甘肃省定西市陇西县镇南九年制学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

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1．北京时间2023年10月26日顺利进驻空间站组合体以来，神舟十七号航天员乘组已在轨工作生活54天，为期6个月的飞天之旅已完成近三分之一，将于近日择机实施第一次出舱活动．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列事件为不可能事件的是（ ）
A．某射击运动员射击一次，射中靶心
B．掷一次骰子，向上一面的点数是3
C．找到一个三角形，其内角和是360°
D．经过城市中某一有交通信号灯的路口遇到红灯
3．用配方法解方程，配方后的方程是 ( )
A．B．C．D．
4．在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（ ）
A．图象顶点坐标为，对称轴为直线
B．当时，的值随值的增大而增大
C．的最小值为5
D．它的图象可以由的图象向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度得到
5．已知m是方程的一个根，则代数式的值等于（ ）
A．2024B．2022C．2023D．2021
6．二次函数的图象如图所示，当时自变量的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．
7．如图，A、B、C为圆O上的三点，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径为3米，则点C到弦所在直线的距离是（ ）

A．1米B．2米C．米D．米
9．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，现人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．设这批椽的数量为株，则下列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为．以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为．若叶片每秒绕点顺时针旋转，则第2023秒时叶片尖点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．若点B与点关于原点对称，则点B的坐标为 ．
12．已知一个正多边形的中心角为，边长为5，那么这个正多边形的周长等于 ．
13．抛物线的顶点在轴上，则 ．
14．如图，内接于，是的直径，点是上一点，，则 ．

15．如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点处离开水面，逆时针旋转上升至轮子上方处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从处（舀水）转动到处（倒水）所经过的路程是 米．（结果保留）

16．如图，在中，，点P从点A开始沿向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动．如果P，Q分别同时出发，当的面积最大时，运动时间t为 s．
三、解答题：本大题共6小题，满分32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解方程：
18．先化简，再求值：，其中．
19．关于的一元二次方程．
(1)若方程总有两个实数根，求的取值范围；
(2)在（1）的条件下，若两个实数根，满足，求的值．
20．如图，在中，．
(1)尺规作图：作的外接圆，圆心为O（保留作图痕迹）；
(2)求外接圆的半径．
21．2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕．小明和小亮相约一起去亚运会比赛现场为中国队加油，比赛现场的观赛区分为A、B、C、D四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．
(1)小明购买门票在A区观赛的概率为________；
(2)求小明和小亮在同一区域观看比赛的概率．（请用画树状图或列表说明理由）
22．如图，是的直径，C、D两点在上，若．
(1)求的度数；
(2)若，求的半径．
四、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
23．已知二次函数．
(1)在如图坐标系中画出这个二次函数的图象（注明与坐标轴的交点、顶点坐标及对称轴）；
(2)观察图象，若点是这条抛物线上的三个点，请用“”连接的大小关系 ；
(3)设抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，求的面积．
24．中国茶文化是中国传统文化的重要组成部分之一，代表了中国文化的精髓和卓越，具有丰富的文化内涵和深远的历史意义．某茶庄经销一种绿茶，每千克成本为50元，经市场调查发现：在一段时间内，销售量W（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y（元），解答下列问题：
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当绿茶的销售单价是多少时，该茶庄这种绿茶在这段时间内的销售利润最大?最大利润是多少?
25．如图所示，点O是等边内的任一点，连接，，，，，将绕点C按顺时针方向旋转得．

(1)求的度数；
(2)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
26．如图，在中，是直径，点是圆上一点，在的延长线上取一点，连接，使．求：
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，求扇形的面积
27．已知抛物线经过点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，求点的坐标；
(3)如图2，线段的垂直平分线交轴于点，垂足为为抛物线的顶点，点在直线上﹒
①求点坐标；
②当的周长最小时，请直接写出点的坐标．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查中心对称图形的识别，中心对称图形是指图形绕着某个点旋转180°能与原来的图形重合，据此即可求解．
【详解】解：只有选项B中图形能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转180度后和原图形完全重合，
故选：B.
2．C
【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此逐一判断即可得答案．
【详解】A．某射击运动员射击一次，命中靶心可能发生，也可能不发生，属于随机事件，不符合题意，
B．掷一次骰子，向上一面的点数是3可能发生，也可能不发生，属于随机事件，不符合题意；
C．找到一个三角形，其内角和为360°，是不可能发生的事件，符合题意，
D．经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握定义是解题关键．
3．B
【分析】根据配方法可以解答本题．
【详解】x2−4x＋1＝0，
（x−2）2−4＋1＝0，
（x−2）2＝3，
故选B．
【点睛】本题考查解一元二次方程−配方法，解答本题的关键是解一元二次方程的方法．
4．B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移是解题的关键．
根据二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移，对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：∵，
∴图象顶点坐标为，对称轴为直线，A正确，故不符合要求；
∵，
∴当时，的值随值的增大而减小，B错误，故符合要求；
的最小值为5，C正确，故不符合要求；
它的图象可以由的图象向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度得到，D正确，故不符合要求；
故选：B．
5．A
【分析】本题主要考查了代数式求值，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值得到，再把整体代入所求式子中求解即可．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
6．D
【分析】根据图象，写出函数图象在x轴下方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：由图可知，时，.
故选：D.
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，正确利用数形结合的思想求解 是解题关键．
7．D
【分析】本题主要考查了圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，先根据对边对等角和三角形内角和定理求出，再由圆周角定理可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．
8．C
【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用．连结交于D，由垂径定理得（米），再由勾股定理得（米），然后求出的长即可．
【详解】解：连接交于D，

由题意得：米，，
∴（米），，
由勾股定理得，（米），
∴米，
即点C到弦所在直线的距离是米，
故选：C．
9．C
【分析】先根据少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱可得一株椽的价钱为文，再根据总价钱等于一株椽的价钱乘以椽的数量建立方程即可．
【详解】解：由题意得：一株椽的价钱为文，
则可列方程为：．
故选：C．
【点睛】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．
10．B
【分析】本题考查了旋转的性质，点的坐标，根据旋转的性质分别求出第1、2、3、4s时，点A的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点A的对应点的坐标．
【详解】解：∵，
∴A在第一象限的角平分线上，
∵叶片每秒绕原点顺时针转动，
∴第1、2、3、的坐标为：，，，（与重合），
如图，
∴点A的坐标以每4秒为一个周期依次循环，
∵，
∴第时，点A的对应点的坐标与相同，为．
故选：B．
11．
【分析】本题主要考查关于原点对称的点的坐标公式，掌握平面直角坐标系中点关于原点对称的点的特点是解题的关键．根据性质解题即可．
【详解】解：根据题意，关于原点对称点的坐标的特点是横纵坐标变为原来点坐标的相反数，
∴点的坐标为．
故答案为：
12．40
【分析】利用正多边形的中心角求出正多边形的边数，最后根据正多边形的性质求出其周长．
【详解】解：一个正多边形的中心角为，
这个正多边形的边数为：，
这个正多边形的周长为：．
故答案为：40．
【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，解题的关键在于知道中心角与边长的关系．
13．±8
【分析】抛物线的顶点在x轴上时，抛物线与x轴的交点只有一个，因此根的判别式，可据此求出b的值．
【详解】解：∵抛物线的顶点在x轴上，
∴，
解得
故答案为：±8．
【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，解题的关键是了解当顶点在x轴上时，抛物线与x轴有唯一的公共点．
14．35
【分析】由同弧所对的圆周角相等，得再根据直径所对的圆周角为直角，得，然后由直角三角形的性质即可得出结果．
【详解】解：是所对的圆周角，
是的直径，
，
在中，，
故答案为: ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，以及直角三角形的性质，利用了转化的思想，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．
15．
【分析】把半径和圆心角代入弧长公式即可；
【详解】
故填：．
【点睛】本题考查弧长公式的应用，准确记忆公式，并正确代入公式是解题的关键．
16．2
【分析】求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数的绝对值是较小的整数时，用配方法较好．
本题考查二次函数最大(小)值的求法．先用含的代数式表示出、再根据三角形的面积公式计算．
【详解】解：根据题意得，
三角形面积为：
∴当时，的面积最大为，
故答案为：2．
17．
【分析】本题考查一元二次方程，利用配方法求解即可．
【详解】解：
解得：．
18．，
【分析】先将除法转化为乘法，因式分解，约分，分式的减法运算，再将字母的值代入求解即可．
【详解】
．
当时，
原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握因式分解是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解题关键是将熟练掌握一元二次方程的判别式与根的关系及两根之积与两根之和．
（1）由方程求出判别式即可．
（2）由一元二次方程根与系数的关系，用含代数式表示两根之和及两根之积，进而求解．
【详解】（1）解：，
∵方程总有两个实数根，
（2）由，
∵，
∴，
整理得，
解得或，
∵，
∴．
20．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）首先画出和的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，长为半径画圆即可；
（2）过A作，连接， 设的外接圆的半径，首先利用勾股定理计算出的长，然后再利用勾股定理计算出r即可．
【详解】（1）解：如下图，
画出和的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，长为半径画圆，即为所求；
（2）如上图，过A作，连接，
设的外接圆的半径，
，
，
，
，
解得：．
【点睛】此题考查了作图、圆、勾股定理，解题的关键是正确找出圆心和垂径定理的应用．
21．(1)
(2)
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）直接根据概率公式计算即可；
（2）画出树状图，用符合条件的情况数除以所有等可能发生的情况数即可．
【详解】（1）小明购买门票在A区观赛的概率为．
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小亮在同一区域观看比赛的结果有4种，
∴小明和小亮在同一区域观看比赛的概率为．
22．(1)
(2)的半径为5
【分析】本题考查了圆周角定理及推论，直角三角形性质，掌握圆周角定理及推论是解题的关键．
（1）根据圆周角定理可得、，然后根据角的和差即可解答；
（2）根据圆周角定理可得，然后根据直角三角形的性质可得，进而完成解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴；
（2）解：如图：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴的半径为5．
23．(1)见解析
(2)
(3)6
【分析】（1）令可求出抛物线与轴的交点坐标；令可求出抛物线与轴的交点坐标；化为顶点式可抛物线的顶点坐标；用五点法可画出函数图象；
（2）观察函数图象解答即可；
（3）根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）当时，，则抛物线与轴的交点坐标为；
当时，，解得，则抛物线与轴的交点坐标为；
当时，，解得，则抛物线过点，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
如图，
作法：1．列表
2．描点，在平面直角坐标系中描出点，
3．连线，用平滑的曲线连接各点．
故二次函数的图象即为所求．
（2）由函数图象可知：；
故答案为：；
（3）由（1）得，点A、B点的坐标为，，，
∴的面积．
【点睛】本题考查了画二次函数图象，二次函数的图象与性质，利用图象比较函数值的大小，数形结合是解答本题的关键．
24．(1)
(2)当绿茶的销售单价是85元/千克时，该茶庄这种绿茶在这段时间内的销售利润最大，最大利润是2450元．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解决本题的关键要找出等量关系，列出二次函数解析式，用配方法或公式法来求二次函数最大值．
（1）根据销售利润=销量×（销售单价-每千克成本）可求出关系式；
（2）用配方法或公式法来求二次函数最大值的问题．
【详解】（1）解：，
与之间的函数关系式为：．
（2），
当时，的值最大，最大为2450元．
即当绿茶的销售单价是85元/千克时，该茶庄这种绿茶在这段时间内的销售利润最大，最大利润是2450元．
25．(1)
(2)线段，，之间的数量关系是．证明见解析
【分析】（1）根据旋转的性质得到，可得，再求出，利用四边形内角和度数，即可解答；
（2）连接，证明是等边三角形，再根据勾股定理和线段的等量转换，即可得到．
【详解】（1）解：∵，，
∴．
∵将绕点C按顺时针方向旋转得到，
，
∴，，
∴；
（2）线段，，之间的数量关系是．
证明：如图，连接，

∵绕点C按顺时针方向旋转得到，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
由①知，在中，，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
26．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，得到，圆周角定理得到，得到，进而得到，即可；
（2）根据，得到，进而得到，进而得到，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，求出半径的长，根据扇形的面积公式进行求解即可．
【详解】（1）证明：连接，则：，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴扇形的面积为．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，扇形的面积，等边对等角，含30度角的直角三角形．熟练掌握相关知识点，灵活运用，是解题的关键．
27．(1)
(2)点的坐标为
(3)①；②
【分析】本题考查二次函数图象与几何图形的综合，一次函数的交点问题与几何图形周长的计算，对称最短路径等知识，
（1）运用待定系数法即可求解；
（2）根据题意，设连接，设点，用含的式子表示四边形的面积，根据二次函数最值的计算方法即可求解；
（3）①根据题意算出的长度，再证明，根据相似三角形的性质即可求解；②当点三点共线时的周长最小，分别算出所在直线的解析式，所在直线的解析式，联立方程组求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，连接，设点，其中，
四边形的面积为，对于，当时，，
∴，
∴
，
∵，开口向下，有最大值，
∴当时，四边形的面积最大，此时，，即，
因此四边形的面积最大时，点的坐标为；
（3）解：①在中，，
∵为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②已知，，，点是的中点，
∴，即，
设所在直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴所在直线的解析式为，
∵是的垂直平分线，
∴点关于直线的对称点是点，当点三点共线时，的周长最小，
∴的周长为，
设所在直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴所在直线的解析式为，
，
解得，，
∴．
0
1
2
3
…
0
3
4
3
0
…