2024届辽宁省铁岭市一般高中协作校高三上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2024届辽宁省铁岭市一般高中协作校高三上学期期中考试数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出集合，再根据并集的定义求解即可.
【详解】因为，，
所以．
故选：A.
2．已知向量，，若，则（ ）
A．10B．40C．D．
【答案】D
【分析】根据向量平行性质求出，根据向量坐标模的计算公式即可.
【详解】因为，所以，则．
故选；.
3．已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．25B．36C．42D．56
【答案】B
【分析】根据基本不等式“1”的妙用求出最值.
【详解】因为，，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为36.
故选：B.
4．已知正项数列的前项和为，且满足，若，，则（ ）
A．3B．4C．9D．16
【答案】C
【分析】由题设易知数列为等比数列，设公比，应用等比数列前n项和公式求公比，进而求目标式的值.
【详解】因为，所以数列为等比数列，设公比为，
则，得，解得（舍去），
所以．
故想：C
5．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用函数的奇偶性及特殊点一一判定即可.
【详解】因为的图象关于原点对称，所以为奇函数，
而为偶函数，为奇函数，为奇函数，为偶函数，
应该为一个奇函数与一个偶函数的积，排除B与D.
又因为，不满足，排除A，
满足，C正确.
故选：C
6．已知角的终边与单位圆交于点，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由三角函数的定义结合二倍角的余弦公式求解即可.
【详解】点在单位圆上，则，
所以．
故选：B.
7．已知，，，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先将不等式转化为关于的不等式，再根据参变分离，转化为求函数的最值.
【详解】因为，，则，所以，
又，可得，令，
则原题意等价于，，即，
，当时，取到最大值，
所以实数m的取值范围是．
故选：C
8．曲线在点处的切线在y轴上的截距的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义得到切线方程，即可得到纵截距，然后构造函数，求导，根据单调性求值域即可.
【详解】因为，所以所求切线方程为，
令，则，
令，则.
所以当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
所以.
因为，，所以该切线在y轴上的截距的取值范围为.
故选：B.
二、多选题
9．设非零向量，满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据得到，即可判断AB选项；根据数量积的运算律得到，即可判断CD选项.
【详解】因为，所以，
即，所以，A错误，B正确.
因为，所以，所以，C正确，D错误.
故选：BC.
10．已知函数的定义域为，为奇函数，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据知关于对称，根据知关于对称，根据 ， 知，周期为 ，求值即可.
【详解】由为奇函数得，
令 ，则，即，
所以的图象关于点对称，所以，
因为，所以关于直线对称，所以，
由和知，，
所以，所以的周期为8，
由知，当时，，A正确；
因为关于直线对称，所以，
由的周期为8知，，C正确；
因为的周期为8，所以，题干所给条件不足，所以BD错.
故选：AC
11．信号处理是对各种类型的电信号，按各种预期的目的及要求进行加工过程的统称，信号处理以各种方式被广泛应用于医学，声学、密码学、计算机科学、量子力学等各个领域.而信号处理背后的“功臣”就是余弦型函数，的图象就可以近似地模拟某种信号的波形，下列结论正确的是（ ）
A．为偶函数B．的图象关于直线对称
C．为周期函数，且最小正周期为D．设的导函数为，则
【答案】ABD
【分析】证明判断A，通过判断B，通过是否有判断C，求出导函数，由正弦函数性质判断D．
【详解】因为，所以为偶函数，A正确；
因为
，所以的图象关于直线对称，B正确；
因为，所以的最小正周期不是，C错误；
，当且仅当时，等号成立，显然取等号的条件不成立，所以，D正确.
故选：ABD．
12．已知等差数列的前项和为，的公差为，则（ ）
A．B．
C．若为等差数列，则D．若为等差数列，则
【答案】BD
【分析】A选项，根据等差数列性质得到，A错误；B选项，由等差数列性质得到；C选项，计算出，要想为常数，则，故C不正确；D选项，根据等差数列通项公式的函数特征得到，D正确.
【详解】A选项，，而不一定相等，A不正确；
B选项，因为，，
所以，故B正确；
C选项，因为，
若为等差数列，则
，
要想为常数，则，故C不正确；
D选项，由题可知，
若为等差数列，则为关于的一次函数，
所以，即，故D正确．
故选：BD
三、填空题
13．在中，D为CB上一点，E为AD的中点，若，则 ．
【答案】/0.1
【分析】由平面向量的线性运算和三点共线的充分必要条件得出结果.
【详解】因为E为AD的中点，所以，
因为B，D，C三点共线，所以，
所以，解得．
故答案为：
14．已知：“”，：“”，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】的解为，的解为：，再根据是的必要不充分条件，从而求解.
【详解】对于，由可解得，
对于，由可解得，
因为是的必要不充分条件，所以解得．
故的取值范围为：.
故答案为：.
15．生物学家为了了解某药品对土壤的影响，常通过检测进行判断.已知土壤中某药品的残留量y（mg）与时间t（年）近似满足关系式（），其中a是残留系数，则大约经过 年后土壤中该药品的残留量是2年后残留量的.（参考数据：，答案保留一位小数）
【答案】
【分析】根据题意，得出等式关系，再利用对数函数的性质运算.
【详解】当时，，
由，得
故答案为：
16．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.为了纪念数学家高斯，我们把取整函数，称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，例如，.已知等差数列满足，，，则 .
【答案】8
【分析】根据等差数列的通项公式得到，根据得到，然后利用裂项相消的方法得到，随后根据定义求即可.
【详解】根据题意得，
因为，所以，
所以，
所以.
故答案为：8.
四、解答题
17．已知递增的等比数列满足，且，，成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前20项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差中项的性质得到，然后根据等比数列的通项公式列方程求解即可；
（2）利用分组求和的方法计算即可.
【详解】（1）设公比为，因为，，成等差数列，所以，
所以，
解得或（舍去），
所以.
（2）根据题意得
.
18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角B的大小；
(2)若的面积为6，，求b的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式化简得，即可求解.
（2）利用三角形面积公式求解，然后利用余弦定理求解即可.
【详解】（1）因为，所以.
因为，所以，又，，所以.
（2）因为，所以.
由余弦定理可得，
所以.
19．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且向量，，.
(1)求角A的大小；
(2)若为上一点，且，，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量垂直得到，计算化简得到，根据余弦定理得到答案.
（2）根据余弦定理得到，再利用均值不等式得到，计算面积得到最值.
【详解】（1），故，
即，故，
整理得到，即，，故.
（2），，故为等边三角形，即，

中：，
即，
即，当且仅当时等号成立.
.
20．已知函数在处取得极值.
(1)求的值；
(2)求在上的值域.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）对给定函数求导，利用函数极值点的意义求出并验证即得.
（2）由（1）的结论，利用导数求出在指定区间上的最大最小值即可得解.
【详解】（1）函数，求导得，
由在处取得极值，得，解得，
此时，当时，，当时，，
即函数在处取得极值，
所以.
（2）由（1）知，，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，而，即，
所以函数在上的值域为.
21．已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和及其最小值.
【答案】(1)；
(2)，的最小值为.
【分析】（1）根据已知求得，把n分为奇数、偶数分别求得通项公式；
（2）由（1）的结论，求出，再利用错位相减法求和并求出其最小值即得.
【详解】（1）由，得，两式相减得，
而，，则，
因此当n为正奇数时，，当n为正偶数时，，
所以的通项公式是.
（2）由（1）知，
，
则有，
两式相减得
，
因此，
显然当时，，，当时，，
又，因此，
所以数列的前项和，的最小值为.
22．已知函数，.
(1)求的单调区间；
(2)证明：.
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导函数的正负求得函数单调性即可得出的单调区间；
（2）对函数求导并判断单调性，利用单调性可得，，即可知，求出函数最大值即可得出证明.
【详解】（1）的定义域为，
.
令，得，此时函数单调递增；
令，得，此时函数单调递减.
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）证明：令，
则.
当时，.
当时，令，则，
因为，，所以，即单调递减.
又，，
所以存在，使.
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
即可得.
因为，所以，
即，所以.
因为，所以，且在上单调递减，
所以，同时，可得.
因为，所以，
又因为，所以，
即.
【点睛】方法点睛：证明不等式问题可根据不等式的特征，合理构造函数并利用导数得出函数单调性，将不等式转化成求函数最值问题即可.