2024届江苏省淮安市高中校协作体高三上学期期中联考数学试题含答案

这是一份2024届江苏省淮安市高中校协作体高三上学期期中联考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】计算，再计算交集得到答案.
【详解】，
，.
故选：C.
2．如果是实数，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据余弦函数的性质，结合充分必要条件的判断即可求解.
【详解】由可得，
但不能得到，比如，但是，
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
3．已知函数（是的导函数），则（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【分析】根据导数的求导法则，求导代入即可求解.
【详解】对求导可得，
所以，所以，
故选：C
4．已知，若，且，则的最小值为（ ）
A．9B．C．3D．1
【答案】B
【分析】根据题意求出等量关系，利用基本不等式求解即可.
【详解】因为，若，且，
所以，
则，
当且仅当时取等号.
故选：B
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据诱导公式结合同角三角函数的基本关系可得，，然后根据两角差的正切公式，展开代入，即可得出答案.
【详解】由可得，，
所以，，
所以，.
故选：D.
6．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为，那么用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值可表示成（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由三角函数的倍角公式及三角形的面积公式即可得解．
【详解】圆的内接正边形的圆心角为，
所以正边形的面积为，
由题意有，
所以，
又，
所以，
故选：D．
7．已知数列是正项等比数列，数列满足.若，则（ ）
A．24B．27C．36D．40
【答案】B
【分析】依题意得，得，再由对数运算性质求解即可.
【详解】数列是正项等比数列，，
由，得，得，
.
故选：B.
8．若函数为定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先构造函数，判断函数的奇偶性和单调性；再将不等式等价变形；最后利用函数的性质求解即可.
【详解】令
为定义在上的偶函数
则函数为定义在上的偶函数
，当时，
函数在上单调递减，在上单调递增.
不等式可变为，
即
故，解得或
所以不等式解集为：.
故选：A.
二、多选题
9．已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称
C．D．是的一个零点
【答案】ABC
【分析】根据图像求出函数解析式，然后逐项判断即可.
【详解】由图像可知，
设函数周期为，则由图像知，所以A正确；
则，所以，
由图像知为函数的一个最小值，所以，
得，
所以，所以，
由，得直线为的图象对称轴，B正确；
，所以D错误；
，C正确；
故选：ABC
10．已知，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】利用对数函数的单调性得出，再利用函数的单调性逐项判断，即可得出合适的选项.
【详解】因为，则.
对于A选项，因为函数为上的增函数，则，A对；
对于B选项，因为函数在上为增函数，则，B对；
对于C选项，令，其中，则，
由，可得，由，可得，
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，则，即，C错；
对于D选项，因为函数在上为增函数，则，即，D对.
故选：ABD.
11．在数列中，如果对任意都有（为常数），则称为等差比数列，k称为公差比，下列说法正确的是（ ）
A．等比数列一定是等差比数列
B．等差比数列的公差比一定不为0
C．若，则数列是等差比数列
D．若等差数列是等差比数列，则其公差比可能为2
【答案】BC
【分析】考虑常数列可以判定A错误，利用反证法判定B正确，代入等差比数列公式判定CD正确．
【详解】对于数列，考虑无意义，所以A选项错误；
若等差比数列的公差比为则，则在中分母为0，不符合要求，故矛盾，所以B正确；
若，数列是等差比数列，所以C正确；
若等差数列是等差比数列，则，则，，
，所以D错误．
故选：BC．
12．已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数的图象关于轴对称B．函数的图象关于原点对称
C．函数在上是增函数D．函数的值域为
【答案】ACD
【分析】利用对数的运算性质将函数解析式化简为，利用函数奇偶性的定义可判断AB选项；利用函数单调性的定义以及复合函数的单调性可判断C选项；利用函数的单调性求出函数的值域，可判断D选项.
【详解】因为，
对于A选项，对任意的，，则函数的定义域为，
，所以，函数为偶函数，A对B错；
对于C选项，任取、且，即，则，
，则，
所以，
，即，
所以，，
故函数在上是增函数，C对；
对于D选项，因为函数为上的偶函数，且在上为增函数，
故函数在上为减函数，所以，，
故函数的值域为，D对.
故选：ACD.
三、填空题
13．“”为真命题，则实数的最大值为 .
【答案】
【分析】由可求出结果.
【详解】因为“”为真命题，
所以，即.
所以实数的最大值为.
故答案为：
14．已知的内角的对边分别为，若，，，则边上的中线AD的长为 .
【答案】
【分析】根据余弦定理得出.进而在中，利用余弦定理，即可得出答案.
【详解】
由余弦定理可得，.
在中，有，，
由余弦定理可得
，
所以，.
故答案为：.
15．已知函数的定义域是，则函数的单调增区间为 .
【答案】/
【分析】先根据定义域求出的值，再结合复合函数的单调性求出单调区间.
【详解】因为函数的定义域是，
所以为的两个根，
所以则，
即，
令，则在单调递减，
令，
则为开口向下，对称轴为的抛物线，且，
所以时，单调递增；时，单调递减；
因为，
所以函数的单调增区间为.
故答案为：
四、双空题
16．已知函数，则不等式的解集为 ，若实数，，满足且，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据分段函数的性质分段解不等式，作出函数图象，数形结合可得取值范围.
【详解】由，得，
又，
当时，恒成立，
当时，，得，
当时，，得，
综上所述，，即；
作出函数的图象，如图所示，
当时，，
又，，
所以，
且，则，
所以，
设，
则，，
所以，
设，，
则，令，解得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
即，
故答案为：；.
五、解答题
17．在中，角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求角；
(2)若，，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可结合和差角公式化简求解，
（2）根据同角关系以及正弦定理即可求解.
【详解】（1）在中，由正弦定理及条件得：
∵为的内角，
∴,∴，，
又,所以
（2）由（1）知：，
∵，且，
∴，
由正弦定理得，且，
∴，∴
18．已知等差数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最小值及取得最小值时n的值．
【答案】(1)
(2)当时，最小，最小值为-26
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式列方程，解方程得到，，然后写通项即可；
（2）方法一：根据等差数列的性质求最小值即可；
方法二：根据前项和的函数性质求最小值.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，
由，，得，，解得，，
所以．
（2）方法一：由知是递增数列，
当时，；当时，．
所以，
所以当时，最小，最小值为．
方法二：，
又，所以当时，最小，最小值为-26.
19．已知不等式.
(1)求不等式的解集；
(2)若当时，不等式 总成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对数函数的单调性结合对数不等式可得出关于的不等式组，即可解出集合；
（2）求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：因为，则，解得，
故.
（2）解：令，则原问题等价，
且，其中，
令，可得，其中，
当时，即当时，函数取得最小值，即，
所以，.
20．设数列的前项和为，已知，__________.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
从下列两个条件中任选一个作为已知，补充在上面问题的横线中进行求解（若两个都选，则按所写的第1个评分）：
①数列是以为公差的等差数列；②.
【答案】(1)选择①②，都有；
(2)证明见解析.
【分析】（1）选择①，根据等差数列的通项公式，求得；再根据与之间的关系即可求得结果；
选择②，利用的关系消去，构造等差数列，与①同理，即可求得结果；
（2）根据（1）中所求求得，再利用裂项求和法求得，即可证明.
【详解】（1）若选择①数列是以为公差的等差数列，显然其首项为
故，故；
当时，，
当时，，满足.
故的通项公式为；
若选择②
即，整理得：
故，即数列是首项为，公差为的等差数列，
与选择①相同，故的通项公式为.
（2）根据（1）中所求可得：，则
故
又，故可得.
21．设函数.
(1)求函数的最小正周期及图象的对称轴；
(2)在锐角中，若，且能盖住的最小圆的面积为，求的取值范围.
【答案】(1)最小正周期为，对称轴方程是直线，
(2)
【分析】（1）根据三角恒等变换，化简得出，进而得出周期.解，，即可得出函数的对称轴；
（2）根据已知可推得，的外接圆半径，进而根据正弦定理可得出，化简得出.然后根据已知得出的范围，结合正弦函数的图象与性质，即可得出答案.
【详解】（1）因为
，
所以函数的最小正周期，
令，，解得，，
所以对称轴方程是直线，.
（2）因为为锐角三角形，所以，.
因为，所以，
所以，所以.
因为能盖住的最小圆为的外接圆，设半径为，
所以，得.
由正弦定理可得，可得，
，.
所以，
.
因为为锐角三角形，所以，
即，解得，所以，
根据正弦函数的图象以及性质可知，
所以，
所以的取值范围是.
22．已知函数.
（1）讨论在上的单调性；
（2）若，过点可作曲线的3条切线，求证：.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据函数的导数在上的值域，分类讨论进行判断函数单调性即可；
（2）根据导数的几何意义求出函数的切线方程，把方程有三个不等实根转化为函数零点问题，构造新函数，利用导数进行证明即可.
【详解】解：（1）由题意得.
当时，.
①若，则对任意，恒成立，
在上单调递增；
②若，则对任意，恒成立，
在上单调递减；
③若，则，
当时，当时，，
在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）设切点为，则，
∴切线方程为.
将代入上式，整理得.
构造函数，
则，
当时，，当时，，
在和上单调递增，在上单调递减.
由题可知函数有3个不同的零点，
，
，
.
【点睛】解题关键 解决本题的关键是将“过点可作曲线的三条切线”转化为有3个不同的零点，通过构造新函数利用导数进行证明..