2024届江苏省泰州中学、宿迁中学、宜兴中学高三上学期12月调研测试数学试题含答案

这是一份2024届江苏省泰州中学、宿迁中学、宜兴中学高三上学期12月调研测试数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用指数函数的性质求出集合，解一元二次不等式求出集合，再求两集合的并集.
【详解】由，得，解得，
所以，
由，得，解得，
所以，
所以，
故选：C
2．设复数则等于（ ）
A．5B．C．2D．
【答案】B
【分析】结合复数的运算及复数的模的定义即可得.
【详解】，
则.
故选：B.
3．已知直线则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．非充分也非必要
【答案】C
【分析】利用两直线平行的斜率关系求解即可.
【详解】若,则，
所以两个直线的斜率
且不重合，所以.
若，则，解得，
当时，，两个直线重合，舍去.
故.
所以“”是“”的充分必要条件.
故选：C
4．为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是（ ）

A．的值为0.005B．估计这组数据的众数为75
C．估计成绩低于60分的有250人D．估计这组数据的第85百分位数为85
【答案】D
【分析】由频率分布直方图面积之和为1可计算，由众数定义可得B，计算低于60分的人数即可得C，根据百分位数的定义计算即可得D.
【详解】，即，故A正确；
由图易得在区间的人最多，故可估计这组数据的众数为75，故B正确；
，故成绩低于60分的有250人，即C正确；
由图中前四组面积之和为：，
图中前五组面积之和为：，
故这组数据的第85百分位数在第五组数据中，
设这组数据的第85百分位数为，
则有，
故，即估计这组数据的第85百分位数为86，故D错误.
故选：D.
5．若两个正实数满足且不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】应用基本不等式“1”的代换求左侧最小值，根据不等式恒成立及一元二次不等式的解法求参数m的范围.
【详解】由题设，
当且仅当时取等号，
又恒成立，即.
故选：A
6．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用两角差的正切公式结合弦化切可得出，再利用二倍角的正切公式可求得的值.
【详解】因为，即，
整理可得，解得，且有
因此，.
故选：A.
7．已知函数（其中是自然对数的底数），若则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由函数奇偶性定义可知函数为奇函数，利用导数可得函数为增函数，再由指数、对数函数单调性可判断，从而可得.
【详解】由函数，，
可知，即函数为奇函数，
所以，
又，当且仅当时等号成立，所以函数为增函数，
由于，所以，
而，所以，
则，即.
故选：B
8．已知分别是双曲线的左、右焦点，顶点在原点的抛物线的焦点恰好是，设双曲线与抛物线的一个交点为，若则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据点在抛物线和双曲线上的性质，算得再根据余弦定理求解离心率即可.
【详解】
过点分别向轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为,不妨设
则
因为为双曲线上的点，所以即故
又在三角形中，由余弦定理得
化简可得即解得
故选：D.
二、多选题
9．已知向量，，函数则下列选项正确的（ ）
A．函数是偶函数
B．函数的值域为
C．函数在区间内所有零点之和为
D．将函数图象上各点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象上各点向下平移个单位长度，最后将所得图象向左平移个单位长度，可得函数的图象
【答案】BC
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换公式化简，再结合三角函数的零点、图象变换、函数的奇偶性、值域等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】由题
，
对于A，由，所以不是偶函数，故A错误；
对于B，由，所以，所以的值域为，故B正确；
对于C，令，即，解得或，，
所以在上的零点为：，，，所有零点和为，故C正确；
对于D，将函数图象上各点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到，
再将所得图象上各点向下平移个单位长度，得到，
最后将所得图象向左平移个单位长度，得到，故D错误.
故选：BC.
10．如图，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则（ ）
A．直线与直线所成的角的正切值为
B．直线与平面平行
C．点与点到平面的距离相等
D．平面截正方体所得的截面面积为
【答案】ABD
【分析】.根据，得到直线与直线所成的角求解； .取中点，连接，，利用面面平行的判定定理和性质定理判断；.假设与到平面的距离相等，转化平面是否过的中点判断； .根据，把截面补形为等腰梯形判断.
【详解】如图所示：
.因为，所以直线与直线所成的角，，故正确；
.取中点，连接，，
在正方体中，，，
平面，平面，
所以平面，同理可证平面，，
所以平面平面，
平面，所以平面，故正确；
.假设与到平面的距离相等，即平面将平分，
则平面必过的中点，连接交于，而不是中点，
则假设不成立，故错误；
.在正方体中，，
把截面补形为等腰梯形，易知，
之间的距离为，
所以其面积为，故正确，
故选：ABD
11．已知、是椭圆的左、右顶点，是直线上的动点（不在轴上），交椭圆于点，与交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．若点，则
C．是常数D．点在一个定圆上
【答案】BCD
【分析】设点，利用斜率公式可判断A选项；求出点的纵坐标，利用三角形面积比可判断B选项；设直线的方程为，求出点、的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可判断C选项；利用斜率关系证明出，利用直角三角形的几何性质可判断D选项.
【详解】如下图所示：
对于A选项，设点，易知点、，
所以，不是定值，A错；
对于B选项，当点的坐标为，，
则直线的方程为，即，
联立，可得，解得或，即，
所以，，B对；
对于C选项，设直线的方程为，
联立可得，解得或，
则，，
即点，
联立可得，即点，
所以，，C对；
对于D选项，设点，其中，且，则，
，
，则，所以，，
则，所以，，取线段的中点，连接，
由直角三角形的几何性质可知，
所以，点在以线段的直径的圆上，D对.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
12．已知数列：1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，…，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，以此类推．则下列说法正确的是（ ）
A．第10个1出现在第46项
B．该数列的前55项的和是1012
C．存在连续六项之和是3的倍数
D．满足前n项之和为2的整数幂，且的最小整数n的值为440
【答案】ACD
【分析】把题设中的数列分成如下的组： ，求出每组的和为，选项A通过计算每组项数的和求解；选项B恰好是前10组之和；选项C通过找到符合题意得出判断；选项D设前项由前行和第行前项组成，算出前和为后结合前项和为2的整数幂可得的最小值.
【详解】将数列排成行的形式
1，
1，2，
1，2，4，
1，2，4，8，
第行为： ，则第行和为，
前行共有个数，前行的和为，
对于选项A，第10个1出现在第1+2+3+4+5+6+7+8+9+1=46项，故A正确；
对于选项B，因为，所以数列的前55项的和是，故B错误；
对于选项C，因为，是3的倍数，所以存在连续六项之和是3的倍数，故C正确；
对于选项D，设前项由前行和第行前项组成，则.
前项和为，若前n项和为2的整数幂，则有，即.
因为，所以当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
所以满足前n项之和为2的整数幂，且的最小整数n的值为440，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题考查分组数列的和以及与不定方程的整数解，对于分组数列的前项和的问题，一般采用计算“大组”和，再计算“小组”和，而不定方程的整数解问题，则需把和式放缩为2的正整数幂的形式，从而确定和的表达式.
三、填空题
13．求值： ．
【答案】/
【分析】利用余弦函数的和差公式即可得解.
【详解】.
故答案为：.
14．函数的极大值是 ．
【答案】
【分析】根据导数求函数的极大值即可.
【详解】由，则，
令，解得或，
则当，时，，则单调递增；
当时，，则单调递减；
则当时，函数取得极大值，
.
故答案为：
15．已知平面四边形中，点，坐标平面内的点满足，则的取值范围是
【答案】
【分析】先求得点的轨迹方程，然后根据点和圆的位置关系求得的取值范围.
【详解】设，则，
由得，
整理得，
.
表示到点的距离平方，
，所以到圆上的点的距离的最小值为，
最大值为，
所以的范围是，
所以的范围是，
也即的取值范围是.
故答案为：

16．已知是自然对数的底数，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】令，易得函数是增函数，则有，则，构造函数，利用导数求出函数的最值即可得解.
【详解】令，
因为函数都是增函数，
所以函数是增函数，
又，，
所以且，
则，
令，则，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
又，
所以当时，，当时，，
所以，
所以的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：令，根据函数是增函数，得出是解决本题的关键.
四、解答题
17．已知的三个内角所对的边分别是．已知
(1)求角；
(2)若点在边上，，请在下列两个条件中任选一个，求边长．
①为的角平分线；②为的中线．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合二倍角公式及两角和的正弦公式求得，即可得答案；
（2）选①，由，根据三角形面积公式求得，由余弦定理得.
选②，得，平方后利用向量的运算可得，由余弦定理得.
【详解】（1）在中，由正弦定理知，
所以，
又，所以，
，
又，
，
化简得，即，
又，所以．
（2）选①，为的角平分线，
由得：，
即，所以，
又，所以，
在中，由余弦定理得，
所以.
选②，为的中线，
则，平方得，
所以，所以，
又，所以，
在中，由余弦定理得，
所以.
18．某高三理科班共有60名学生参加某次考试，从中随机挑选出5名学生，他们的数学成绩与物理成绩的统计数据如下表所示：
数据表明与之间有较强的线性相关关系.
（1）求关于的经验回归方程.
（2）该班一名学生的数学成绩为110分，利用（1）中的经验回归方程，估计该学生的物理成绩.
（3）本次考试中，规定数学成绩达到125分以上（包括125分）为优秀，物理成绩达到100分以上（包括100分）为优秀.若该班数学成绩优秀率与物理成绩优秀率分别为50%和60%，且除去挑选的5名学生外，剩下的学生中数学成绩优秀但物理成绩不优秀的共有5人.填写列联表，并依据的独立性检验分析能否认为数学成绩与物理成绩有关？
单位：人
参考公式：，.
附：，，.
【答案】（1）；（2）该学生的物理成绩约为82；（3）列联表答案见解析，可以认为数学成绩与物理成绩有关.
【分析】（1）根据题设数据，结合，的公式计算，即得解；
（2）代入（1）中的回归方程计算即可；
（3）根据题设数据完成列联表，计算值，与临界值比较即可.
【详解】（1）由题意，可知，，
故，
，
故经验回归方程为.
（2）当时，，
故该学生的物理成绩约为82.
（3）由题意，可知该班数学成绩优秀的学生人数为30，物理成绩优秀的学生人数为36.
挑选的5名学生中，数学成绩优秀但物理成绩不优秀的有1人，故全班数学成绩优秀但物理成绩不优秀的共6人，于是可以得到下面列联表：
单位：人
零假设为：数学成绩与物理成绩无关.根据列联表中的数据，经计算得到
，
因此依据的独立性检验，可以推断不成立，因此可以认为数学成绩与物理成绩有关.
19．设数列的前项和为，且对于任意正整数，都有．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设，数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用给定的递推公式变形，再利用等比数列定义判断即得.
（2）由（1）的结论求出，再利用裂项相消法求和即得.
【详解】（1）数列中，，则，
两式相减得，即，因此，
又当时，，得 即，
所以数列是首项为5公比为2的等比数列．
（2）由（1）得，即，
则有，又，
因此是常数数列，即，则，
从而
所以.
20．如图，在四棱锥中，是正三角形，，平面平面，是棱上动点．
(1)求证：平面平面；
(2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为30°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，或
【分析】（1）由题设证得，取AD的中点，连结PO，应用面面垂直的性质证平面，再由线面垂直的性质、判定及面面垂直的判定证结论；
（2）取AB的中点，连结ON，则，构建空间直角坐标系，设，应用向量法，结合线面角大小列方程求，即可得结果.
【详解】（1）因为，所以，
在中，由余弦定理得，
所以，即，
取AD的中点，连结PO，因为是正三角形，所以
又面面ABCD，面面，面，
所以平面，又平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面．
（2）取AB的中点，连结ON，则，所以
以为正交基底建立空间直角坐标系，

则，
设，，则，
又，设平面的一个法向量为，
则，即，若，
取，
由直线AP与平面MBD所成角为，得，
化简得 解得或，
当或时，直线AP与平面所成角为.
21．已知抛物线：，F为焦点，为抛物线C上的两个动点，不垂直于轴，且.
(1)证明：线段的垂直平分线过定点；
(2)设（1）中的定点为，求面积的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)8
【分析】（1）设直线AB的方程：，联立直线与抛物线方程，由韦达定理求中点坐标，由点斜式方程得线段的垂直平分线方程，再求定点；
（2）点到直线的距离即为，用参数表示弦长与，从而得到面积的表达式，再利用整体换元法及导数求解函数最值即可.
【详解】（1）由题意不垂直于轴，
则可设直线AB的方程：
由得
所以
抛物线，焦点
由得，
，
又线段AB的中点即
所以线段AB的垂直平分线方程为，
即线段AB的垂直平分线过定点．
（2）由（1）得
所以面积
由且，得，
设 则
所以，
易得在递增，在上递减，
所以当，即时，当直线AB的方程为：，
的面积有最大值是8．

22．已知函数．
(1)若对任意的恒成立，求的取值范围；
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）对进行分类讨论，结合导数来求得的取值范围.
（2）利用构造函数法，结合导数证得，进而证得不等式成立.
【详解】（1）函数的定义域为，所以，
所以当时，所以恒成立，
当时，，
，所以在上递减，
当时，，
所以，即在递减，
所以，满足要求；
当时，，
，所以在上递减，
因为，
所以，使，且当时，，
所以在递增，所以，不合要求；
综上：的取值范围是.
（2）证明：设，
则，
所以在递减，又，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
又由（1）知，当时，，所以，
所以在上恒成立，
取，得，
分别取2，3，4，……，，
累加得，
命题得证．
【点睛】求解函数单调区间的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间.如果一次求导无法求得函数的单调性，可以考虑多次求导来进行求解.
数学成绩/分
145
130
120
105
100
物理成绩/分
110
90
102
78
70
数学成绩
物理成绩
合计
优秀
不优秀
优秀
不优秀
合计
数学成绩
物理成绩
合计
优秀
不优秀
优秀
24
6
30
不优秀
12
18
30
合计
36
24
60