2024届山东省名校考试联盟高三上学期期中检测数学试题含答案

这是一份2024届山东省名校考试联盟高三上学期期中检测数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知全集，集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式确定集合U，然后由补集定义可得.
【详解】由得，即，
所以，
所以．
故选：D．
2．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】根据，再利用复数的几何意义从而求解.
【详解】 因为，
所以在复平面内对应的点是，位于第一象限．故A项正确.
故选：A.
3．已知函数：函数的定义域为：函数的值域为，则（ ）
A．是的充分不必要条件B．是的必要不充分条件
C．是的充要条件D．既不是的充分条件，也不是的必要条件
【答案】A
【分析】根据对勾函数的性质，即可结合充分不必要条件的定义判断.
【详解】函数在单调递增，在单调递减，
若函数的定义域为，则函数的值域为，
反之不成立，例如若函数的定义域为，函数的值域也为，
故选:A．
4．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用倍角公式和诱导公式求解即可.
【详解】
故选：B．
5．各项均为正数的等比数列的前项和为，且成等差数列，若，则（ ）
A．或15B．或－5C．15D．
【答案】C
【分析】首先由等差数列的性质求得，再利用等比数列的前n项和公式求答案.
【详解】由题意可得，又为各项均为正数的等比数列．设公比为，
，即，所以
解得（舍），，所以．
故选：.
6．已知函数为上的单调递增函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据指数型复合函数的单调性以及一次函数的单调性，即可结合分段函数的性质求解.
【详解】函数为上的增函数，，解得，
故选:D．
7．在中的平分线交边于点，记，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先根据题干条件，结合三角形的面积公式可得，再结合向量的线性运算求答案.
【详解】在中的平分线交边于点，
所以，所以，
，
即，
故选：B．
8．定义在上的可导函数，满足，且，若，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合条件求导可得在上为减函数，由其单调性即可判断的大小关系.
【详解】由已知可得：，令，
则，且
，
再令，则，
当时，为增函数；
当时，为减函数；
，
在上恒成立；在上为减函数；
又因为
故令，当时，为增函数；
故选：C
二、多选题
9．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．B．函数的图象关于直线对称
C．函数在上单调递减D．将函数图象向左平移个单位所得图象关于轴对称
【答案】AC
【分析】根据题中给定图象可得函数解析式，然后利用正弦函数的性质和图象变换对各个选项进行判断即可．
【详解】由图可知，所以又，所以，
则，
将点代入得：，所以，
又，所以，所以，
对于A，因为，故A正确；
对于B，因为，取不到最值，所以不是对称轴，故B不正确；
对于C，因为，所以，
所以函数在上单调递减，故C正确：
对于D，将函数图象向左平移个单位，
可得函数，
当时，，
取不到最值，故不关于轴对称，故D错误．
故选：AC
10．已知数列是公比为的等比数列，前项和为．数列是公差为的等差数列，前项和为，下列说法错误的有（ ）
A．一定是关于的二次函数．
B．若，则．
C．，是为单调递增数列的充分不必要条件．
D．数列一定是等比数列．
【答案】ABD
【分析】根据等差数列等比数列的概念及性质分别判断各选项.
【详解】A选项：当时，是关于的一次函数，A选项错误；
B选项：当，为定值，所以不能确定，B选项错误；
C选项：当，则为单调递增数列，当为单调递增数列时也可能，，C选项正确；
D选项：当时，，数列不是等比数列，D选项错误；
故选：ABD．
11．若实数满足，则（ ）
A．当时，有最大值B．当时，有最大值
C．当时，有最小值D．当时，有最小值
【答案】ACD
【分析】根据基本不等式求最值后判断．
【详解】当时，，当且仅当时等号成立，有最大值，最大值为18，选项A正确；
当时，，设，则化为，因为，，所以方程有两不等实根，，只要，则，即方程有两个不等正根，相应的关于的方程都有实数解，所以取任意大的正实数，都存在使之成立，从而即没有最大值，选项B错误；
当时，，
当且仅当时时有最小值，最小值为－6，选项C正确；
当时，，
当且仅当时等号成立，有最小值，最小值为，选项D正确．
故选：ACD．
12．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的值域是
B．若，则
C．若，则方程共有5个实根
D．不等式在上有且只有3个整数解，则的取值范围是
【答案】BD
【分析】A选择利用导数研究函数的单调性即可确定值域，需要注意当时，且；B选项需要设导函数的零点，进而可确定函数的单调区间，结合对勾函数的性质可确定答案；C选项，方程，所以两根为或，再利用导数研究的图象，结合图象可确定零点个数；D选项，将原不等式化为，令，利用导数求函数的单调性，进而确定
在上的3个整数解为－2,－1,0，再构造不等式组求答案即可.
【详解】对于A，函数，
当和时，为减函数；
当时，为增函数：
当时，且，而，
如下图所示：
所以值域为，选项A错；
对于B，由已知得，，
显然在上为增函数，且，，
所以使，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增； ，
结合对勾函数的性质，，选项B正确；
对于C，方程，所以两根为或，
因为，所以，
明显为增函数，且，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，且时，且，
而，，，，
所以函数的图象如下：
所以有1个根， 有5个根，
所以方程有6个根，选项C项错误：
对于D，不等式，
当时，不等式可化为，
令，则，
当时，，在上为增函数，
则在上的3个整数解为－2,－1,0，
，即，解得，故选项D正确．
故选：BD.
【点睛】关键点睛：注意数形结合的思想的应用，利用导数求出函数的增减区间，进而可确定函数的大致图象，再结合图象分析即可.
三、填空题
13．已知函数，则在点处切线方程为 ．
【答案】
【分析】对求导可得计算出得，再根据题意利用导数的几何意义求解即可.
【详解】对求导可得，则，
解得，
，
，
切线方程为，整理得.
故答案为：.
14．函数是定义在上的函数，且为偶函数，是奇函数，当时，，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，得到以为对称轴，以为对称中心，进而推得，得到是以为周期的周期函数，结合题意和，即可求解.
【详解】因为函数是偶函数，且是奇函数，
可得函数以为对称轴，以为对称中心，
即且，所以，
即，可得，所以，
所以函数是以为周期的周期函数，
又因为当时，，可得.
故答案为：.
15．在中，内角的对边分别为，已知，且的面积为，则边的值为 ．
【答案】
【分析】根据正余弦定理和三角形面积公式求解即可.
【详解】因为，
所以，
即，
由正弦定理角化边得，
所以，
由正弦定理，
所以即，化简得，
又的面积为
解得．
故答案为：.
16．在中，边上的两条中线分别为，若，则 ．
【答案】
【分析】根据向量的中线公式及向量垂直化简，可得关于的方程，即可得解.
【详解】如图，
设，
则，
，，
，
化简得，即，
所以，解得或（舍），
．
故答案为：
四、解答题
17．在中，角所对的边分别为，已知，且．
(1)求的值；
(2)若的面积，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合余弦定理，化简整理得到的值.
（2）先利用三角形面积公式得的值，再结合题意利用余弦定理得，进而列方程组得到的值.
【详解】（1）由题意，将 代入，
，即，所以．
故.
（2）由于，
又为锐角，即.
，.
所以，结合解得.
故.
18．数列中，．
(1)求数列的通项公式．
(2)求前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据累乘法或者利用等比数列的定义，结合等比通项的求解即可.
（2）根据错位相减法即可结合等比数列的求和公式即可求解.
【详解】（1）方法1：
当．
又也适合上式，．
方法2：为公比为2，首项为1的等比数列．
，
（2）由（1）知，①
②
①－②，
19．已知函数．
(1)若函数在上単调递增，求的取值范围；
(2)若函数的图象与有且只有一个交点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得在恒成立，分离参数转化为最值求解即可；
（2）题意等价于只有一个根，即只有一个根，令，所以的图像与的图像只有一个交点，利用导数求出的单调性和极值，可得解.
【详解】（1）由，则，
因为函数在上单调递增，
所以在恒成立，
即，
而在上单调递增，
当时，，
所以的取值范围．
（2）与有且只有一个交点，
即只有一个根，只有一个根，
令，所以的图像与的图像只有一个交点，
，令，解得或，
令，解得，
所以在上单调递增，上单调递减，
所以，，
又因为的图像与的图像只有一个交点，所以.
20．在中，角所对的边分别为，，，且．
(1)若，求的周长；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意由向量平行并利用正弦定理可得，由余弦定理可解得，可得周长为；
（2）利用正弦定理以及边的比例关系可得，再由辅助角公式以及角的范围即可求得的取值范围为.
【详解】（1）因为，故
由正弦定理得
又，则，
即，
又，，而，
故，所以可得；
由余弦定理得，，
即，整理得，
解得或（舍去），，
故的周长为．
（2）如下图所示：
设．
由正弦定理得，即
可得，
所以，
其中，
又，
又，则当时，取得最大值，
又，
所以，
可得的取值范围为
21．已知数列，满足且点在函数的图像上，且．
(1)证明：是等比数列．并求．
(2)令，设的前项和，证明．
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【分析】（1）先求出，从而求得，即，从而求解.
（2）由（1）得，求出，从而求解.
【详解】（1）因为在函数上，
所以：，又，
所以：，即：，
且，可知，
两边取以为底的对数，，
又，，
所以：是首项为，公比为的等比数列．
所以：，
所以：.
（2）因为，，
所以：，
则：，得：，
又因为：，
，
即证：.
22．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若方程有两个不相等的实根，，证明：
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，分情况讨论导函数的正负情况，进而讨论原函数的单调性；
（2）由已知可将方程转化为，构造函数，根据导数判断其单调性可得，所以，是方程的两个实根，即，是方程的两个实根，构造函数，判断单调性，令，，不妨设，则，要证，即证，再构造，根据导数可判断所以在上单调递减，即可判断，所以，即，即.
【详解】（1）由，
得
，
且函数的定义域为
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，时，，在上单调递增，
时，，在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）方程即，即，
即，
令，则
因为，所以在上单调递增，
所以，即，所以．
因为，是方程的两个实根，所以，是方程的两个实根，
即，所以，是方程的两个实根．
令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增；
，，当时，
令，，不妨设，则，
要证，即证，即证，
令，
则，在上单调递增，
且，所以，所以在上单调递减，
又，所以，即，
因为在单调递增，所以，即，
所以.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．