上所述，满足条件的t的值为或5；
（3）解：如图3中，当线段的垂直平分线经过点A时，

，
则，
解得．
如图4中，当线段的垂直平分线经过点B时，

，，
，
，
解得．
如图5中，当线段的垂直平分线经过点C时，

，
，
解得．
如图6中，当线段的垂直平分线经过点A时，

，，
，
，
解得．
综上所述，满足条件的t的值为或或或．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，线段的垂直平分线的性质、一元一次方程的解法等知识，解题关键是学会用分类讨论思想思考问题，学会构建方程解决问题．