北师大版七年级数学上册同步学与练 第02讲 展开与折叠、截一个几何体、三视图（原卷版+解析版）

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第02讲 展开与折叠、截一个几何体、三视图1.掌握各类立体图形的展开图；2.掌握正方体展开图的判断方法；3.掌握正方体展开图的相对面的判断方法；4.掌握展开图的计算方法.5.掌握截面的概念；6.掌握立体图形三视图的判断方法；7.掌握求解组合体三视图小立方体的个数；8.掌握三视图的计算方法.知识点01 几何体的展开图（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．（2）常见几何体的侧面展开图：①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③直棱柱的侧面展开图是长方形．知识点02 展开图折叠成几何体通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．知识点03 正方体的展开图（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象．（2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．（3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面．知识点4 截一个几何体（1）截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．（2）截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形．知识点05 简单几何体的三视图（1）画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．（2）常见的几何体的三视图：知识点06 简单组合体的三视图（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．题型01 几何体展开图的认识【典例1】如图是某几何体的展开图，该几何体是（    ）  A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．三棱柱【变式1】如图是某个几何体的展开图，该几何体是（　　）  A．三棱柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．圆柱【变式2】下列图形中，是长方体表面展开图的是（    ）A．   B．  C．  D．  题型02 正方体几种展开图的识别【典例1】下列图形中，不是正方体的平面展开图的是（    ）A．  B．C．  D．  【变式1】下列图形中不能折叠成正方体的是（    ）A．   B．   C．   D．  【变式2】下列图形中，能围成正方体的是（   ）A．   B．  C．   D．  题型03 正方体相对两面上的字【典例1】2022年11月，党的二十大报告热词双语说逐渐更新，第①期提到了“中国式现代化”，将这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图所示是它的一种展开图，则在原正方体中，与“国”字所在面相对面上的汉字是（　　）A．式 B．现 C．代 D．化【变式1】如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“豫”字所在面相对的面上的汉字是（    ）A．魅 B．力 C．中 D．原题型04 含图案的正方体的展开图【典例1】如图的正方体纸盒，只有三个面上印有图案，下面四个平面图形中，经过折叠能围成此正方体纸盒的是（    ）  A．B．  C．  D．  【变式1】如图，已知一个正方体是三个面分别标有〇、◎、※三种图案，则它的展开图可能是（　　）A．B．C．D．题型05 由展开图计算几何体的表面积、体积【典例1】如图，是一个几何体的表面展开图：(1)请说出该几何体的名称；(2)求该几何体的表面积；(3)求该几何体的体积．【变式1】如图是底面为正方形的长方体的表面展开图．(1)折叠成长方体后，与点H重合的是点_____________；与点D重合的是点_____________．(2)若，则该长方体的表面积和体积分别是多少？题型06 截一个几何体【典例1】以下四个几何体，①球；②圆锥；③圆柱；④正方体；③五棱柱；能截出长方形的几何体共有（    ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式1】用平面去截一个几何体，如果所得的任意截面都是圆，那么被截的几何体是________．【变式2】若用一个平面去截一个五棱柱，截面的边数最少是_____________；最多是____________．题型07 三视图【典例1】如图所示几何体，从正面看是（    ）  A．  B．   C．   D．  【典例2】如图，是一个几何体从正面、左面、上面看得到的图形，则这个几何体是（   ）A． B． C． D．【变式1】如图是由5个相同的正方体组成的立体图形，从正面看到的平面图形是（    ）．A． B． C． D．【变式2】如图所示的几何体从正面看到的图形（　　）A． B． C． D．题型08 画三视图【典例1】如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体，请画出这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的平面图形．（用阴影表示）【变式1】如图是由11个大小相同的小立方块搭成的几何体．从正面、左面、上面观察该几何体，分别在方格纸中画出你所看到的几何体的形状图．题型09 根据三视图求原几何体的小立方块的个数【典例1】一个几何体是由若干个大小相同的小正方体搭成，从左面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示，这样的几何体只有一种吗？它最多需要多少个小正方体？最少需要多少个小正方体？【变式1】如图是由一些棱长都为的小正方体组合成的简单几何体．(1)从正面、左面和上面观察这个几何体，请你在下面相应的位置分别画出你所看到的几何体的形状图；(2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从左面和上面所看到的几何体的形状图不变，最多可以再添加 块小正方体．【变式2】由8个棱长都为的小正方体搭成的几何体如左图．(1)请利用图2中的网格画出这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图．（一个网格为小立方体的一个面）(2)图1中8个小正方体搭成的几何体的表面积（包括与地面接触的部分）是 cm2．(3)若要用大小相同的小立方块搭一个几何体，使得它从上面和左面看到的形状图与你在图2方格中所画的形状图相同，则搭这样的一个几何体最多需要 个小立方块．题型10 根据三视图求原几何体的表面积和体积【典例1】如图，是一个几何体分别从正面、左面、上面看的形状图．(1)该几何体名称是 　 　；(2)根据图中给的信息，求该几何体的表面积和体积．【变式1】如图，是某几何体的展开图．（1）画出这个几何体从正面，左面，上面看到的平面图形；（2）求这个几何体的体积（结果保留）．一、选择题1．用一个平面去截一个三棱柱，截面的形状不可能是（　　）A． B． C． D．2．如图所示的物体是一个几何体，则从正面看到的图形是（    ）．A． B． C． D．3．某同学学习了正方体的表面展开图后，在如图所示的正方体的表面展开图上写下了“传承红色文化”六个字，还原成正方体后，“红”的对面是（    ）  A．传 B．承 C．文 D．化4．下列图形中经过折叠可以围成一个棱柱的是（    ）A．   B．  C．  D．  5．小聪要制作一正方体骰子，使六个面上分别标有1~6个点，而且相对的两个面的点数之和都等于7，则以下展开图中，可以做成正方体骰子的有（    ）  A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题6．图中几何体的截面（图中阴影部分）依次是________、________、________、________．  7．一个正方体的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“全面落实双减”，把它折成正方体后，与“实”相对的字是___________； 8．一个正方体的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，从三个不同的方向看到的情形如图1所示，图2为这个正方体的侧面展开图，则图中的表示的数字是________．9．分别从正面、上面、左面观察下列物体，得到的平面图形完全相同的是______填写序号．10．如图，是由一些小立方块所搭几何体的三种视图，若在所搭几何体的基础上（不改变原几何体中小立方块的位置），继续添加相同的小立方块，以搭成一个大正方体，至少还需要_____个小立方块．三、解答题11．如图，六个平面图形中，有圆柱、圆锥、三棱柱（它的底面是三边相等的三角形）的表面展开图，请你把立体图形与它的表面展开图用线连起来（不考虑尺寸）．  12．如图是3个几何体的平面展开图．  (1)请写出对应几何体的名称：①　　　；②　　　　；③　　(2)图③中，侧面展开图的宽（较短边）为，圆的半径为，求图③所对应几何体的表面积．（结果保留）13．如图是由7个完全相同的小正方体搭成的几何体，请分别画出从正面、左面和上面看到的这个几何体的形状图．14．一个圆柱的底面半径是，高是，把这个圆柱放在水平桌面上，如图．(1)如果用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得截面的形状是 ；(2)如果用一个平面沿竖直方向去截这个圆柱，所得截面的形状是 ；(3)请你求出在（2）的条件下所截得的最大截面面积．15．5个棱长为1的正方体组成的几何体如图所示．  (1)该几何体的体积是　　　　（立方单位），表面积是　　　　（平方单位）；(2)从正面、左面、上面观察几何体，分别画出所看到的几何体的形状图．16．如图是一个几何体的展开图． (1)写出该几何体的名称_________：(2)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是_________（填序号）；①三角形；②四边形；③五边形；④六边形(3)根据图中标注的长度（单位：cm），求该几何体的表面积和体积．17．用若干相同的小正方体搭成一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如图．(1)这样的几何体只有一种吗？(2)它最多需要多少个小正方体？最少需要多少个小正方体？(3)画出搭成几何体所用正方体最多时的从左面看的视图．18．将若干个棱长为a的小立方块摆成如图所示的几何体．(1)如图，请分别画出从正面、左面和上面观察该几何体看到的形状图；(2)求该几何体的表面积；(3)依图中摆放方法类推，如果几何体摆放了24层，求该几何体的表面积．第02讲 展开与折叠、截一个几何体、三视图1.掌握各类立体图形的展开图；2.掌握正方体展开图的判断方法；3.掌握正方体展开图的相对面的判断方法；4.掌握展开图的计算方法.5.掌握截面的概念；6.掌握立体图形三视图的判断方法；7.掌握求解组合体三视图小立方体的个数；8.掌握三视图的计算方法.知识点01 几何体的展开图（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．（2）常见几何体的侧面展开图：①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③直棱柱的侧面展开图是长方形．知识点02 展开图折叠成几何体通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．知识点03 正方体的展开图（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象．（2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．（3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面．知识点4 截一个几何体（1）截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．（2）截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形．知识点05 简单几何体的三视图（1）画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．（2）常见的几何体的三视图：知识点06 简单组合体的三视图（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．题型01 几何体展开图的认识【典例1】如图是某几何体的展开图，该几何体是（    ）  A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．三棱柱【答案】A【分析】由圆柱的展开图的特点判断即可．【详解】解：圆柱的展开图为一个长方形和两个圆形，这个几何体为圆柱，故选：A．【点睛】本题主要考查了展开图折叠成几何体，熟悉圆柱的展开图特点是解答此题的关键．【变式1】如图是某个几何体的展开图，该几何体是（　　）  A．三棱柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．圆柱【答案】A【分析】通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可．【详解】解：从展开图可知，该几何体有五个面，两个三角形的底面，三个长方形的侧面，因此该几何体是三棱柱，故选：A．【点睛】本题考查棱柱的展开与折叠，掌握棱柱展开图的特征是正确判断的关键．【变式2】下列图形中，是长方体表面展开图的是（    ）A．   B．  C．  D．  【答案】C【分析】根据长方体有六个面，以及字型进行判断即可．【详解】解：A中展开图有7个面，不符合要求；B中展开图无法还原成长方体，不符合要求；C正确，故符合要求；D中展开图有5个面，不符合要求，故选：C．【点睛】本题考查了长方体的展开图．解题的关键在于对知识的熟练掌握．题型02 正方体几种展开图的识别【典例1】下列图形中，不是正方体的平面展开图的是（    ）A．  B．C．  D．  【答案】B【分析】根据正方体的展开图对本题进行判断即可．【详解】解：根据正方体的十一种展开图可知，B选项不能折成正方体，故选：B．  【点睛】本题主要考查的是正方体的展开图，熟记十一种模型规律，以及不能折叠的“凹”，“田”两种特殊形态是解题的关键．【变式1】下列图形中不能折叠成正方体的是（    ）A．   B．   C．   D．  【答案】D【分析】根据立方体的展开图判断即可．【详解】A选项的图形可以折叠成正方体；B选项的图形可以折叠成正方体；C选项的图形可以折叠成正方体；D选项的图形不能折叠成正方体；故选D．【点睛】本题考查了正方体的展开图，能组成正方体的“一，四，一”“三，三”“二，二，二”“一，三，二”的基本形态要记牢．【变式2】下列图形中，能围成正方体的是（   ）A．   B．  C．   D．  【答案】B【分析】根据正方形展开图逐个判断即可得到答案；【详解】解：由题意知，图形可以折叠成正方体，故选：B；【点睛】本题主要考查正方体的展开图.熟练掌握正方体的展开图是解题的关键．题型03 正方体相对两面上的字【典例1】2022年11月，党的二十大报告热词双语说逐渐更新，第①期提到了“中国式现代化”，将这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图所示是它的一种展开图，则在原正方体中，与“国”字所在面相对面上的汉字是（　　）A．式 B．现 C．代 D．化【答案】C【分析】根据正方体的展开图进行判断即可．【详解】解：在原正方体中，与“国”字所在面相对面上的汉字是代，故选：C．【点睛】本题主要考查正方体的展开图相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手是解题的关键．【变式1】如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“豫”字所在面相对的面上的汉字是（    ）A．魅 B．力 C．中 D．原【答案】B【分析】根据正方体的表面展开图的特征进行判断即可．【详解】解：由正方形的展开图特点得：“豫”与“力”相对，“见”与“原”相对，“魅”与“中”相对．故选：B．【点睛】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握展开图中相对面的特点是解题的关键．题型04 含图案的正方体的展开图【典例1】如图的正方体纸盒，只有三个面上印有图案，下面四个平面图形中，经过折叠能围成此正方体纸盒的是（    ）  A．B．  C．  D．  【答案】B【分析】四个选项中的图都是正方体展开图的“”结构．由正方体可以看出，有图案的三个面两两相邻．【详解】解：四个选项中的图都是正方体展开图的“”结构．由正方体可以看出，有图案的三个面两两相邻；A、C、D选项折成正方体后有图案的面有两个相对，不符合题意；B选项折成正方体后，有图案的三个面两两相邻；  的展开图是  故选：B．【点睛】正方体展开图“1−4−1”结构，折成正方体后，两个“1”相对，“4”组成侧面，间隔面相邻．关键是明白有图案的三个面两两相邻．【变式1】如图，已知一个正方体是三个面分别标有〇、◎、※三种图案，则它的展开图可能是（　　）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，选项A中“〇面”“◎面”“※面”的对面都是“空白”，故选项A符合题意；选项B中的“◎面”与“※面”是对面，与题意矛盾，故选项B不符合题意；选项C中的“〇面”与“◎面”是对面，与题意矛盾，故选项C不符合题意；选项D中的“◎面”与“※面”是对面，与题意矛盾，故选项D不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查正方体的展开图，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答本题的关键．题型05 由展开图计算几何体的表面积、体积【典例1】如图，是一个几何体的表面展开图：(1)请说出该几何体的名称；(2)求该几何体的表面积；(3)求该几何体的体积．【答案】(1)长方体(2)平方米(3)立方米【分析】（1）根据几何体的展开图可知，该几何体为长方体；（2）求出各个面的面积，然后相加即可；（3）根据长方体体积公式求出体积即可．【详解】（1）解：该几何体展开图中六个面均为长方形，因此该几何体为长方体．（2）解：（平方米），答：该几何体的表面积为22平方米．（3）解：（平方米），答：该几何体的体积为6立方米．【点睛】本题主要考查了长方体的展开图，求长方体的表面积和体积，解题的关键是熟记长方体的展开图．【变式1】如图是底面为正方形的长方体的表面展开图．(1)折叠成长方体后，与点H重合的是点_____________；与点D重合的是点_____________．(2)若，则该长方体的表面积和体积分别是多少？【答案】(1)N和J；F(2)表面积为：，体积为：．【分析】（1）把展开图折叠成一个长方体，找到与H重合的点即可；（2）由已知得到长方体的长、宽、高，再根据长方体的表面积和体积计算方法求解．【详解】（1）解：与H重合的点有点N和点J．与点D重合的是点F；故答案为∶ N和J；F；（2）∵长方体的底面为正方形，由长方体展开图可知：，∵，∴长方体的长、宽、高分别为：，∴长方体的表面积为：，体积为：．【点睛】此题考查的是由展开图折叠成几何体，要培养学生的空间想象能力．题型06 截一个几何体【典例1】以下四个几何体，①球；②圆锥；③圆柱；④正方体；③五棱柱；能截出长方形的几何体共有（    ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】根据可能截出的几何体形状进行判断即可．【详解】解：球、圆锥不能截出长方形，圆柱、正方体、五棱柱能够截出长方形，因此能截出长方形的几何体共有三个，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了截一个几何体，解题的关键是熟练掌握常见几何体的特征．【变式1】用平面去截一个几何体，如果所得的任意截面都是圆，那么被截的几何体是________．【答案】球体【分析】无论截面截球的哪个位置，得到的截面必是圆．【详解】解：用一个平面去截一个几何体，所得任意截面都是圆，则这个几何体是球体．故答案为：球体．【点睛】本题考查由截面形状去想象几何体．由截面形状去想象几何体与给一个几何体想象它的截面是一个互逆的思维过程，要根据所给截面形状仔细分析，展开想象．【变式2】若用一个平面去截一个五棱柱，截面的边数最少是_____________；最多是____________．【答案】 3 7【分析】根据五棱柱的截面形状判断即可．【详解】解：用一个平面去截一个五棱柱，截面的形状可能是：三角形，四边形，五边形，六边形，七边形， 故答案为：3，7．【点睛】本题考查了截一个五棱柱，熟练掌握五棱柱的截面形状是解题的关键．题型07 三视图【典例1】如图所示几何体，从正面看是（    ）  A．  B．   C．   D．  【答案】B【分析】从正面看，看到的图形分为三层，再根据每一层小正方形的位置即可得到答案．【详解】解：从正面看，看到的图形分为三层，最下面一层有3个小正方形，中间一层中间和右边各有1个小正方形，上面一层最右边有1个小正方形，即看到的图形为  ，故选B．【点睛】本题主要考查了从不同的方向看几何体，正确根据几何体的形状得到从正面看到的图形是解题的关键．【典例2】如图，是一个几何体从正面、左面、上面看得到的图形，则这个几何体是（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据从不同方向看到的图形还原几何体即可．【详解】解：观察从正面、左面、上面看得到的图形发现，这个几何体是长方体和圆锥的组合图形．故选：B．【点睛】本题主要考查了从不同方向看几何体，熟练掌握从不同方向看几何体得到的图形形状是解题的关键．【变式1】如图是由5个相同的正方体组成的立体图形，从正面看到的平面图形是（    ）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根据从正面看到的图形分析，有2层，下面一次是三个正方形，上面一层有1个正方形，在最右边，据此即可求解．【详解】解：从正面看到的平面图形有2层，下面一次是三个正方形，上面一层有1个正方形，在最右边，故选：A．【点睛】本题考查了从正面看立体图形，理解题意是解题的关键．【变式2】如图所示的几何体从正面看到的图形（　　）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据从正面看到的形状即可得到答案．【详解】解：几何体从正面看到的图形是．故选：D．【点睛】此题考查了从不同方向看几何体，题目比较简单．题型08 画三视图【典例1】如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体，请画出这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的平面图形．（用阴影表示）【答案】见详解【分析】想象出从三个方向看的图形，画出即可；【详解】解：三个平面图形如图所示：从正面看：从左面看：从上面看：【点睛】本题考查了几何体的从不同方向看的图形，空间想象能力是本题的解题关键．【变式1】如图是由11个大小相同的小立方块搭成的几何体．从正面、左面、上面观察该几何体，分别在方格纸中画出你所看到的几何体的形状图．【答案】见解析【分析】根据从不同方向看到的几何体的开状画出相应的图形即可．【详解】解：如图所示，【点睛】此题考查了从不同方向看几何体，解题的关键是明确从不同方向看到的图形的形状以及画法．题型09 根据三视图求原几何体的小立方块的个数【典例1】一个几何体是由若干个大小相同的小正方体搭成，从左面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示，这样的几何体只有一种吗？它最多需要多少个小正方体？最少需要多少个小正方体？【答案】不止一种，最多需要15个小正方体，最少需要10个小正方体【分析】利用从上看的图形，在从上面看到的图上写出最多以及最少时小正方体的个数，可得结论．【详解】结合左面看到的几何体，在从上面看到的图上写出最多以及最少时小正方体的个数，如图：  最多有：（个），最少有：（个），即可知：这样的几何体不止一种，最多需要15个小正方体，最少需要10个小正方体．【点睛】本题考查从不同角度观看几何体的知识，解题的关键是具有一定的空间想象力，属于中考常考题型．【变式1】如图是由一些棱长都为的小正方体组合成的简单几何体．(1)从正面、左面和上面观察这个几何体，请你在下面相应的位置分别画出你所看到的几何体的形状图；(2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从左面和上面所看到的几何体的形状图不变，最多可以再添加 块小正方体．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）从正面看所得到的图形，从左往右有4列，分别有1，3，1，1个小正方形；从左面看所得到的图形，从左往右有2列，分别有1，3个小正方形；从上面看所得到的图形，从左往右有4列，分别有2，1，1，1个小正方形．（2）保持持从上面看和从左面看不变，可以在第1列后面一排添加2个，第3列添加2个，第4列添加2个，最多添加6个小正方体．【详解】（1）如图所示：（2）保持从左面和上面所看到的几何体的形状图不变，最多可以再添加块小正方体．故答案为：6．【点睛】此题考查了从不同方向观察几何体，在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．【变式2】由8个棱长都为的小正方体搭成的几何体如左图．(1)请利用图2中的网格画出这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图．（一个网格为小立方体的一个面）(2)图1中8个小正方体搭成的几何体的表面积（包括与地面接触的部分）是 cm2．(3)若要用大小相同的小立方块搭一个几何体，使得它从上面和左面看到的形状图与你在图2方格中所画的形状图相同，则搭这样的一个几何体最多需要 个小立方块．【答案】(1)见解析(2)32(3)9【分析】（1）根据从正面、从左面和从上面看到的形状画出图形即可；（2）分前后、左右、上下统计正方形的个数即可；（3）由俯视图易得最底层小正方体的个数，由左视图找到其余层数里最多个数相加即可．【详解】（1）解：这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图如下：（2）图1中8个小正方体搭成的几何体的表面积（包括与地面接触的部分）是，故答案为：32（3）若要用大小相同的小立方块搭一个几何体，使得它从上面和左面看到的形状图与你在图2方格中所画的形状图相同，则搭这样的一个几何体最多需9个小立方块．故答案为：9【点睛】此题考查了从不同方向看几何体、几何体的表面积等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键．题型10 根据三视图求原几何体的表面积和体积【典例1】如图，是一个几何体分别从正面、左面、上面看的形状图．(1)该几何体名称是 　 　；(2)根据图中给的信息，求该几何体的表面积和体积．【答案】(1)长方体(2)表面积280cm2，体积300cm3【分析】（1）根据从不同方向看到的图形判定几何体的形状即可；（2）根据长方体的表面积公式及体积公式进行求解即可．【详解】（1）解：这个几何体是长方体，故答案为：长方体；（2）这个长方体的表面积＝2×（10×5+5×6+10×6）＝280（cm2）．体积＝10×5×6＝300（cm3）．【点睛】本题考查根据从不同方向看到的图形判定几何体，几何体的表面积等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．【变式1】如图，是某几何体的展开图．（1）画出这个几何体从正面，左面，上面看到的平面图形；（2）求这个几何体的体积（结果保留）．【答案】(1)详见解析;(2)500π【分析】(1)从展开图可得原几何体是圆柱,根据从不同角度看物体按要求画出图形即可．(2)根据圆柱的体积公式代入求值即可．【详解】(1)(2)根据题意．【点睛】本题考查从不同角度看物体作图及圆柱的体积计算,关键在于熟练掌握基础知识．一、选择题1．用一个平面去截一个三棱柱，截面的形状不可能是（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关，据此对所给选项一一进行判断．【详解】解：A、当截面与底面平行时，得到的截面的形状可能是该图形，故不符合题意；B、当截面与侧面平行时，截面就是长方形，故不符合题意；C、无论如何去截截面，截面的形状不可能是圆形．故符合题意；D、当截面与轴截面斜交时，得到的截面的形状可能是梯形，故不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查截一个几何体，解题的关键是掌握三棱柱的特点进行求解．2．如图所示的物体是一个几何体，则从正面看到的图形是（    ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据从正面看到的图形求解即可．【详解】解：由题意得从正面看到的图形是故选C．【点睛】本题考查从不同方向看几何体，抓住从正面看图形的特点，灵活进行空间想象是解题关键．3．某同学学习了正方体的表面展开图后，在如图所示的正方体的表面展开图上写下了“传承红色文化”六个字，还原成正方体后，“红”的对面是（    ）  A．传 B．承 C．文 D．化【答案】D【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．【详解】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，∴在此正方体上与“红”字相对的面上的汉字是“化”．故选：D．【点睛】本题考查了正方体的展开图形，解题关键是从相对面入手进行分析及解答问题．4．下列图形中经过折叠可以围成一个棱柱的是（    ）A．   B．  C．  D．  【答案】C【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【详解】解：A．折叠后可以围成一个四面体，故此选项不符合题意；B．折叠后上方多一个底面，下方少一个底面，不能围成棱柱，故此选项不符合题意；C．折叠后可以围成一个三棱柱，故此选项符合题意；D．折叠后可以围成一个圆柱，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查展开图折叠成几何体：通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．掌握简单几何体的展开图是解题的关键．5．小聪要制作一正方体骰子，使六个面上分别标有1~6个点，而且相对的两个面的点数之和都等于7，则以下展开图中，可以做成正方体骰子的有（    ）  A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【分析】根据正方体的展开图结合题目要求逐个判断即可．【详解】解：因为正方体骰子相对的两个面上的占数之和是7，所以点数为1的面与点数为6的面相对，点数为2的面与点数为5的面相对，点数为3的面与点数为4的面相对，所以第三个和第四个正确，故选：C．【点睛】本题考查正方体的展开图，熟知正方体的展开图，从相对面入手求解是解答的关键．二、填空题6．图中几何体的截面（图中阴影部分）依次是________、________、________、________．  【答案】 圆形 三角形 六边形 圆形【分析】根据图形即可得出答案．【详解】解：（1）的截面是圆形，（2）的截面是三角形，（3）的截面是六边形，（4）的截面是圆形；故答案为：圆形，三角形，六边形，圆形．【点睛】本题考查几何体的截面，正确理解题意是解题的关键．7．一个正方体的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“全面落实双减”，把它折成正方体后，与“实”相对的字是___________； 【答案】面【分析】根据正方体展开图特点求解即可得到答案；【详解】解：由正方体展开图可得，“落”与“双”相对，“全”与“减”相对，“实”与“面”相对，故答案为：面．【点睛】本题考查正方体展开图的特点，解题的关键是熟练掌握几种展开图形．8．一个正方体的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，从三个不同的方向看到的情形如图1所示，图2为这个正方体的侧面展开图，则图中的表示的数字是________．【答案】3【分析】根据与1相邻的面的数字有2、3、4、6判断出1的对面数字是5，与4相邻的面的数字有1、3、5、6判断出4的对面数字是2，从而确定出3的对面数字是6，再根据图2可得结果．【详解】解：由图1可知，与1相邻的面的数字有2、3、4、6，的对面数字是5，与4相邻的面的数字有1、3、5、6，的对面数字是2，的对面数字是6，由图2可知：6的对面数字是x，∴x的值为3，故答案为：3．【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据相邻面上的数字确定出相对面上的数字是解题的关键．9．分别从正面、上面、左面观察下列物体，得到的平面图形完全相同的是______填写序号．【答案】【分析】从正面，上面，左面看：图、图、图、图分别是长方体，圆锥，正方体、圆柱，根据它们三视图的形状进行判断即可．【详解】解：图、图、图、图分别是长方体，圆锥，正方体、圆柱，长方体的三视图虽然都是长方形的，但它们的大小不相同，圆锥体的主视图、左视图是三角形的，而俯视图是圆形的，正方体的三视图都是正方形的，圆柱的主视图、主视图是长方形的，但俯视图是圆形的，因此从正面、上面、左面看所得到的平面图形完全相同的是正方体，故答案为：．【点睛】本题考查简单组合体的三视图，掌握简单组合体的三视图的形状是正确判断的前提．10．如图，是由一些小立方块所搭几何体的三种视图，若在所搭几何体的基础上（不改变原几何体中小立方块的位置），继续添加相同的小立方块，以搭成一个大正方体，至少还需要_____个小立方块．【答案】【分析】根据三视图判断小立方块的数量，再求出搭成一个大正方体需要的最少数量，即可得到答案．【详解】解：由三视图易得最底层有7个小立方体，第二层有2个小立方体，第三层有1个小立方体，那么共有个几何体组成．若搭成一个大正方体，共需个小立方体，所以还需个小立方体，故答案为：．【点睛】此题考查了三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．三、解答题11．如图，六个平面图形中，有圆柱、圆锥、三棱柱（它的底面是三边相等的三角形）的表面展开图，请你把立体图形与它的表面展开图用线连起来（不考虑尺寸）．  【答案】见解析【分析】根据立体图形的平面展开图求解即可．【详解】解：如图，  【点睛】本题考查立体图形的平面展开图，培养空间想象力是解题关键．12．如图是3个几何体的平面展开图．  (1)请写出对应几何体的名称：①　　　；②　　　　；③　　(2)图③中，侧面展开图的宽（较短边）为，圆的半径为，求图③所对应几何体的表面积．（结果保留）【答案】(1)圆锥；三棱柱；圆柱(2)【分析】（1）根据几何体的展开图，可得答案；（2）根据圆柱的表面积公式，可得答案．【详解】（1）解：对应几何体的名称：①圆锥；②三棱柱；③圆柱．故答案为：圆锥；三棱柱；圆柱．（2）∵侧面展开图的宽（较短边）为，圆的半径为，∴圆柱的表面积为：．∴图③所对应几何体的表面积．【点睛】本题考查几何体的展开图和圆柱的表面积．熟练掌握几何体的展开图及圆柱表面积的计算公式是解题的关键．13．如图是由7个完全相同的小正方体搭成的几何体，请分别画出从正面、左面和上面看到的这个几何体的形状图．【答案】见解析【分析】根据从不同方向看几何体的特点画图即可．【详解】解：如图所示．【点睛】此题考查了从不同方向看几何体，拥有良好的空间想象能力是解题的关键．14．一个圆柱的底面半径是，高是，把这个圆柱放在水平桌面上，如图．(1)如果用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得截面的形状是 ；(2)如果用一个平面沿竖直方向去截这个圆柱，所得截面的形状是 ；(3)请你求出在（2）的条件下所截得的最大截面面积．【答案】(1)圆(2)长方形(3)【分析】（1）用水平的平面去截，所得到的截面形状与圆柱体的底面相同，是圆形的；（2）用竖直的平面去截，所得到的截面形状为长方形的；（3）求出当截面最大时，长方形的长和宽，即可求出面积．【详解】（1）解：所得的截面是圆，故答案为：圆．（2）所得的截面是长方形，故答案为：长方形．（3）在（2）的条件下，经过底面圆心的截面，所截得的最大截面面积为：（）． 因此，在（2）的条件下所截得的最大截面面积为．【点睛】本题考查认识立体图形和截几何体，掌握立体图形的特征和截面的形状是得出正确答案的关键．15．5个棱长为1的正方体组成的几何体如图所示．  (1)该几何体的体积是　　　　（立方单位），表面积是　　　　（平方单位）；(2)从正面、左面、上面观察几何体，分别画出所看到的几何体的形状图．【答案】(1)5，22(2)见详解【分析】（1）根据题意，观察图形直接作答即可；（2）根据题中所给的空间立体图形，结合从正面、左面、上面看得到的平面图形直接作答即可．【详解】（1）由题意及立体图可知，该几何体的体积是5（立方单位），表面积是22（平方单位），故答案为：5，22；（2）  则从正面看：，从左面看：，从上面看：．【点睛】本题考查从三个方面看空间立体图形，掌握常见组合体的空间构造，发挥自身空间想象能力是解决问题的关键．16．如图是一个几何体的展开图． (1)写出该几何体的名称_________：(2)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是_________（填序号）；①三角形；②四边形；③五边形；④六边形(3)根据图中标注的长度（单位：cm），求该几何体的表面积和体积．【答案】(1)长方体(2)①②③④(3)，72【分析】（1）直接根据几何体的展开图判断即可；（2）根据长方体有六个面，用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形即可得出结果；（3）利用长方体的表面积计算公式及体积计算公式求解即可．【详解】（1）解：根据几何体的展开图共有6个面，且各面有正方形及长方形，∴此几何体为长方体，故答案为：长方体；（2）解：∵长方体有六个面，∴用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，∴用一个平面去截长方体，截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形，故答案为：①②③④；（3）解：，，答：表面积是120，体积是72．【点睛】题目主要考查长方体的展开图及其表面积与体积的计算方法，用平面截图的方法等，熟练掌握长方体的基本性质是解题关键．17．用若干相同的小正方体搭成一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如图．(1)这样的几何体只有一种吗？(2)它最多需要多少个小正方体？最少需要多少个小正方体？(3)画出搭成几何体所用正方体最多时的从左面看的视图．【答案】(1)不是一种，有多种(2)最多需要16个小正方体，最少需要10个小正方体(3)见解析【分析】由从上面看得到的形状可知，第一层最少需要7个正方体；由从正面看到的形状可知，第二层最少需要2块，最多需要6块；第三层最少需要一块，最多需要3块．【详解】（1）由于左侧两列的小正方体的数量不确定，所以不是一种，有多种．（2）搭这样的几何体最多时，第一层需要7块，第二层需要6块，第三次那个需要3块，共需要个小正方体；最少时，第一层需要7块，第二层需要2块，第三次那个需要1块，共需要， 个小正方体（3）【点睛】本题考查从不同方向看几何体，能根据题中描述还原几何体是解答的关键．18．将若干个棱长为a的小立方块摆成如图所示的几何体．(1)如图，请分别画出从正面、左面和上面观察该几何体看到的形状图；(2)求该几何体的表面积；(3)依图中摆放方法类推，如果几何体摆放了24层，求该几何体的表面积．【答案】(1)见解析(2)该几何体的表面积为；(3)该几何体的表面积为．【分析】（1）画出从上、下、左三个方向看到的图形即可；（2）每个方向上均有6个等面积的小正方形；（3）每个方向上均有个等面积的小正方形．【详解】（1）解：如图，；（2）解：，故该几何体的表面积为；（3）解：，故该几何体的表面积为．【点睛】本题考查了几何体的表面积，关键是要注意立体图形的各个面，及每个面的正方形的个数．立体图形截面n棱柱最少为__3__边形，最多为__n+2__边形n棱锥最少为__3__边形，最多为__n+_1__边形圆柱可能为圆、长方形、椭圆、半圆或圆的一部分圆锥可能为圆、椭圆、半圆或圆的一部分立体图形三视图球体三个圆柱体一定有两个平行四边形（通常为长方形），另一视图决定了柱体的形状锥体一定有两个三角形，另一视图决定了柱体的形状立体图形截面n棱柱最少为__3__边形，最多为__n+2__边形n棱锥最少为__3__边形，最多为__n+_1__边形圆柱可能为圆、长方形、椭圆、半圆或圆的一部分圆锥可能为圆、椭圆、半圆或圆的一部分立体图形三视图球体三个圆柱体一定有两个平行四边形（通常为长方形），另一视图决定了柱体的形状锥体一定有两个三角形，另一视图决定了柱体的形状