2024届陕西省西安市高三上学期12月（第五次）联考数学试题含答案

这是一份2024届陕西省西安市高三上学期12月（第五次）联考数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据并集的定义计算可得.
【详解】由，即，即，解得，
所以，
又，所以.
故选：C
2．已知，，且，则（ ）
A．B．2C．D．10
【答案】A
【分析】根据复数代数形式的乘法运算及复数相等的充分条件得到方程组，求出、的值，从而求模.
【详解】因为，即，即，
因为，，所以，解得，
所以.
故选：A
3．已知直线与直线平行，则的值为（ ）
A．4B．C．2或D．或4
【答案】B
【分析】根据两直线平行得到，求出的值，再检验即可.
【详解】因为直线与直线平行，
所以，解得或，
当时直线与直线重合，不符合题意；
当时直线与直线平行.
故选：B
4．中国文字博物馆荟萃历代中国文字样本精华，用详尽的资料向世界展示了中华民族一脉相承的文字和辉煌灿烂的文明．该博物馆馆藏的重要藏品主要分为铜器、碑碣、钱币、陶器、玉石器、甲骨、竹木、纸质、瓷器共九类．小胡同学去该馆任意选取四类重要藏品参观，则在钱币、玉石器、甲骨、瓷器这四类中至少参观其中一类的不同选择方案的种数是（ ）
A．224B．121C．96D．84
【答案】B
【分析】利用间接法可求得结果.
【详解】从铜器、碑碣、钱币、陶器、玉石器、甲骨、竹木、纸质、瓷器这九类中任取四类重要藏品参观，
不同的选法种数为，
其中钱币、玉石器、甲骨、瓷器这四类都不选的选法种数为，
因此满足条件的不同选法种数为.
故答案为：B.
5．在中，点满足，点满足，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】用、作为一组基底表示出、，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可.
【详解】因为点满足，所以为的中点，
所以，又，
所以，
所以，又，
因为，所以，
即，
所以，解得，所以.
故选：C
6．执行如图所示的程序，输出S的值为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【分析】根据程序执行逻辑写出执行步骤即可得答案.
【详解】根据程序执行逻辑，
第一步：且，则；
第二步：且，则；
第三步：且，则；
第四步：且，跳出循环，输出；
故选：C
7．色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据如下表所示：
根据上表提供的数据，得该产品的色度和色差的线性回归方程为，当该产品的色差为28时，估计该产品的色度为（ ）
A．20.8B．20.6C．21.6D．21.2
【答案】D
【分析】首先求出样本中心点，即可求出，从而求出回归直线方程，再代入计算可得.
【详解】依题意可得，，
由线性回归方程为必过样本中心点，即，解得，所以，
当时，即当该产品的色差为28时，估计该产品的色度为.
故选：D
8．设，是椭圆C：的两个焦点，点P是C上的一点，且，则的面积为（ ）
A．3B．C．9D．
【答案】B
【分析】由题设可得，应用余弦定理、椭圆定义求得，最后应用三角形面积公式求面积.
【详解】由题设，，可得，
，
由，，则，即，
所以的面积.
故选：B
9．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式求出，再由及两角和的正切公式计算可得.
【详解】因为，所以，
所以，
所以，
所以.
故选：D
10．圆锥曲线具有光学性质，如双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点，如图，一个镜面的轴截面图是一条双曲线的部分，是它的一条对称轴，是它的一个焦点，一光线从焦点发出，射到镜面上点，反射光线是，若，，则该双曲线的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点，由题中条件可得，，在直角三角形中，，，由双曲线的定义可得，再求出离心率即可.
【详解】在平面直角坐标系中，如图，

反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点，
由，，可得，.
则，
，
记双曲线的焦距为，长轴长为，
在直角三角形中，，，
由双曲线的定义，可得，所以，
即，
所以离心率.
故选：A
11．已知函数，若a，b都是区间内的数，则使得成立的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题设画出对应可行域，应用几何概型中面积型求对应概率即可.
【详解】由题设，即，又a，b都是区间内的数，

如上图，阴影部分为可行域，面积为，
而a，b都是区间内对应面积为，
所以使得成立的概率是.
故选：C
12．若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由对数函数的性质可得，构造函数，利用导数可得，则答案可求.
【详解】因为，所以，所以，
令，所以，则，
，
所以，
即恒为递增函数，
则，即，所以，
综上：，
故选：A.
二、填空题
13． ．
【答案】
【分析】构造项后即可轻易看出该式符合二项式定理的展开式，利用二项式定理化简后即可求解.
【详解】
.
故答案为：.
14．过点且与圆：相切的直线方程为
【答案】或
【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出切线方程.
【详解】圆：即，圆心为，半径，
当切线的斜率不存在时，直线恰好与圆相切；
当切线的斜率存在时，设切线为，即，则，
解得，所求切线方程为，
综上可得过点与圆相切的直线方程为或.
故答案为：或
15．若点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】根据双曲线方程求出、、，设右焦点为，再由双曲线的定义计算可得.
【详解】双曲线，则，，所以，设右焦点为，
圆，圆心为，半径，
圆，圆心为，半径，
且恰为双曲线的左焦点，，
又点是双曲线右支上的一点，则，
所以，
当且仅当、、三点共线（在之间）时取等号.
故答案为：
16．已知，，是椭圆上不同的三点，直线，直线交于点，直线交于点，记，的面积分别为，，若，则 ．
【答案】
【分析】根据三角形面积公式及或得，再应用相交弦长公式列方程，即可求.
【详解】由，即，则，
由图知：当位置变化时，或，
故，
所以，而直线、斜率存在且不为，
故，
，
所以，即或，
当，化简得.
当时，，显然，无解.
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是由面积公式得到，再由弦长公式得到.
三、解答题
17．在中，内角，，的对边分别为，，，且．
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用乘法公式及余弦定理得到，再由正弦定理将边化角，即可得到，最后由辅助角公式计算可得；
（2）由正弦定理可得，由余弦定理求出、，最后由面积公式计算可得.
【详解】（1）因为，
所以，
又，
所以，
所以，
由正弦定理可得，
又，所以，所以，即，
又，所以，所以，则.
（2）因为，由正弦定理可得，又，由，
所以，解得或（舍去），
所以，所以.
18．“双十一”即指每年的11月11日，是指由电子商务为代表的，在全中国范围内兴起的大型购物促销狂欢日．自从2009年国庆节和中秋节一起双节同过开始，每年的11月11号，以天猫、京东、苏宁易购为代表的大型电子商务网站一般会利用这一天来进行一些大规模的打折促销活动，以提高销售额度，逐渐成为中国互联网最大规模的商业促销狂欢活动．某电商为了解消费者的下一部手机是否会选购某一品牌手机，随机抽取了400位客户进行调查，得到如下数据：准备购买该品牌手机的男性有160人，准备购买该品牌手机的女性有80人，不准备购买该品牌手机的女性有80人．
(1)完成下列列联表，并判断是否有99.9%的把握认为是否准备购买该品牌手机与性别有关？
(2)从准备购买该品牌手机的客户中按性别用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人给优惠券，设随机变量X为抽取的3人中女性的人数，求X的分布列和数学期望．
附：，．
【答案】(1)列联表见解析，有99.9%的把握认为是否准备购买该品牌手机与性别有关；
(2)分布列见解析，期望为1.
【分析】（1）根据题设完善列联表，根据卡方公式求卡方值，结合独立检验的基本思想得到结论；
（2）由题意抽取的6人中，男性有4人，女性有2人，且抽取的3人中女性的人数可能值为，求出对应概率即得分布列，再求期望.
【详解】（1）由题设，列联表如下，
，
所以有99.9%的把握认为是否准备购买该品牌手机与性别有关.
（2）由（1）及题设，抽取的6人中，男性有4人，女性有2人，
抽取的3人中女性的人数可能值为，且，，，
分布列如下：
所以数学期望.
19．已知数列的前n项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用关系，构造数列及等比数列定义写出的通项公式；
（2）由（1）得，讨论、求前n项和．
【详解】（1）当，则；
当，则，
所以，而，则是首项、公比为2的等比数列，
所以，且也满足，
综上，.
（2）由（1）得，
当时，，
当时，
.
所以.
20．如图，在四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，．
(1)求证：平面平面ABCD；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接交于点，连接，即可得到，再由勾股定理逆定理证明，即可得到平面，从而得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）连接交于点，连接，
因为底面是边长为的菱形，所以为、的中点且，
又，，所以，，
，同理可得，
所以，
所以，所以，即，
又，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）由（1）可知，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，取，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
21．已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，其离心率为，点P是C上的一点（不同于A，B两点），且面积的最大值为．
(1)求C的方程；
(2)若点O为坐标原点，直线AP交直线于点G，过点O且与直线BG垂直的直线记为l，直线BP交y轴于点E，直线BP交直线l于点F，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)是定值，.
【分析】（1）根据离心率及焦点三角形性质、椭圆参数关系求参数，即可得方程；
（2）设，且，求得，再根据已知可得直线，而直线，进而求出坐标，过作轴，利用等比例关系求即可得结论.
【详解】（1）由题意，故.
（2）由（1）及题设知：，直线的斜率存在且不为0，
设，则，即，
所以，又过点O且与直线BG垂直的直线记为l，则，
故直线，而直线，则，
联立，而，可得，
所以，故，过作轴，如图，
所以为定值.
22．已知函数．
(1)若，求函数的图象在处的切线方程；
(2)若函数在区间上存在极大值点，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程；
（2）首先求出的取值范围，构造函数，则，由此可得出函数的单调区间，利用零点存在性定理可得函数的零点所在区间：和，则可得函数的单调性，从而得到极大值，结合条件和基本不等式即可证明结论.
【详解】（1）当时，则，，所以，
所以在处的切线方程为.
（2）函数，则，
若在区间内恒成立，
即在区间内恒成立，
令，，则.
当时，，在区间内单调递减；
当时，，在区间内单调递增，故，
所以，
又，所以当时恒成立，则在上单调递增，则不存在极大值点，
当时，，.
由，令，，则，
显然在上单调递增，
令，则，
所以当时，当时，
即函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
又，，，
其中的证明如下：
令，则，所以在上单调递增，
则，
故存在，使得，存在，使得，
则当时，；当时；当时，，
故在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间内单调递增，
所以当时，取得极大值，即，则.
由，得，，
由，得，
故，所以.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
色差
21
23
25
27
色度
15
18
19
20
准备购买该品牌手机
不准备购买该品牌手机
合计
男性
女性
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
准备购买该品牌手机
不准备购买该品牌手机
合计
男性
160
80
240
女性
80
80
160
合计
240
160
400
0
1
2