2024届四川省成都市成都外国语学校高三上学期期中数学（理）试题含答案

这是一份2024届四川省成都市成都外国语学校高三上学期期中数学（理）试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】B
【分析】先求解一元二次不等式得到集合，再求出即可.
【详解】，所以.
故选：B.
2．在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由复数的几何意义确定复数，再由复数乘法求.
【详解】因为复数z对应的点的坐标为，
所以，
所以，
故选：B．
3．已知函数则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由分段函数概念，代入对应解析式求解即可.
【详解】∵
∴.
故选：A.
4．函数在区间的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分析函数的奇偶性及的函数值，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】因为，，所以，即函数为偶函数，排除C，D；
因为，所以排除B，
故选：A．
5．设，是两个不共线的向量，已知，，，若三点A，B，D共线，则的值为（ ）
A．－8B．8C．6D．－6
【答案】B
【分析】根据三点A，B，D共线，可得存在唯一实数使，进而可得出答案.
【详解】由已知得，
三点A，B，D共线，存在唯一实数使，
，
，解得.
故选：B.
6．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将所求问题转化为真子集求参数问题，结合对数不等式即可求解.
【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，
所以，
所以，解得，
故即实数的取值范围是.
故选：C.
7．设，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式可推出，结合角的范围求得，即可求得答案.
【详解】由题意，
则，即，
故，即，
由于，所以，
则，即，
故，
故选：B
8．“关注夕阳、爱老敬老”—某马拉松协会从年开始每年向敬老院捐赠物资和现金.下表记录了第年(年是第一年)与捐赠的现金(万元)的对应数据，由此表中的数据得到了关于的线性回归方程，则预测年捐赠的现金大约是
A．万元B．万元C．万元D．万元
【答案】C
【分析】由已知求出，代入回归直线的方程，求得，然后取，求得的值，即可得到答案.
【详解】由已知得，，
所以样本点的中心点的坐标为，代入，
得，即，所以，
取，得，
预测2019年捐赠的现金大约是万元.
【点睛】本题主要考查了线性回归方程以及应用，其中解答中熟记回归直线的方程经过样本中心点是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
9．上海世博会期间，有4名同学参加志愿工作，将这4名同学分配到3个不同场馆工作，要求每个场馆至少一人，则不同的分配方案有（ ）
A．36B．30C．24D．42
【答案】A
【分析】先将4名志愿者分成3组，两组1人，一组2人，再分别分配给3个场馆，即可得出答案.
【详解】先将4名志愿者分成3组，两组各1人，一组2人，
若两组各1人，一组2人，分别分配给3个场馆，则有种分法，
因此不同的分配方案共36种.
故选：A.
10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．
B．直线是图象的一条对称轴
C．图象的对称中心为
D．将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象
【答案】C
【分析】对A，根据图最大值为3可得，再根据周期求得，再根据最高点判断可得，即可判断；
对B，代入判断函数是否取最值即可；
对C，根据正弦函数对称中心的公式求解即可；
对D，根据三角函数图象平移性质判断即可.
【详解】对A，由最大值为3可得，由图知，故，故，
由图象最高点可得，即，
又，故，故.
故，故A错误；
对B，，不为函数最值，故直线不是图象的一条对称轴，故B错误；
对C，令，解得，故对称中心为，故C正确；
对D，的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，故D错误；
故选：C
11．已知是边长为4的等边三角形，将它沿中线折起得四面体，使得此时，则四面体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可得平面，将四面体转化为直三棱柱，四面体的外接球即为直三棱柱的外接球，结合直三棱柱的性质求外接圆半径.
【详解】因为为等边三角形，且为中线，则，
即，且平面，
可得平面，
设的外接圆圆心为，半径为，
因为，由余弦定理可得，
且，则，所以，
将四面体转化为直三棱柱，四面体的外接球即为直三棱柱的外接球，
设四面体的外接球的球心为，半径为，
则，则，
所以四面体的外接球表面积为.
故选：D.
12．已知函数，若函数有5个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】通过分析得到当时，要有2个根，参变分离后构造函数，研究其单调性和极值，数形结合求出实数a的取值范围.
【详解】与关于y轴对称，且，
要想有5个零点，
则当时，要有2个根，结合对称性可知时也有2个零点，
故满足有5个零点，
当时，，不合题意；
当时，此时
令，定义域为，
，
令得：，，令得：，
故在上单调递增，在上单调递减，
且当时，恒成立，
在处取得极大值，其中，
故，此时与有两个交点.
故选：C
【点睛】对于求解函数零点个数问题，由以下的方法：（1）函数单调性与零点存在性定理得到函数零点个数；（2）参变分离后构造函数进行求解零点个数；（3）转化为两函数交点个数问题.
二、填空题
13．若实数、满足线性约束条件，则的最大值为 .
【答案】
【分析】令，作出不等式所表示的可行域，平移直线，找出使得该直线在轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数即可得解.
【详解】令，作出不等式组所表示的可行域如下图中的阴影部分区域所示：
联立，解得，即点，
平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，
此时，取最大值，即.
故答案为：.
14．展开式中含项的系数为 ．
【答案】
【分析】写出展开式的通项，从而代入计算可得.
【详解】二项式展开式的通项为（其中且），
则展开式中含项为，即展开式中含项的系数为.
故答案为：
15．已知定义在R上的函数及其导函数满足，若，则满足不等式的x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由条件，构造函数，由得在上单调递增，再利用单调性解不等式即可.
【详解】由题意，对任意，都有成立，
即．
构造函数，
则，
所以函数在上单调递增．
不等式即，即．
因为，所以．
故由，得.
所以不等式的解集为，
故答案为：.
16．设函数（，），若是函数的零点，是函数的一条对称轴，在区间上单调，则的最大值是 .
【答案】14
【分析】根据正弦型函数的零点、对称轴，结合正弦型函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为是函数的零点，是函数的对称轴，
所以，，解得，.
因为在区间上单调，则，得，所以.
当时，，得，，即，，又，则，得.
当时，，其中，于是在区间上不单调.
当时，，得，，即，，又，则，得.
当时， ，满足在区间上单调.
综上，的最大值是14.
故答案为：14
【点睛】关键点睛：本题利用正弦型函数的单调性、对称性在求解时，检验区间是否单调是本题的关键.
三、解答题
17．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
（1）求的值；
（2）若csB，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【答案】（1）2（2）5
【分析】（1）利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式即可求解；
（2）由（1）利用正弦定理可得，利用同角三角函数基本关系式可求的值，结合三角形的面积公式可求，联立解得，的值，根据余弦定理可求的值，即可得解三角形的周长．
【详解】（1）∵，
∴sinBcsA﹣2sinBcsC＝2sinCcsB﹣sinAcsB，sinBcsA+sinAcsB＝2sinCcsB+2sinBcsC，
可得sin（A+B）＝2sin（B+C），即sinC＝2sinA，
∴2．
（2）∵由（1）可得sinC＝2sinA，
∴由正弦定理可得c＝2a，①
∵csB，△ABC的面积为，
∴sinB，由acsinBac•，解得ac＝2，②
∴由①②可得a＝1，c＝2，
∴由余弦定理可得b2，
∴△ABC的周长a+b+c＝1+2+2＝5．
【点睛】本题主要考查了正弦定理、两角和的正弦函数公式、同角三角函数基本关系式，考查了三角形的面积公式、余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
18．某中医研究所研制了一种治疗A疾病的中药，为了解其对A疾病的作用，要进行双盲实验．把60名患有A疾病的志愿者随机平均分成两组，甲组正常使用这种中药，乙组用安慰剂代替中药，全部疗期后，统计甲、乙两组的康复人数分别为20和5．
(1)根据所给数据，完成下面列联表，并判断是否有的把握认为使用这种中药与A疾病康复有关联？
(2)若将乙组未用药（用安慰剂代替中药）而康复的频率视为这种疾病的自愈概率，现从患有A疾病的人群中随机抽取3人，记其中能自愈的人数为，求的分布列和数学期望．
附表：
附：，其中．
注：双盲实验：是指在实验过程中，测验者与被测验者都不知道被测者所属的组别，（实验组或对照组），分析者在分析资料时，通常也不知道正在分析的资料属于哪一组．旨在消除可能出现在实验者和参与者意识当中的主观偏差和介入偏好．安慰剂：是指没有药物治疗作用，外形与真药相像的片、丸、针剂．
【答案】(1)列联表答案见解析，认为中药与疾病康复有关联
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据题意列出列联表，利用公式求得的值，结合附表，即可得到结论；
（2）由题意求得患有疾病的自愈概率为，结合随机变量，即可求解.
【详解】（1）依题意，列出列联表如下：单位：人
零假设为：组别与康复相互独立，即中药与疾病康复无关，
则，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即有的把握认为中药与疾病康复有关联.
（2）由题意，乙组末用药而康复的频率为，
所以患有疾病的自愈概率为，
随机变量的可能取值为，由题意得，随机变量，
所以，
，，，
所以的分布列为：
所以的数学期望.
19．如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，，，，为的中点，，．

(1)证明：平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据题意，证得，，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面；
（2）由（1）和等腰可知，，，两两垂直，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
在直角中，由，且为的中点，可得，
因为，，
所以，且，
又因为，，，可得，所以，
因为，，且平面，，
所以平面.
（2）解：由（1）和等腰可知，，，两两垂直，
以为坐标原点，向量，，方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示
可得，，，，，
则，又由，可得点的坐标为，
设平面的法向量为，
由，，则，
取，可得，，所以平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，
由，，则，
取，可得，，所以平面的一个法向量为，
则，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

20．已知椭圆过点两点，椭圆的离心率为，为坐标原点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)设P为椭圆上第一象限内任意一点，直线与y轴交于点M，直线与x轴交于点N，求证：四边形的面积为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据离心率和可解得，可写出椭圆的方程；
（2）设分别求出直线，的方程并解出的坐标，可得四边形的面积.
【详解】（1）根据题意可知，
又，即可得，结合，
解得；
即椭圆的方程为.
（2）证明：由（1）可知，如下图所示：

设，且；
易知直线的斜率，所以的直线方程为；
同理直线的斜率，所以的直线方程为；
由题意解得；
所以可得，
四边形的面积
又，可得，
故，
即四边形的面积为定值.
21．已知函数
(1)当时,求的极值；
(2)若对恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）有极小值无极大值；（2）.
【分析】（1）判断函数的单调性，利用求导，判断导函数与0的关系，问题得解决；
（2）求恒成立，求参数的取值范围. 设，求导，利用分类讨论的思想，问题得以解决．
【详解】（1）若 为减函数，
，为增函数，
有极小值无极大值；
（2）在恒成立，
①若
为增函数， 即不成立；不成立.
② 在恒成立,
不妨设
或
若 则 为增函数, (不合题意);
若 为增函数，（不合题意）；
若 为减函数， （符合题意）.
综上所述，若时，恒成立，则 .
【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立 ；
（3）若恒成立，可转化为.
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为.
（1）求的直角坐标方程和的直角坐标；
（2）设与交于，两点，线段的中点为，求.
【答案】（1），（2）
【分析】（1）利用互化公式把曲线C化成直角坐标方程，把点P的极坐标化成直角坐标；
（2）把直线l的参数方程的标准形式代入曲线C的直角坐标方程，根据韦达定理以及参数t的几何意义可得．
【详解】（1）由ρ2得ρ2+ρ2sin2θ＝2，将ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入上式并整理得曲线C的直角坐标方程为y2＝1，
设点P的直角坐标为（x，y），因为P的极坐标为（，），
所以x＝ρcsθcs1，y＝ρsinθsin1，
所以点P的直角坐标为（1，1）．
（2）将代入y2＝1，并整理得41t2+110t+25＝0，
因为△＝1102﹣4×41×25＝8000＞0，故可设方程的两根为t1，t2，
则t1，t2为A，B对应的参数，且t1+t2，
依题意，点M对应的参数为，
所以|PM|＝||．
【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．
23．已知函数的最大值为4（其中）.
（1）求的值；
（2）若，求的最小值.
【答案】（1）3；（2）.
【分析】（1）根据绝对值三角不等式可求得m的值；
（2）运用柯西不等式可求得最小值.
【详解】解：(1).，
又，所以m=3.
（2）.由（1）知，由柯西不等式有：，
当且仅当时等号成立
所以，，所以最小值为.
康复
未康复
合计
甲组
20
30
乙组
5
30
合计
康复
末康复
合计
甲组
20
10
30
乙组
5
25
30
合计
25
35
60