初中数学北师大版七年级上册2.3 绝对值达标测试

这是一份初中数学北师大版七年级上册2.3 绝对值达标测试，共32页。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc28735" 【考点一 利用数轴化简绝对值】 PAGEREF _Tc28735 \h 1
\l "_Tc10393" 【考点二 分类讨论化简绝对值】 PAGEREF _Tc10393 \h 4
\l "_Tc3629" 【考点三 利用几何意义化简绝对值】 PAGEREF _Tc3629 \h 9
\l "_Tc2040" 【考点四 解绝对值方程】 PAGEREF _Tc2040 \h 18
【考点一 利用数轴化简绝对值】
例题：（2023春·上海徐汇·六年级上海市西南位育中学校考阶段练习）a、 b、 c 三个数在数轴上所对应的点的位置如图所示，计算：

【变式训练】
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级统考期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简 ．

2．（2023秋·广西南宁·七年级南宁市天桃实验学校校考期末）已知，，在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为，，．
(1)填空：，之间的距离为______，，之间的距离为______．
(2)化简：．
3．（2023·江苏·七年级假期作业）有理数,,在数轴上的位置如图所示．
(1)用“＜”连接：,,,,,；
(2)化简：．
4．（2023秋·湖南邵阳·七年级统考期末）a，b，c在数轴上的位置如图所示：
(1)求_______
(2) 、、c在数轴上的位置如图所示，则：化简：；
5．（2023春·上海·六年级专题练习）如图，已知a、b、c在数轴上的位置．
（1）a+b 0，abc 0， 0．填（“＞”或“＜”）
（2）如果a、c互为相反数，求＝ ．
（3）化简：|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|．
【考点二 分类讨论化简绝对值】
例题：（2023春·黑龙江绥化·六年级绥化市第八中学校校考期中）已知、、均为不等式0的有理数，则的值为 ．
【变式训练】
1．（2023秋·七年级单元测试）若，则 ．
2．（2023秋·河南南阳·七年级南阳市实验中学校考期末）已知、，那么＝
3．（2023春·上海·六年级专题练习）（1）若， ；若， ；
（2）若，则＝ ；
（3）若，则 ．
4．（2023秋·陕西西安·七年级西安市第八十三中学校考期末）计算：已知，．若，求的值．
5．（2023·江苏·七年级假期作业）如果a，b，c是非零有理数，求式子的所有可能的值．
6．（2023·全国·七年级假期作业）请利用绝对值的性质，解决下面问题：
(1)已知，是有理数，当时，则_______；当时，则_______．
(2)已知，，是有理数，，，求的值．
(3)已知，，是有理数，当时，求的值．
【考点三 利用几何意义化简绝对值】
例题：（2023秋·浙江·七年级专题练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

(1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是_____；表示和1两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．
(2)如果，那么______；
(3)若，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是______，最小距离是_____．
(4)若数轴上表示数a的点位于与之间，则_____．
(5)当_____时，的值最小，最小值是_____．
【变式训练】
1．（2023春·广东梅州·七年级校考开学考试）已知点A、B在数轴上表示的数分别是a、b，A、B两点之间的距离为d
(1)对照数轴填写下表．
(2)观察上表，发现d与之间的数量关系是 ，
(3)点A表示的数为x，式子、表示A、B两点之间的距离，则点B表示的数是 ；若，则x＝ ．
(4)适合式子的整数x的值是 ；
(5)式子的最小值是多少？
2．（2023·江苏·七年级假期作业）【阅读】若点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
(1)点，表示的数分别为，2，则_______，在数轴上可以理解为______；
(2)若，则_________，若，则________；
【应用】
(3)如图，数轴上表示点的点位于和2之间，求的值；
(4)由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，求出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由．
3．（2023·四川自贡·校考一模）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ．
(2)如果，那么x＝ ；
(3)若，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是 ，最小距离是 ．
(4)利用数轴，找出所有符合条件的x，使，则x= ．
(5)已知，求 的最大值和最小值．
4．（2023·江苏·七年级假期作业）如图，请回答问题：
(1)点B表示的数是 ，点C表示的数是 ．
(2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点A与数字 重合．
(3)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|，如5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|5﹣（﹣2）|，从而很容易就得出在数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是7．
①若x表示一个有理数，则|x﹣3|+|x﹣6|的最小值＝ ．
②若x表示一个有理数，且|x﹣4|+|x+3|＝7，则满足条件的所有整数x的和是 ．
③当x＝ 时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|取最小值．
④当x取何值时，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|取最小值？最小值为多少？
【考点四 解绝对值方程】
例题：（2023春·湖南衡阳·七年级校联考阶段练习）阅读与探究：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：，，．．．都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢?基本思路是：把“含有绝对值的方程”转化为“不含有绝对值的方程”．例如：
根据以上材料解决下列问题：
(1)若，则的取值范围是________；
(2)解方程：．
【变式训练】
1．（2023·浙江·七年级假期作业）解下列方程：
(1) (2) (3) (4)
2．（2023秋·辽宁鞍山·七年级统考期末）阅读材料并回答问题：
的含义是数轴上表示数的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数0对应的点之间的距离；因此可以推断表示在数轴上数与数1对应的点之间的距离．例如，，就是在数轴上到1的距离为2的点对应的数，即为或；回答问题：
(1)若，则的值是______；
(2)利用上述方法解下列方程：①；②
3．（2023·四川内江·校考三模）阅读下列材料：
我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离；即；这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离．绝对值的几何意义在解题中有着广泛的应用：
例1：解方程．
容易得出，在数轴上与原点距离为4的点对应的数为±4，即该方程的±4；
例2：解方程．
由绝对值的几何意义可知，该方程表示求在数轴上与-1和2的距离之和为5的点对应的的值．在数轴上，-1和2的距离为3，满足方程的对应的点在2的右边或在-1的左边．若对应的
点在2的右边，如图可以看出；同理，若对应点在-1的左边，可得．所以原方程的解是或．
例3：解不等式．
在数轴上找出的解，即到1的距离为3的点对应的数为-2，4，如图，在-2的左边或在4的右边的值就满足，所以的解为或．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程的解为 ；
（2）方程的解为 ；
（3）若，求的取值范围．
第08难点探究专题：化简绝对值(4类热点题型讲练)

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc28735" 【考点一 利用数轴化简绝对值】 PAGEREF _Tc28735 \h 1
\l "_Tc10393" 【考点二 分类讨论化简绝对值】 PAGEREF _Tc10393 \h 4
\l "_Tc3629" 【考点三 利用几何意义化简绝对值】 PAGEREF _Tc3629 \h 9
\l "_Tc2040" 【考点四 解绝对值方程】 PAGEREF _Tc2040 \h 18
【考点一 利用数轴化简绝对值】
例题：（2023春·上海徐汇·六年级上海市西南位育中学校考阶段练习）a、 b、 c 三个数在数轴上所对应的点的位置如图所示，计算：

【答案】/
【分析】由题意根据绝对值的意义即非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，同时注意数轴上右边的数总大于左边的数进行分析计算即可解答．
【详解】解：由数轴可得：，，
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查实数与数轴之间的对应关系及绝对值的化简，注意掌握根据点在数轴上的位置来正确判断出代数式值的符号．
【变式训练】
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级统考期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简 ．

【答案】
【分析】先由数轴判断a，b，c与0的大小关系，其中，则，，再根据绝对值的意义，正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数，0的绝对值是0，进而得出结果．
【详解】解：，
，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了数轴上的点以及绝对值的意义，其中正确掌握正负数的绝对值是解题的关键．
2．（2023秋·广西南宁·七年级南宁市天桃实验学校校考期末）已知，，在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为，，．
(1)填空：，之间的距离为______，，之间的距离为______．
(2)化简：．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离等于右边的数减去左边的数，求出距离即可；
（2）根据数轴可以得出，即有，，，进而有，去掉绝对值符号，再合并同类项即可．
【详解】（1）∵数轴上两点之间的距离等于右边的数减去左边的数，
∴A、B之间的距离为，B、C之间的距离为，
故答案为：，；
（2）由图，根据数轴可得：，
∴，，，
∴，
∴
，
∴值为．
【点睛】本题考查了根据点在数轴上的位置判定式子的正负，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键．
3．（2023·江苏·七年级假期作业）有理数,,在数轴上的位置如图所示．
(1)用“＜”连接：,,,,,；
(2)化简：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把，，，，，分别表示在数轴上可得答案；
（2）根据数轴确定出，， 的正负，再根据绝对值的性质化简．
【详解】（1）解：如图，
；
（2）解：由（1）得：，，，



．
【点睛】本题主要考查了实数大小的比较，数轴，绝对值的意义，利用理数，，在数轴上的位置确定，，的符号以及三个数的绝对值的大小是解题的关键．
4．（2023秋·湖南邵阳·七年级统考期末）a，b，c在数轴上的位置如图所示：
(1)求_______
(2) 、、c在数轴上的位置如图所示，则：化简：；
【答案】(1)-1
(2)−a−b．
【分析】（1）根据题意确定出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，计算即可求出值；
（2）根据数轴上点的位置确定出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
【详解】（1）解：根据数轴上点的位置得：a＜b＜0＜c，
∴，
故答案为：-1；
（2）解：根据数轴上点的位置得：a＜b＜0＜c，且|a|＞|c|，
∴a+c＜0，a−b＜0，c−a＞0，
∴
=−a−c+a−b+c−a
=−a−b．
【点睛】此题考查了有理数的大小比较和绝对值的化简，以及数轴，解题的关键是利用数轴得出a，b，c的取值．注意：再数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．
5．（2023春·上海·六年级专题练习）如图，已知a、b、c在数轴上的位置．
（1）a+b 0，abc 0， 0．填（“＞”或“＜”）
（2）如果a、c互为相反数，求＝ ．
（3）化简：|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|．
【答案】（1）＜，＜，＜；（2）﹣1；（3）2a．
【分析】（1）根据、、在数轴上的位置即可求解；
（2）根据相反数的定义即可求解；
（3）结合数轴，根据绝对值性质去绝对值符号，再合并即可求解．
【详解】解：由数轴可知，，，则
（1），，．
故答案为：，，；
（2）、互为相反数，
．
故答案为：；
（3）
．
【点睛】本题主要考查数轴、绝对值的性质、整式的加减，解题的关键是根据数轴和题目条件判断出、、的大小关系．
【考点二 分类讨论化简绝对值】
例题：（2023春·黑龙江绥化·六年级绥化市第八中学校校考期中）已知、、均为不等式0的有理数，则的值为 ．
【答案】3，-3，1，−1．
【分析】根据绝对值的性质，将绝对值符号去掉，然后计算．由于不知道a、b、c的符号，故需分类讨论．
【详解】解：(1)当a>0，b>0，c>0时，=1+1+1=3；
(2)当a<0，b<0，c<0时，==−1−1−1=−3；
(3)当a>0，b>0，c<0时，==1+1−1=1；
同理，a>0，b<0，c>0；a<0，b>0，c>0时原式的值均为1．
(4)当a<0，b<0，c>0时，==−1−1+1=−1；
同理，当a<0，b>0，c<0；a>0，b<0，c<0时原式的值均为−1．
故答案为：3，-3，1，−1．
【点睛】本题考查了绝对值规律的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，解答时要注意分类讨论．
【变式训练】
1．（2023秋·七年级单元测试）若，则 ．
【答案】
【分析】讨论a和b的符号，逐一求解即可．
【详解】解：∵，
∴，或，，
若，，则；
若，，则；
综上所述，的值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查绝对值的性质，分情况讨论是解题的关键．
2．（2023秋·河南南阳·七年级南阳市实验中学校考期末）已知、，那么＝
【答案】±2或0
【分析】根据x+a，x+b的符号，结合绝对值的性质进行计算即可．
【详解】解：当x+a＞0，x+b＞0时，原式＝1+1＝2，
当x+a＞0，x+b＜0时，原式＝1﹣1＝0，
当x+a＜0，x+b＞0时，原式＝﹣1+1＝0，
当x+a＜0，x+b＜0时，原式＝﹣1﹣1＝﹣2，
故答案为：±2或0．
【点睛】本题考查绝对值，理解绝对值的性质是解答的关键．
3．（2023春·上海·六年级专题练习）（1）若， ；若， ；
（2）若，则＝ ；
（3）若，则 ．
【答案】（1）1，；（2）1；（3）1或．
【分析】（1）根据的取值，去绝对值符号，然后化简即可；
（2）由（1）可知，结合可知即，化简即可；
（3）结合可知a、b、c中有一个负数、两个正数或三个负数两种情况，分情况结合（1），化简即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
故答案为：1，；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1；
（3）∵，
∴a、b、c中有一个负数、两个正数或三个负数两种情况，
当a、b、c中有一个负数、两个正数时，
，
当a、b、c中有三个负数时，
，
故答案为：1或．
【点睛】本题考查了绝对值的化简求值，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质．
4．（2023秋·陕西西安·七年级西安市第八十三中学校考期末）计算：已知，．若，求的值．
【答案】8
【分析】根据绝对值的定义，化简得x＝±5，y＝±3，再根据，得x，y异号，即当x＝5，y＝﹣3时，|x﹣y|＝8；当x＝﹣5，y＝3时，|x﹣y|＝8，故|x﹣y|的值为8．
【详解】解：∵|x|＝5，|y|＝3，
∴x＝±5，y＝±3，
∵xy＜0，
∴x，y异号，
∴当x＝5，y＝﹣3时，|x﹣y|＝8；
当x＝﹣5，y＝3时，|x﹣y|＝8；
综上所述，|x﹣y|的值为8．
【点睛】本题考查了绝对值的定义与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
5．（2023·江苏·七年级假期作业）如果a，b，c是非零有理数，求式子的所有可能的值．
【答案】或
【分析】根据绝对值的性质和有理数的除法法则分情况讨论即可．
【详解】解：根据题意，
当时，
；
当时，
；
当时，
；
当时，
；
当时，
；
当时，
；
当时，
；
当时，
；
综上所述，式子的所有可能的值为或．
【点睛】本题考查了有理数的乘法和绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质以及有理数的除法法则是解题的关键．
6．（2023·全国·七年级假期作业）请利用绝对值的性质，解决下面问题：
(1)已知，是有理数，当时，则_______；当时，则_______．
(2)已知，，是有理数，，，求的值．
(3)已知，，是有理数，当时，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)或或或
【分析】（1）根据正负数去绝对值的方法即可求解．
（2）由可得，由根据进而可求解．
（3）分四种情况讨论：①当都是正数，即时；②当有一个为正数，另两个为负数时，设；③当有两个为正数，一个为负数时；④当三个数都为负数时，分别去绝对值即可求解．
【详解】（1）解：当时，则，
当，则，
故答案为：，．
（2）已知是有理数，，
所以，且中两正一负，
所以．
（3）由题意得：三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数．
①当都是正数，即时，
则：，
②当有一个为正数，另两个为负数时，设，
则：，
③当有两个为正数，一个为负数时，
设，
则：，
④当三个数都为负数时，
则：，
综上所述：的值为或或或
【点睛】本题考查了化简绝对值，有理数的乘除法，熟练掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它相反数是解题的关键．
【考点三 利用几何意义化简绝对值】
例题：（2023秋·浙江·七年级专题练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

(1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是_____；表示和1两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．
(2)如果，那么______；
(3)若，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是______，最小距离是_____．
(4)若数轴上表示数a的点位于与之间，则_____．
(5)当_____时，的值最小，最小值是_____．
【答案】(1)；
(2)或
(3)；
(4)
(5)，
【分析】（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决；
（2）根据数轴上两点间的距离，分两种情况即可解答；
（3）根据数轴上两点间的距离分别求出a，b的值，再分别讨论，即可解答；
（4）根据表示数a的点到与5两点的距离的和即可求解；
（5）分类讨论，即可解答．
【详解】（1）解：由数轴得
数轴上表示和的两点之间的距离是：；
表示和两点之间的距离是：；
故答案：；．
（2）解：由得，
，
所以表示与距离为，
因为与距离为的是或，
所以或．
故答案：或．
（3）解：由，得，
，，
所以表示与的距离为，与的距离为，，
所以或，或，
当，时，则A、B两点间的最大距离是，
当，时，则A、B两点间的最小距离是，
故答案：，．
（4）解：
所以表示与的距离加上与的距离的和，
因为表示数a的点位于与之间，
所以，
故答案：．
（5）解：
，
所以表示与、、的距离之和，
①如图，当表示的点在的右侧时，即，

由数轴得：
，
所以，
所以；
②如图，当表示的点在和的之间时，即，

由数轴得：
因为，
所以，
所以；
③如图，当表示的点在和的之间时，即，

由数轴得：
因为，
所以，
所以；
④当表示的点在或或的点上时，
即或或，
如图，当时，

；
如图，当时，

；
如图，当时，

；
因为，
所以当表示的点在或或的点上时，仅当时，的最小值为；
综上所述：当，的最小值为．
故答案： ，．
【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，数轴上用绝对值表示两点之间的距离，理解绝对值表示距离的意义，掌握距离的求法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·广东梅州·七年级校考开学考试）已知点A、B在数轴上表示的数分别是a、b，A、B两点之间的距离为d
(1)对照数轴填写下表．
(2)观察上表，发现d与之间的数量关系是 ，
(3)点A表示的数为x，式子、表示A、B两点之间的距离，则点B表示的数是 ；若，则x＝ ．
(4)适合式子的整数x的值是 ；
(5)式子的最小值是多少？
【答案】(1)，1；4，4
(2)
(3)；或
(4)，，0，1，2，3
(5)15
【分析】（1）利用两点间距离公式，即可得到A，B两点之间的距离d；
（2）利用（1）中的结论，即可得到d与之间的数量关系；
（3）依据式子表示A、B两点之间的距离，而，即可得到点B表示的数是；
（4）依据表示数轴上与表示的点和表示3的点的距离之和为5，即可得出适合式子的整数x的值；
（5）根据式子的几何意义为数轴上表示数x的点与表示的点、表示3的点的距离之和，即可得到式子的最小值．
【详解】（1）解：当时，；
当时，；
故答案为：，1；4，4；
（2）解：由题可得，d与之间的数量关系是，
故答案为：；
（3）解：∵式子表示A、B两点之间的距离，而，
∴点B表示的数是，
故答案为：；
（4）∵表示数轴上与表示的点和表示3的点的距离之和为5，
∴，
∴整数，0，1，2，3，
故答案为：，0，1，2，3；
（5）解：式子的几何意义为数轴上表示数x的点与表示的点、表示3的点的距离之和，
∴当时，式子的最小值是．
【点睛】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是掌握绝对值的几何意义，找出所求问题需要的条件，利用数轴和绝对值的知识解答．
2．（2023·江苏·七年级假期作业）【阅读】若点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
(1)点，表示的数分别为，2，则_______，在数轴上可以理解为______；
(2)若，则_________，若，则________；
【应用】
(3)如图，数轴上表示点的点位于和2之间，求的值；
(4)由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，求出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由．
【答案】(1)9，与的距离
(2)或7.1，
(3)5
(4)有最小值，7
【分析】（1）根据数轴上表示的点与表示2的点之间的距离为9，根据两点间距离的定义将转化为即可得到结论；
（2）根据数轴上与3.1相距4个单位的点为7.1或，数轴上表示的点和到表示3的点距离相等的点所表示的数为；
（3）根据题意，表示a到的距离加上到2的距离，由于位于和2之间，即和2的两点距离之和，即可得到结论；
（4）结合数轴分析，分析出几何意义，即可得到当时取得最小值，求出具体结果即可．
【详解】（1）解：数轴上表示的点与表示2的点之间的距离为9，
，即可表示为到的距离，
故答案为：9；与的距离；
（2）解：，
到3.1的距离为4，
，，
，
到的距离和到3的距离相同，
，
故答案为：或7.1；；
（3）解：可表示a到的距离加上到2的距离且位于和2之间，
原式可看作与2之间的距离，
；
（4）解：可表示为到的距离加上到的距离加上到1的距离，
当时，该式取得最小值，此时．
【点睛】本题考查了数轴和绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离是解题的关键．
3．（2023·四川自贡·校考一模）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ．
(2)如果，那么x＝ ；
(3)若，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是 ，最小距离是 ．
(4)利用数轴，找出所有符合条件的x，使，则x= ．
(5)已知，求 的最大值和最小值．
【答案】(1)3，5，
(2)2或
(3)8，2
(4)或
(5)最大值为7，最小值为．
【分析】（1）根据数轴上两点间距离的求法解题即可；
（2）根据题意可得方程 或，求出x的值即可求解；
（3）由题意可得或，或，分别求出a、b的值，再求解即可；
（4）根据绝对值的几何意义可知，当时，，当时，，当x＞5时，；
（5）根据绝对值的几何意义可知，当时，的最小值为3，当时，的最小值为3，当时，的最小值为4，再由已知可得，根据x、y、z的范围求的最大值和最小值即可．
【详解】（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；
表示和2两点之间的距离是；
一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于；
故答案为：3，5，；
（2）∵，
∴或 ，
解得x=2或 ，
故答案为：2或；
（3）∵，
∴或，
解得a=5或a=1，
∵，
∴或，
解得或，
当时，A、B两点间的最大距离是8，
当时，A、B两点间的最小距离是2，
故答案为；8，2；
（4）∵表示数轴上有理数x所对应的点到-2和5所对应的点的距离之和，
∴当时，，
∵，
当x＜时， ，
解得，
当x＞5时，，
解得，
∴x的值为或，
故答案为：或；
（5）当时，的最小值为3，
当时，的最小值为3，
当时，的最小值为4，
∵，
∴，
当x=2，y=2，z=3时，有最大值7，
当时，有最小值．
【点睛】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的意义是解题的关键．
4．（2023·江苏·七年级假期作业）如图，请回答问题：
(1)点B表示的数是 ，点C表示的数是 ．
(2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点A与数字 重合．
(3)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|，如5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|5﹣（﹣2）|，从而很容易就得出在数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是7．
①若x表示一个有理数，则|x﹣3|+|x﹣6|的最小值＝ ．
②若x表示一个有理数，且|x﹣4|+|x+3|＝7，则满足条件的所有整数x的和是 ．
③当x＝ 时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|取最小值．
④当x取何值时，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|取最小值？最小值为多少？
【答案】(1)﹣2，6
(2)9
(3)①3；②4；③4；④x＝，最小值为
【分析】（1）根据数轴上点的特点，直接求解即可；
（2）由折叠可知，折痕点对应的数是2，再由对称性可知点A与数字9重合；
（3）①当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|的值最小；②当﹣3≤x≤4时，|x﹣4|+|x+3|的值最小，最小值为7，再求出符合条件的整数即可求解；③找到2， 2， 3， 3， 4， 4， 4，4， 4的中间数即为所求；④由2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|＝4|x﹣|+3|x﹣|+|x﹣|+2|x﹣|+3|x﹣3|，可得4个，3个，1个，2个，3个3的中间数是，当x＝时，式子有最小值．
【详解】（1）解：由图可得，点B表示的数是﹣2，点C表示的数是6，
故答案为：﹣2，6；
（2）解：∵折叠后点B和点C重合，
∴BC的中点为折痕点，
∴折痕点对应的数是2，
∴点A与数字9重合，
故答案为：9；
（3）解：①|x﹣3|+|x﹣6|表示数轴上表示x的点到表示3的点和6的点的距离之和，
∴当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|的值最小，
∴|x﹣3|+|x﹣6|的最小值为3，
故答案为：3；
②|x﹣4|+|x+3|表示数轴上表示x的点到表示﹣3的点和4的点的距离之和，
∴当﹣3≤x≤4时，|x﹣4|+|x+3|的值最小，最小值为7，
∵|x﹣4|+|x+3|＝7，
∴x的整数值为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，
∴，
∴满足条件的所有整数x的和是4，
故答案为：4；
③2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|表示2倍的x到2的距离，2倍的x到3的距离，5倍的x到4的距离之和，
∴2，2，3，3，4，4，4，4，4的中间数是4，
∴当x＝4时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|的最小值；
故答案为：4；
④2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|＝4|x﹣|+3|x﹣|+|x﹣|+2|x﹣|+3|x﹣3|，
表示4倍的x到的距离，3倍x到的距离，x到的距离，2倍x到的距离，3倍x到3的距离之和，
∴4个，3个，1个，2个，3个3的中间数是，
∴当x＝时，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|的值最小，最小值为．
【点睛】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义，探索出最小值存在时x的取值的一般规律是解题的关键．
【考点四 解绝对值方程】
例题：（2023春·湖南衡阳·七年级校联考阶段练习）阅读与探究：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：，，．．．都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢?基本思路是：把“含有绝对值的方程”转化为“不含有绝对值的方程”．例如：
根据以上材料解决下列问题：
(1)若，则的取值范围是________；
(2)解方程：．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据绝对值的非负性列不等式求解即可；
（2）分和两种情况解答即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴．
（2）解：当时，，则原方程可化为：，解得：，符合题意；
当时，，原方程可化为：，解得，符合题意．
所以，原方程的解为：或．
【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性、解绝对值方程等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2023·浙江·七年级假期作业）解下列方程：
(1) (2) (3) (4)
【答案】(1)或
(2)或
(3)或
(4)或
【分析】（1）根据绝对值的意义，去绝对值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解；
（2）根据绝对值的意义，去绝对值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解；
（3）根据绝对值的意义，去绝对值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解；
（4）首先对方程进行整理，得出，再根据绝对值的意义，去绝对值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解．
【详解】（1）解：，
∴或，
解得：或，
∴原方程的解为：或；
（2）解：，
∴或，
解得：或，
∴原方程的解为：或；
（3）解：，
∴或，
解得：或，
∴原方程的解为：或；
（4）解：，
整理，可得：，
∴或，
解得：或，
∴原方程的解为：或．
【点睛】本题考查了含绝对值的一元一次方程，解本题的关键在根据绝对值的意义，去绝对值．正数的绝对值为它本身，负数的绝对值则是它的相反数，0的绝对值还是为0．
2．（2023秋·辽宁鞍山·七年级统考期末）阅读材料并回答问题：
的含义是数轴上表示数的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数0对应的点之间的距离；因此可以推断表示在数轴上数与数1对应的点之间的距离．例如，，就是在数轴上到1的距离为2的点对应的数，即为或；回答问题：
(1)若，则的值是______；
(2)利用上述方法解下列方程：①；②
【答案】(1)
(2)①或，②或
【分析】（1）根据表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，求解即可；
（2）①根据，表示在数轴上与3的距离为2的点对应的数，求出答案；
②根据，表示在数轴上表示数的点到表示数1与表示数3的距离之和为8，求出答案．
【详解】（1）解：，数轴上表示数的点到原点的距离为2，因此或，
故答案为：；
（2）①在数轴上到3的距离为2的点对应的数，
或．
②在数轴上到1和3的距离和为8的点对应的数，
或．
【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，读懂并理解题目材料，会利用绝对值的几何意义是解决本题的关键．
3．（2023·四川内江·校考三模）阅读下列材料：
我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离；即；这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离．绝对值的几何意义在解题中有着广泛的应用：
例1：解方程．
容易得出，在数轴上与原点距离为4的点对应的数为±4，即该方程的±4；
例2：解方程．
由绝对值的几何意义可知，该方程表示求在数轴上与-1和2的距离之和为5的点对应的的值．在数轴上，-1和2的距离为3，满足方程的对应的点在2的右边或在-1的左边．若对应的
点在2的右边，如图可以看出；同理，若对应点在-1的左边，可得．所以原方程的解是或．
例3：解不等式．
在数轴上找出的解，即到1的距离为3的点对应的数为-2，4，如图，在-2的左边或在4的右边的值就满足，所以的解为或．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程的解为 ；
（2）方程的解为 ；
（3）若，求的取值范围．
【答案】（1）x=2或x=-8（2）x=-2或x=2018（3）x≥5或x≤-6
【详解】试题分析：1）分类讨论：x<-3，x≥-3，可化简绝对值，根据解方程，可得答案；
（2）分类讨论：x<-1，-1≤x<2017，x≥2017，根据绝对值的意义，可化简方程，根据解方程，可得答案；
（3）表示的几何意义分情况讨论即可求解.
试题解析：（1）当x<−3时，原方程等价于−x−3=5.解得x=−-8；
当x⩾−3时，原方程等价于x+3=5，解得x=2，
故答案为x=2或x=-8；
（2）当x<−1时，原方程等价于−x+2017−x-1=2020，解得x=−2，
当−1⩽x<2017时，原方程等价于−x+2017−+x+1=2020，不存在x的值；
当x⩾2017时，原方程等价于x−2017+x+1=2020，解得x=2018，
综上所述：x=-2或x=2018是方程的解；
（3）∵表示的几何意义是在数轴上分别与-4和3的点的距离之和，
而-4与3之间的距离为7，
当在-4和3时之间，
不存在，使成立，
当在3的右边时，
如图所示，
易知当时，满足，
当在-4的左边时，
如图所示，易知当时，满足，
所以的取值范围是或．
点睛：本题主要考查了绝对值，通过阅读材料，理解绝对值的几何意义，结合数轴，通过数形结合对材料进行分析来解答题目.
a
2
3
b
1
0
3
1
A，B两点之间的距离d
1
2
7
解方程．
解：当时，原方程可化为：，解得，符合题意；
当时，原方程可化为：，解得，符合题意．
所以，原方程的解为：或．
a
2
3
b
1
0
3
1
A，B两点之间的距离d
1
2
7
解方程．
解：当时，原方程可化为：，解得，符合题意；
当时，原方程可化为：，解得，符合题意．
所以，原方程的解为：或．