2024届上海市七宝中学、松江一中、松江二中高三上学期11月联考数学试题含答案

这是一份2024届上海市七宝中学、松江一中、松江二中高三上学期11月联考数学试题含答案，共23页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．复数的共轭复数满足，则 .
【答案】
【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，利用共轭复数的概念得答案．
【详解】解：由，
得，
则．
故答案为：．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算、共轭复数的概念和复数的几何意义，是基础题．
2．若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】变换，根据题意得到，解得答案.
【详解】，，即，表示焦点在x轴上的椭圆，则，
解得.
故答案为：.
3．设函数，若，则 ．
【答案】
【分析】利用函数奇偶性即可求出结果.
【详解】因为设函数，，
所以，
，
故答案为：.
4．已知向量则的最大值为 ．
【答案】
【详解】根据题意，由于向量则可知=，那么可知当取得最大值时，即可知当=-1时，满足题意，最大值为3，故可知答案为3.
【解析】向量的数量积
点评：主要是考查了向量的数量积的运算，属于基础题．
5．已知，若，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】代入计算得，再利用基本不等式即可.
【详解】因为，所以，
，
因此 ，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值是.
故答案为：.
6．数列满足，则 ．
【答案】
【分析】利用递推公式与等比数列的通项公式即可得出．
【详解】，两式相减得，在中令代入得时
故答案为：.
【点睛】本题考查了递推公式与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.
【详解】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
8．已知直线过坐标原点且斜率均大于0，的倾斜角是的两倍，是双曲线的一条渐近线，过的右焦点作的垂线，垂足为.若恰好在上，则的离心率为 ．
【答案】
【分析】先延长交于点，由的倾斜角是的两倍，可得是与轴夹角的角平分线，所以,进而可得出的长，然后再求出的坐标，结合的坐标即可得到的坐标，代入双曲线方程即可求出结果.
【详解】延长交于点，因为的倾斜角是的两倍，所以是与轴夹角的角平分线，
因此，所以,因为是双曲线的一条渐近线，所以可得的方程为：，所以可得,又，所以,
因为若恰好在上，所以，整理得：,
故,解得，因为，所以.
即答案为
【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，需要熟悉双曲线的结构特征，熟记双曲线的简单性质等，属于基础题型.
9．如图，将一个大等边三角形分成三个全等三角形与中间的一个小等边三角形，设.若在大等边三角形内任取一点P，则该点取自小等边三角形内的概率为 .
【答案】
【分析】设，由正弦定理可得，从而可求的值，再由正弦定理可得，进而根据所求概率为代入即可求解.
【详解】解：设，由题意可得，化简得，，
又由正弦定理可得，即，
所以所求概率为，
故答案为：.
10．对于正整数,记表示的最大奇数因数，例如.设.当时， ．
【答案】
【分析】通过计算观察可知与，从而利用等差数列的前项和与递推式即可得解.
【详解】通过计算可得，
所以由此可以发现与，
则
，
所以.
故答案为：．
【点睛】难点点睛：解答本题的难点是如何观察出规律“”及“是等差数列”，这是解答本题的关键和突破口，从而巧妙获解．
11．已知矩形ABCD中，分别为，的中点．将沿直线翻折至的位置，若为的中点，则 ；为的中点，在翻折过程中，当为正三角形时，三棱锥的外接球的表面积是 .
【答案】
【分析】由题意画出图形，取中点P，连接PG，PE，则四边形PECG为平行四边形，从而可得，计算即可；当为正三角形时，其边长为，进一步可得三棱锥的外接球的半径，由球体表面积公式计算即可．
【详解】解：取中点P，连接PG，PE，则PG是的中位线，所以，
又因为E为BC中点，，，所以，，
则四边形PECG为平行四边形，所以；
因为，F为AD的中点，H为AE的中点，所以HF为中位线，所以，
由为直角三角形，所以AD中点F为的外接圆的圆心，且，
设三棱锥的外接球的球心为O，
由为正三角形，所以，
所以球心O在平面AED下方，且，
所以，设三棱锥的外接球的半径为R，
则．
连接，在中，由得，
在中有余弦定理得，
即
由解得
所以三棱锥的外接球的表面积是．
故答案为：；．
【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
12．定义全集的子集的特征函数，这里表示在全集中的补集，那么对于集合、，下列所有正确说法的序号是 .
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）（2）（4）
【解析】利用特征函数的定义知：（1）由，对与、关系分类讨论，可得（1）正确；利用特征函数的定义可判断（2）的正误；取特殊值情况，利用定义可判断（3）的正误；利用集合运算与函数运算可判断（4）的正误.综合可得出结论.
【详解】（1），分类讨论：
①当，则，此时；
②当，且，即，此时；
③当，且，即时，，，此时.
综合有，故（1）正确；
（2），故（2）正确；
（3）假设，任取，则，则，但，则，故（3）不正确；
（4）
，故（4）正确.
故答案为：（1）（2）（4）.
【点睛】本题考查子集与交集、并集运算的转换及应用，解题时要认真审题，注意特征函数的定义的灵活运用．
二、单选题
13．已知集合，集合，则C的子集的个数为（ ）
A．3B．8C．7D．16
【答案】B
【分析】根据题意得到集合，然后求子集个数即可.
【详解】由题意得，所以集合的子集的个数为.
故选：B.
14．在锐角中，若，且，则能取到的值有（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】D
【分析】由得到，再根据正弦定理将化简整理可得，由为锐角三角形得到，根据正弦定理可得，最后结合两角差的正弦公式、辅助角公式即可求解.
【详解】由，
又，
所以，则.
因为，
根据正弦定理得，
故，
即，
所以，
即，
根据正弦定理得，
所以，
因为为锐角三角形，且，
所以，即，
解得，
所以
，
因为，
所以，则，
所以，即.
故选： D.
15．已知函数，若实数，则函数的零点个数为（ ）
A．0或1B．1或2C．1或3D．2或3
【答案】D
【分析】转化为与的函数图象交点个数问题，画出函数图象，数形结合得到答案.
【详解】函数的零点个数即函数与的函数图象交点个数问题，
画出的图象与，的图象，如下：
故函数的零点个数为2或3.
故选：D
16．已知点．若曲线上存在两点，使为正三角形，则称为“正三角形”曲线．给定下列三条曲线：
①；②；③．
其中，“正三角形”曲线的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】对①，曲线为线段，与坐标轴的交点坐标为，可算得，可得等腰顶角大于，即可判断；
对②，曲线为圆心为原点，半径为的圆在第三象限内的四分之一圆弧，A在曲线上，曲线与坐标轴的交点坐标为，
由圆的性质可得最小值为且为钝角，即可判断；
对③， 易知存在半径的圆A与曲线相切，当时，交曲线于B，C，可得，连续变化，则存在r令，即可判断.
【详解】对①，因为点A不在直线上，直线与坐标轴的交点坐标为，此时，因为，即，
所以存在两点 ，使为正三角形，如图所示，所以①是“正三角形”型曲线．

对②，的图形是圆心为原点，半径为的圆在第三象限内的四分之一圆弧，A在曲线上，
曲线与坐标轴的交点坐标为，此时弧长 ，最长的弦长为，则最小值为，
由圆的性质可知为钝角，所以②不是“正三角形”型曲线．

③如图所示，易知存在半径为的圆A与曲线相切，
当，圆A交曲线于B，C，连AB、AC与y轴分别交于M，N，
则当时，，，所以且远大于，则，
当，连续变化，即存在r令，此时为正三角形，故③是“正三角形”型曲线．

故选：C．
三、解答题
17．某烹饪学院为了弘扬中国传统的饮食文化，举办了一场由在校学生参加的厨艺大赛，组委会为了了解本次大赛参赛学生的成绩情况，从参赛学生中抽取了名学生的成绩作为样本，将所得数经过分析整理后画出了评论分布直方图和茎叶图，其中茎叶图受到污染，请据此解答下列问题：
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)规定大赛成绩在的学生为厨霸，在的学生为厨神，现从被称为厨霸、厨神的学生中随机抽取2人取参加校际之间举办的厨艺大赛，求所取2人中至少有1人是厨神的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出样本容量，从而求出的值和平均数；
（2）分别求出厨霸与厨神的人数，求出所取2人至少中有1人是厨神的对立事件，再结合古典概型计算公式，即可得到结果
【详解】（1）由题意得:，
．
此次参加厨艺大赛学生的平均成绩为:
（2）由题意得厨霸有人，
厨神有人，
从中任取2人，基本事件总数，
所取2人至少中有1人是厨神的对立事件是所取2人都是厨霸为，
∴所取2人中至少有1人是厨神的概率.
18．如图1，四边形PBCD是等腰梯形，，，，A为PD的中点，将沿AB折起，如图2，点M是棱PD上的点.
(1)若M为PD的中点，证明：平面ABM；
(2)若，试确定M的位置，使二面角M-AB-D的余弦值等于.
【答案】(1)证明见解析
(2)是靠近的三等分点.
【分析】（1）证明平面得到，证明，再判断四边形为平行四边形，得到，得到证明.
（2）计算，建立空间直角坐标系，设，计算各点坐标，得到两平面的法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.
【详解】（1）四边形PBCD是等腰梯形，，，，
故，四边形为菱形.
分别为中点，连接，则，，
，故平面，平面，故，
，是中点，故，
M为PD的中点，是中点，故，，故，
故四边形为平行四边形，故，即，
，故平面ABM.
（2）在中，，，故，
以为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，，，则，
则，
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，则，
取得到，，故，
，故，即，即是靠近的三等分点.
19．某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面与全等且所在平面平行，与各边表示挡雨棚支架，支架、、垂直于平面.雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为（即），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形（、分别在、延长线上）.
(1)挡雨板（曲面）的面积可以视为曲线段与线段长的乘积．已知米，米，米，小组成员对曲线段有两种假设，分别为：①其为直线段且；②其为以为圆心的圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1平方米）；
(2)小组拟自制部分的支架用于测试（图3），其中米，，，其中，求有效遮挡区域高的最大值.
【答案】(1)①平方米②平方米
(2)0.3米
【分析】（1）分别按照直线段与圆弧计算BC的长，代入面积公式即可得解；
（2）根据正弦定理求出，再由三角恒等变换求最大值即可得解.
【详解】（1）①其为直线段且时， 米，
所以在中，，即（米）.
所以（平方米）；
②其为以为圆心的圆弧时，此时圆的半径为（米），
圆心角，所以圆弧的长，
所以（平方米）
（2）由题意，，，
由正弦定理可得：，
即
，其中，
当，即时，（米）.
即有效遮挡区域高的最大值为米.
20．设正整数m，n满足，，，，…，为集各的n元子集，且；
（1）若，满足；
（i）求证：；
（ii）求满足条件的集合的个数；
（2）若中至多有一个元素，求证：.
【答案】（1）（i）证明见解析；（1）（ii）；（2）证明见解析
【解析】（1）（i）设中的个元素满足，则得到，得到证明.
（1）（ii）从个元素中选不相邻的个元素，即等价于将剩余的个元素排成一排，
形成空，共有种放法，得到答案.
（2）根据题意知，没有相同的二元集合，中所有的二元集合个数为，
的二元集合个数为，故，得到证明.
【详解】（1）（i）设中的个元素满足，，满足，
故，故.
（1）（ii）从个元素中选不相邻的个元素，即等价于将剩余的个元素排成一排，
形成空，共有种放法，故共有个集合.
（2）根据题意知，没有相同的二元集合，中所有的二元集合个数为，
的二元集合个数为，故，即.
【点睛】本题考查了集合的证明问题，集合的个数问题，意在考查学生的综合应用能力.
21．已知，曲线、的方程分别为和，与在第一象限内相交于点．
(1)若，求的值；
(2)若，定点的坐标为，动点在直线上，动点在曲线上，求的最小值；
(3)已知点、在曲线上，点、关于直线的对称点分别为、，设的最大值为，的最大值为，若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）联立两曲线的方程，求出点的坐标，根据以及两点间的距离公式可求得的值；
（2）分析可知，曲线、关于直线对称，则点关于直线的对称点在曲线上，则，当且仅当、、三点共线时，取最小值，设点，利用平面内两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可求得的最小值；
（3）设点、，则点、，求、关于的等式，结合可求出的取值范围.
【详解】（1）解：联立，可得，即点，
所以，，解得.
（2）解：由可得，
所以，函数的反函数为，
即，
所以，曲线、关于直线对称，则点关于直线的对称点在曲线上，
所以，，则，
当且仅当、、三点共线时，取最小值，
当时，曲线的方程为，
设点，则，
即，即当时，即当时，取最小值.
（3）解：设点、，则点、，
其中，，
，其中，
当时，即当时，取最大值，即，
此时，，
因为函数在上单调递增，此时，，
函数在上为增函数，
故函数在上为增函数，
当时，取最大值，即，
所以，，所以，.
【点睛】方法点睛：抛物线定义的两种应用：
（1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可以实现点与点之间的距离与点到准线的距离的相互转化，从而简化某些问题；
（2）解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.
22．已知函数，，其中为自然对数的底数，设函数，
(1)若，求函数的单调区间，并写出函数有三个零点时实数的取值范围；
(2)当时，分别为函数的极大值点和极小值点，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
(3)对于函数，若实数满足，其中F、D为非零实数，则称为函数的“笃志点”.
①已知函数，且函数有且只有3个“笃志点”，求实数a的取值范围；
②定义在R上的函数满足：存在唯一实数m，对任意的实数x，使得恒成立或恒成立.对于有序实数对，讨论函数“笃志点”个数的奇偶性，并说明理由
【答案】(1)函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，
(2)
(3)①；②答案见解析
【分析】（1）求导得到单调区间，计算极值，画出函数图像，根据图像得到答案.
（2）求导得到导函数，确定极值点和单调区间，确定，构造新函数，确定函数的单调区间，计算最值，考虑和两种情况，根据函数的单调性计算最值即可.
（3）①考虑，，三种情况，代入数据，构造新函数，根据二次函数根的分布得到范围；②确定，比较与的大小关系，得到，得到答案.
【详解】（1），
，
当时，，，故，函数单调递增；
当时，，，故，函数单调递减；
当时，，，故，函数单调递增；
综上所述：函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
，，画出函数图像，如图所示：
根据图像知.
（2），，
取，得到或，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
故是极大值点，是极小值点，
恒成立，
，，故，
设，，
，
设，则恒成立，
故在上单调递减，，
当时，，函数单调递减，；
当时，存在，使得，
时，，函数单调递减；时，，函数单调递增；
故，不成立；
综上所述：.
（3）①有三个不等的实数根，
当时，，故，解得，不符合；
当时，，故，即，
令，则在上恒成立，故在上单调递增，故，
故当时，在有1个“笃志点”；
当时，，故，
则，由于至多有两个根，
结合前面分析的取值范围为的子集，
令，其中，
，当时，，
的图象的对称轴为，
故在上有两个不相等的实数根，
综上所述：
函数有且只有3 个“笃志点”，则实数的取值范围为；
② 定义在上的函数满足：
存在唯一实数，对任意的实数，使得恒成立，
故，，
因为，所以，
即，
比较与的大小关系，
若存在，使得，即，
则有成立，
故对于有序实数对，函数“笃志点” 个数为奇数个，
同理，对于定义在上的函数满足：
存在唯一实数，对任意的实数，使得恒成立，
故，，
因为，所以，
即，可得到同样的结论；综上所述：若存在，使得，
则函数“笃志点”个数为奇数个，
否则，函数“笃志点”个数为偶数个.
【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义问题，利用导航求参数范围，函数的最值极值，零点问题和恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论的方法是解题的关键，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.