2024届河南省南阳市高三上学期期中数学试题含答案

这是一份2024届河南省南阳市高三上学期期中数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列四个集合中，( )是空集
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据空集的定义，对选项逐一判定，即可得到结果.
【详解】解：选项A：集合中有一个元素0，不为空集；
选项B：集合中不存在元素，所以该集合为空集；
选项C：集合中有一个元素1，所以不为空集；
选项D：集合中存在无数个元素，所以不为空集.
故选：B.
2．命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】特称命题的否定为全称命题，据此得到答案.
【详解】命题“，”的否定为“，”.
故选：A
3．若复数满足，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】根据复数的运算法则，求得，进一步计算即可.
【详解】因为，
所以，，
则，
故选:D.
4．公比不为1的等比数列满足，若，则的值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】C
【分析】根据等比数列的性质列方程来求得的值.
【详解】依题意，数列是等比数列，且公比，
，
，
所以.
故选：C
5．若函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用函数有零点等价于对应方程有实根，通过换元将其转化成一元二次方程的根的问题即可求得.
【详解】由函数有两个零点可知，方程有两个不相等的实根.
不妨设则，依题，方程有两个不相等的正实根，
故有，解得：即实数的取值范围为
故选：C.
6．已知，b＝（csα）sinα，c＝（sinα）csα，则（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．c＜a＜b
【答案】D
【解析】由，得到0＜sinαcsα＜1，再利用指数函数和幂函数的单调性求解.
【详解】因为，
所以0＜sinαcsα＜1，
所以b＝（csα）sinα＞（sinα）sinα＞（sinα）csα，
所以b＞a＞c；即c＜a＜b；
故选：D．
7．已知，，分别为的三个内角的对边，若点在的内部，且满足，则称为的布洛卡（Brcard）点，称为布洛卡角.布洛卡角满足：（注：）.则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合图象,求得，,分别在，，中利用正弦定理可求得，，，三数相加化简即可.
【详解】如图所示，
,
故,
同理，,
在中，由正弦定理得：
,
即,
所以，
在中同理可得：
,
在中同理可得：
,
所以
，
故选：B.
8．已知在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】确定在上恒成立，根据得到，再证明充分性，，设，求导得到单调区间，计算最值得到证明.
【详解】，在上恒成立，
设，，，
①必要性：
，恒成立，故，
故，
若，则存在，使时，，单调递增，
，不满足条件；
②充分性：
，，
设，在恒成立，故单调递减，，故恒成立，
综上所述：.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决函数单调性问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用必要性探路得到，再证明充分性可以避免繁琐的讨论，简化运算，是解题的关键.
二、多选题
9．下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.
【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A,
不妨令,
当时，，
解得：，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC.
【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
10．已知是数列的前项和，，则（ ）
A．是等比数列B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】利用递推关系求得，逐项验证即可.
【详解】因为，①
当时，则，
当时，，②
①②得
，
则，
故是以1为首项，公比为的等比数列，
且，故A正确；
又，故B正确；
，故C错误；
由题中，，故D正确，
故选：ABD.
11．设，若，则的值可能为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】BC
【分析】根据题意，由判别式法即可得到的范围，从而得到结果.
【详解】令，则代入可得，
，关于的方程有解，
则，解得，
所以，则BC选项符合题意.
故选：BC
12．设，若为函数的极小值点，则下列关系可能成立的是（ ）
A．且B．且
C．且D．且
【答案】AC
【分析】根据题意，求得，结合函数极值点的定义，分类讨论，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数，可得，
令，可得或，
要使得为函数的极小值点，
当时，则满足，解得，所以A正确；
当时，则满足，解得，所以C正确.
故选：AC.
三、填空题
13．一个正实数的小数部分的2倍，整数部分和自身成等差数列，则这个正实数是 .
【答案】或
【分析】根据等差数列的知识列方程，化简求得这个正实数.
【详解】设这个正实数的小数部分是，整数部分是（），自身是，
则，所以，
由于，，
当时，；
当时，；
当时，，不符合.
综上所述，这个正实数是或.
故答案为：或
14．四边形中，，，是四边形的外接圆的直径，则 .
【答案】
【分析】根据圆内接四边形的性质及数量积的定义即求.
【详解】依题：，
.
故答案为：
15．奇函数满足，，则 .
【答案】
【分析】根据奇函数得到，确定函数周期为，计算得到答案.
【详解】奇函数满足，则，，
故，函数周期为，
.
故答案为：.
16．互不相等且均不为1的正数，，满足是，的等比中项，则函数的最小值为 .
【答案】4
【分析】先根据条件：成等比数列，得到的关系，再用基本不等式求的最小值.
【详解】∵是的等比中项，∴，
∵是互不相等且均不为1的正数，∴，∴.
∴.
因为是互不相等且均不为1的正数，所以上式只能在，，时，即时取等号.
故答案为：4.
四、解答题
17．设数列为等差数列，其前n项和为，数列为等比数列．已知．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意，列方程求解即可得答案；
（2）根据错位相减法求和即可.
【详解】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由可得，即，解得，
所以，，
，，
则；
（2），
则①，
可得②，
①②得：
，
因此，；
【点睛】本题考查等差等比数列的基本计算，错位相减法求和，考查运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于掌握错位相减法求和的基本方法，第一步列式，第二步，乘公比错位，第三步两式做差整理.
18．已知函数，其中，若实数满足时，的最小值为.
(1)求的值及的单调递减区间；
(2)若不等式对任意时恒成立，求实数应满足的条件；
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）化简，结合最小正周期求得，得到，结合三角函数的性质，即可求解函数的单调递减区间；
（2）化简，
令，得到，结合函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，函数
，
因为的最小值为，
所以的最小正周期，解得，所以，
由，
解得，
所以的单调递减区间为.
（2）解：由
，
因为，可得
令，则，
所以，，即，即
令，可得，
又由函数在为递减函数，所以，
所以，解得，即实数的取值范围是.
19．记为数列的前项和.已知.
(1)证明：是等差数列；
(2)若，，成等比数列，求数列的前2024项的和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1），，两式相减整理得到，得到证明；
（2）根据等比中项计算得到，确定，再利用裂项相消求和即可.
【详解】（1），即①，
当时，②，
①②得，，
即，即，
所以，且，所以是以1为公差的等差数列.
（2），，，，成等比数列，，
解得，故，
.
数列的前2024项和为：
20．在中，角，，的对边分别为，，，且满足_____.
（从以下两个条件中任选一个补充在上面横线上作为已知，将其序号写在答题卡的横线上并作答.）
条件①：
条件②：
(1)求角；
(2)若为锐角三角形，，求面积的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）选择①，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得；选择②，利用诱导公式及同角公式求解即得.
（2）利用正弦定理求出边的范围，再利用三角形面积公式求解即得.
【详解】（1）选择①，由及正弦定理，得，
整理得，由余弦定理得，而，
所以.
选择②，由，得，即，
解得，又，
所以.
（2）由（1）知，，由正弦定理得，即
，而是锐角三角形，
则，解得，，即，因此，
，
所以面积的取值范围是.
21．已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．
(1)若，求a；
(2)求a的取值范围．
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）先由上的切点求出切线方程，设出上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出即可；
（2）设出上的切点坐标，分别由和及切点表示出切线方程，由切线重合表示出，构造函数，求导求出函数值域，即可求得的取值范围.
【详解】（1）由题意知，，，，则在点处的切线方程为，
即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得；
（2），则在点处的切线方程为，整理得，
设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得，
则，整理得，
令，则，令，解得或，
令，解得或，则变化时，的变化情况如下表：
则的值域为，故的取值范围为.
22．（1）已知函数，判断函数的单调性并证明；
（2）设为大于1的整数，证明：.
【答案】（1）函数在上单调递减，在上单调递增，证明见解析；
（2）证明见解析
【分析】（1）求得函数的定义域后，判定出函数为偶函数，利用导数即可证明其单调性；（2）把不等式变形为，两边取对数后，根据的单调性即可证明；也可以两边取对数后把不等式变形为，构造函数，利用函数的单调性证明.
【详解】（1）函数的定义域为，函数的定义域为
函数在上单调递减，
在上单调递增
证明：，
∴
则为上的偶函数.
，，故，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）（证法一）要证明，
需证明
即证明，
即，
由（1）可知即证.
∵且在单调递增，
∴
所以对，成立.
（证法二）要证明,
即证明，
即证，
即证，
设函数，
，
故函数在上单调递增
又，∴，
即成立，
故原不等式成立.
【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；
(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；
(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
0
1
0
0
0