2024届福建省福州市马尾区高三上学期期中数学试题含答案

这是一份2024届福建省福州市马尾区高三上学期期中数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求得，然后结合复数的除法运算求得正确答案.
【详解】依题意，
.
故选：D
2．已知全集为U，集合M，N满足，则下列运算结果一定为U的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据集合间的基本关系及集合的基本运算，借助Venn图即可求解.
【详解】由得当时，，故选项A不正确；
，当时，，故选项B不正确；
当 时，，故选项C不正确；
因为，所以，故选项D正确.
故选：D.
3．已知向量，不共线，且，，若与共线，则实数的值为（ ）
A．2B．C．2或D．或
【答案】C
【分析】利用两个向量共线的性质列方程可求得实数的值．
【详解】向量，不共线，且，，与共线，
所以存在实数，使得，
所以，
求得实数或．
故选：C．
4．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案.
【详解】解：如图，连接，
因为是的中点，
所以，
又，所以三点共线，
即，
又，
所以，
则，故，
所以.
故选：B.
5．若展开式中二项式系数和为A，所有项系数和为B，一次项系数为C，则（ ）
A．4095B．4097C．-4095D．-4097
【答案】C
【分析】求得二项展开式的通项，结合通求得一次项的系数，再由二项展开式的二项式系数和的性质，求得二项式系数的和，以及，求得所有项的系数和，即可求解.
【详解】由展开式的通项公式为，
所以一次项系数，
二项式系数和，
令，则所有项的系数和，
所以.
故选：C.
6．已知角θ的大小如图所示，则＝（ ）

A．B．C．D．4
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义可得进而又和差角公式得，又二倍角和齐次式即可求解.
【详解】由图可知
所以，
则，
故选：C
7．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．3B．C．4D．6
【答案】A
【分析】令，则，利用一元二次方程有解可得的最小值.
【详解】令，，则，
则可化为，
整理，
∵此方程一定有解，
∴，即，
解得，（舍），则的最小值为3.
故选:A.
8．设数列满足，，，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2022项之和为（ ）
A．4044B．4045C．4046D．4047
【答案】B
【分析】根据题意，由递推关系结合等差数列通项公式与累加法可得数列的通项公式，从而得到数列的通项公式，然后结合[x)的定义，即可得到结果．
【详解】因为，所以，又，
所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列，
所以
所以
，
当时也符合上式，故，
则数列的通项公式，
则数列的前2022项之和为
．
故答案为：4045．
二、多选题
9．已知直线，其中，下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线与直线垂直
B．若直线与直线平行，则
C．直线过定点
D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等
【答案】AC
【分析】当时，利用直线的斜率关系可判断A选项；利用两直线平行求出实数的值，可判断B选项；求出直线所过定点的坐标，可判断C选项；利用截距式方程可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，直线的方程为，
直线的斜率为，直线的斜率为，
因为，此时，直线与直线垂直，A对；
对于B选项，若直线与直线平行，则，解得或，B错；
对于C选项，对于直线，由可得，
所以，直线过定点，C对；
对于D选项，当时，直线的方程为，即，
此时，直线在两坐标轴上的截距不相等，D错.
故选：AC.
10．已知函数，则（ ）
A．的最大值为3B．的最小正周期为
C．的图象关于直线对称D．在区间上单调递减
【答案】BC
【分析】首先利用诱导公式和二倍角公式、辅助角公式化简，再利用正弦函数的性质逐一检验四个选项的正误即可求解.
【详解】
所以的最大值为，故选项A不正确；
的最小正周期为，故选项B正确；
因为，解得：，所以直线是的图象的对称轴，故选项C正确；
令，解得：，
所以在区间和单调递减，在上单调递增，故选项D不正确，
故选：BC.
11．已知同底面的两个正三棱锥和均内接于球O，且正三棱锥的侧面与底面所成角的大小为，则下列说法正确的是（ ）.
A．平面QBC
B．设三棱锥和的体积分别为和，则
C．平面ABC截球O所得的截面面积是球O表面积的倍
D．二面角的正切值为
【答案】BCD
【分析】由题可得PQ为球O的直径，设P到底面的距离为h，球的半径为R，结合条件可得，可得，然后逐项分析即得.
【详解】∵同底面的两个正三棱锥和均内接于球O，
∴PQ为球O的直径，
取AB的中点M，连接PM、QM，则PM⊥AB，CM⊥AB，QM⊥AB，
∴∠PMC为侧面PAB与底面ABC所成二面角的平面角，∠QMC为侧面QAB与底面ABC所成二面角的平面角，又正三棱锥的侧面与底面所成角的大小为，
设底面的中心为N，P到底面的距离为h，球的半径为R，则PN=h，OP=R，ON=R－h，MN=h，CN=2h，
∴，
∴，QN=4h，PN=h，
∴P、C、Q、M四点共面，又CN=2MN，QN=4h，PN=h，
∴PA与QM不平行，故PA与平面QBC不平行，故A错误；
由QN=4PN，可得，故B正确；
∵平面ABC截球O所得的截面面积为，球O表面积为，
∴平面ABC截球O所得的截面面积是球O表面积的倍，故C正确；
∵，
∴，，
∴，即二面角的正切值为，故D正确.
故选：BCD.
12．已知函数，则以下判断正确的是（ ）
A．函数的零点是
B．不等式的解集是．
C．设，则在上不是单调函数
D．对任意的，都有．
【答案】BD
【分析】利用零点的定义可直接判定A，直接解不等式可判定B，利用导数研究函数的单调性计算即可判定C，构造差函数结合函数的单调性计算即可判定D.
【详解】对于A项，零点是数不是点，故A错误；
对于B项，令，而恒成立，原不等式等价于，解之得，故B正确；
对于C项，，
所以，
设，则，
设
即定义域上单调递增，，
即存在使得，
即存在使得，
所以时有，
则，在上单调递增，故C错误；
对于D项，设，
由C项结论可知在上单调递增，
所以有，
又，即成立，故D正确.
故选：BD
【点睛】本题关键在选项D，结合对函数的单调性的研究，构造差函数利用单调性比较大小来判定比较难想到.
三、填空题
13．已知等比数列的公比为2，前项和为，且6，，成等差数列，则 .
【答案】
【分析】利用等差中项的定义及等差数列的通项公式，结合等比数列的前项和公式即可求解.
【详解】设等比数列的首项为，
因为6，，成等差数列，
所以，即，
又，
所以，解得，
所以.
故答案为：.
14．若，则 ．
【答案】
【分析】利用角的关系，建立函数值的关系求解．
【详解】已知，且，则，故．
【点睛】给值求值的关键是找准角与角之间的关系，再利用已知的函数求解未知的函数值．
15．现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同部分），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方案有 种.（用数字作答）.
【答案】
【解析】根据题意，假设正五角星的区域依此为、、、、、，分析6个区域的涂色方案数，再根据分步计数原理计算即可.
【详解】根据题意，假设正五角星的区域依此为、、、、、，如图所示：
要将每个区域都涂色才做完这件事，由分步计数原理，先对区域涂色有3种方法，
、、、、这5个区域都与相邻，每个区域都有2种涂色方法，
所以共有种涂色方案.
故答案为：
【点睛】方法点睛：涂色问题常用方法：
(1)根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法；
(2)根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数；
(3)根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论.从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求出不同涂色方法总数.
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，线段与y轴交于点Q，若，且为等腰三角形，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【分析】由线段与y轴交于点Q，得点横坐标，代入椭圆方程得点纵坐标，由为等腰三角形，得，用表示此等式转化为离心率的方程，解之可得．
【详解】，线段与y轴交于点Q，，在右侧，则，，，
为等腰三角形，则，
所以，，整理得，
，，
故答案为：．
四、解答题
17．在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边长，且．
(1)求的值；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理，及，得，转化为，得.
（2）由及（1）得，得，求出b，计算三角形面积.
【详解】（1）由正弦定理，得，
即，
所以，
从而，
因为，所以．
（2）因为，
由（1）知，，解得，所以，
所以，，，
所以的面积为．
18．已知数列为等差数列，其前n项和为，且，，数列.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的通项公式以及求和公式，建立方程组，可得答案；
（2）利用分组求和方法，可得答案.
【详解】（1）数列为等差数列，其前n项和为，且，，
设数列的首项为，公差为d，则，
解得，，所以.
（2）数列.
当时，，所以.
当时，，所以
.
所以.
19．为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了个苹果.经整理分析后发现，苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，如图所示，已知，.
(1)若从苹果园中随机采摘个苹果，求该苹果的重量在内的概率；
(2)从这个苹果中随机挑出个，这个苹果的重量情况如下.
为进一步了解苹果的甜度，从这个苹果中随机选出个，记随机选出的个苹果中重量在内的个数为，求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】(1)；
(2)分布列答案见解析，数学期望为.
【分析】（1）利用正态密度曲线的对称性结合已知条件可求得的值；
（2）分析可知，随机变量的所有可能取值为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值.
【详解】（1）解：已知苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，
由正态分布的对称性可知，
，
所以从苹果园中随机采摘个苹果，该苹果的重量在内的概率为.
（2）解：由题意可知，随机变量的所有可能取值为、、，
，；，
所以，随机变量的分布列为：
所以.
20．如图，在长方形中，，点是棱上一点，且.
（1）证明：；
（2）若二面角的大小为，求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，得,，可得，求两个向量的数得积，由向量垂直的充要条件可知两向量垂直；
（2）由题意求得平面的法向量为，可求得平面的法向量为的一个解为，然后利用面面角的向量求法即得.
【详解】（1）以为原点, 为轴为轴，为轴建立空间直角坐标系，
不妨设,则，,，
，于是，
，
故；
（2）平面，平面的法向量为，
又.
设平面的法向量为，
则，
所以向量的一个解为.
因为二面角的大小为，则,
解得.
又因是棱上的一点，所以，故所求的值为.
【点睛】易错点晴：求二面角大小的常用方法（1）分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．（2）分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．本题难度中等.
21．已知椭圆C：的离心率为，焦距为2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线l：（）与椭圆C相交于A，B两点，且．
①求证：的面积为定值；
②椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)① 证明见解析；②不存在，理由见解析
【分析】（1）根据椭圆焦距和离心率的概念求解即可；
（2）联立椭圆方程与直线方程消去y后，利用韦达定理和得出，表示出的面积并化简可证明的面积为定值；假设存在椭圆上的点P，使得OAPB为平行四边形，借助表示出点P坐标代入椭圆方程可得出，与矛盾，从而得出结论．
【详解】（1）由题意知，焦距，故，又，故，
所以，故椭圆C的方程为．
（2）①由消去y，化简得：，
设，，则，
，，
故，
因为，所以，
所以，
坐标原点到直线l的距离为，
所以的面积为，
故的面积为定值．
②假设存在椭圆上的点P，使得OAPB为平行四边形，则，
设，则，
又因为，即，得，
与矛盾，
故椭圆上不存在点P，使得OAPB为平行四边形．
22．已知函数．
(1)设、是函数的图像上相异的两点，证明：直线的斜率大于0；
(2)求实数的取值范围，使不等式在上恒成立．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义可得函数为单调递增，再利用函数单调性以及两点间斜率公式即可得直线的斜率大于0；
（2）将不等式在上恒成立转化成函数在上恒成立，对实数的取值范围进行分类讨论即可求出结果.
【详解】（1）由可得，
故函数在是严格增函数，
设，，，则，即，
即直线的斜率大于0．
（2）由题意得，设，，
①当时，恒成立，符合题意；
②当时，，
（ⅰ）若，，
所以在上是严格减函数，，满足题意；
（ⅱ）若，注意到在时，，
于是，
故，不满足题意舍去；
综上，实数的取值范围是．
重量范围（单位：）
个数