北师大版七年级数学上册同步学与练 第06讲 有理数的乘方、科学记数法(5类热点题型讲练)（原卷版+解析版）

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第06 有理数的乘方、科学记数法1.掌握有理数的乘方运算；2.掌握科学计数法.知识点01 有理数的乘方一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方.求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在中，叫做底数，叫做指数.读作的次方，也可以读作的次幂.知识点02 有理数的乘方运算（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值.知识点03 科学记数法 把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．题型01 有理数幂的概念理解【典例1】（2023·浙江·七年级假期作业）代数式可以表示为（    ）A． B． C． D．n2【变式1】（2022秋·湖南长沙·七年级统考期末）表示的意义是(    )A．与相乘 B．与相加 C．个相乘 D．个相加【变式2】（2023秋·广东茂名·七年级统考期末）在中，底数是 ，指数是 ；题型02 有理数的乘方运算【典例1】（2023·全国·九年级专题练习）计算：(1)； (2)； (3)【变式1】（2023·浙江·七年级假期作业）计算：(1)； (2)； (3)．【变式2】（2023·浙江·七年级假期作业）计算：(1)； (2)； (3)； (4)； (5)．题型03 乘方运算的符号规律【典例1】（2023春·上海·六年级专题练习）任何一个有理数的偶次幂必是（　　）A．负数 B．正数 C．非正数 D．非负数【变式1】（2023·浙江·七年级假期作业）已知为正整数，计算的结果是（　　）A．1 B．-1 C．0 D．2【变式2】（2022秋·江苏扬州·七年级校考阶段练习）下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（　　）A．与 B．与 C．与 D．与题型04 乘方的应用【典例1】（2023·全国·七年级假期作业）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条．如图所示：这样捏合到第次后可拉出几根面条？  【变式1】（2023·全国·七年级假期作业）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得：  (1)这样的一个细胞经过2小时后可分裂成多少个细胞？(2)这样的一个细胞经过多少小时后可分裂成64个细胞？题型05 用科学记数法表示绝对值大于1的数【典例1】（2023春·江西南昌·九年级校考阶段练习）我国神舟十三号载人飞船的起飞推力为牛．将用科学记数法表示应为 ．【变式1】（2023秋·山西太原·七年级校考期末）2016年5月下旬，中国大数据博览会在贵阳举行，参加此次大会的约有人，将用科学记数法表示为 ．【变式2】（2022秋·山西忻州·七年级校考阶段练习）第二届“一带一路”国际合作高峰论坛于年4月日至日在北京召开，“一带一路”建设进行5年多来，中资金融机构为“一带一路”相关国家累计发放贷款约亿元，重点支持了基础设施、社会民生等项目．数据亿用科学记数法表示为 ．一、单选题1．（2020秋·广东汕头·七年级汕头市龙湖实验中学校考期中）（    ）A． B．16 C． D．82．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·七年级校联考期中）已知与互为相反数，则的值为（    ）A． B．0 C．1 D．33．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨德强学校校考期中）下列各组数中，数值相等的是（    ）A．和 B．和 C．和 D．和4．（2023秋·山西太原·七年级校考期末）据国家卫健委6月20日通报，截至2021年6月19日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗万剂次．其中，万用科学记数法表示为（    ）A． B．C． D．5．（2023秋·河北石家庄·七年级校考期末）下列数或式子：，，，0，在数轴上所对应的点一定在原点右边的有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2023·全国·七年级假期作业）如图，某种细胞经过30分钟由一个分裂成2个，若要这种细胞由一个分裂成16个，那么这个过程要经过（　　）  A．1.5小时 B．2小时 C．3小时 D．4小时二、填空题7．（2022秋·七年级单元测试）计算： ， ．8．（2023春·福建福州·八年级统考期末）数据用科学记数法表示为 ．9．（2023春·湖南衡阳·七年级校考期末）已知，满足，则式子的值是 ．10．（2023·浙江·七年级假期作业）一根米长的木棒，小明第一次截去全长的，第二次截去余下的，依次截去每一次余下的，则第五次截去后剩下的木棒长为 米．11．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级统考期末）现规定一种新的运算“”：，如，则 ．12．（2023秋·广东深圳·七年级统考期末）字母表示一个有理数，下列关于的运算：①    ②    ③    ④其中一定成立的有 （把你认为正确的序号都填上）．三、解答题13．（2023·全国·七年级假期作业）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．14．（2022秋·江苏泰州·七年级校考期中）把下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”号连接起来：，，，，15．（2023·浙江·七年级假期作业）规定:.(1)求的值；(2)若，求x的值.16．（2023·浙江·七年级假期作业）已知与互为相反数，与互为倒数．(1) ； ．(2)当时，求的值17．（2023·江苏·七年级假期作业）如果，那么我们记为：．例如，则．(1)根据上述规定，填空：______，______；(2)若，则______；(3)若，，求的值．18．（2023·浙江·七年级假期作业）（1）计算下面两组算式：①与；    ②与；（2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果）（3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由．（4）利用上述结论，求的值．第06讲 有理数的乘方、科学记数法1.掌握有理数的乘方运算；2.掌握科学计数法.知识点01 有理数的乘方一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方.求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在中，叫做底数，叫做指数.读作的次方，也可以读作的次幂.知识点02 有理数的乘方运算（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值.知识点03 科学记数法 把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．题型01 有理数幂的概念理解【典例1】（2023·浙江·七年级假期作业）代数式可以表示为（    ）A． B． C． D．n2【答案】C【分析】根据有理数乘方的意义解答即可得.【详解】解：代数式可以表示为；故选：C.【点睛】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义是关键.【变式1】（2022秋·湖南长沙·七年级统考期末）表示的意义是(    )A．与相乘 B．与相加 C．个相乘 D．个相加【答案】C【分析】根据幂的意义分析即可求解．【详解】解：表示的意义是个相乘，故选：C．【点睛】本题考查了幂的意义，掌握幂的意义是解题的关键．【变式2】（2023秋·广东茂名·七年级统考期末）在中，底数是 ，指数是 ；【答案】 4【分析】根据幂的相关概念解答即可．【详解】解：在中，底数是，指数是4，故答案为：，4．【点睛】本题考查了幂的概念，,一般地中a叫做底数，n叫做指数，正确理解定义是解题的关键．题型02 有理数的乘方运算【典例1】（2023·全国·九年级专题练习）计算：(1)； (2)； (3)【答案】(1)8(2)(3)【分析】（1）根据乘方计算法则计算即可；（2）根据乘方法则计算；（3）根据乘方法则计算．【详解】（1）解：；（2）；（3）．【点睛】此题考查了有理数乘方计算法则：n个相同因数的乘法等于这个数的n次幂，同时可以逆用．【变式1】（2023·浙江·七年级假期作业）计算：(1)； (2)； (3)．【答案】(1)625(2)(3)0.027【分析】（1）表示4个相乘，即可得出答案；（2）先计算2的立方，即可得出答案；（3）根据在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数，乘方是几个相同因数的简便运算，可得答案．【详解】（1）；（2）；（3）．【点睛】本题考查了乘方的定义，理解乘方的意义是解题的关键．【变式2】（2023·浙江·七年级假期作业）计算：(1)； (2)； (3)； (4)； (5)．【答案】(1)(2)2.25(3)(4)(5)8【分析】根据有理数乘方运算法则逐个计算即可．【详解】（1）；（2）；（3）；（4）（5）．【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练运用运算法则是解本题的关键．题型03 乘方运算的符号规律【典例1】（2023春·上海·六年级专题练习）任何一个有理数的偶次幂必是（　　）A．负数 B．正数 C．非正数 D．非负数【答案】D【分析】根据乘方的性质：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0的任何次幂都是0，从而可判断．【详解】解：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何次幂都是0，故任何一个有理数的偶数次幂必是非负数．故选：D．【点睛】本题主要考查有理数的乘方，正数与负数，有理数，解答的关键是对有理数的乘方的性质的掌握．【变式1】（2023·浙江·七年级假期作业）已知为正整数，计算的结果是（　　）A．1 B．-1 C．0 D．2【答案】D【分析】根据有理数乘方运算法则进行计算即可．【详解】解：，故选：D．【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算法则以及乘方的符号规律是解本题的关键．【变式2】（2022秋·江苏扬州·七年级校考阶段练习）下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（　　）A．与 B．与 C．与 D．与【答案】C【分析】根据有理数的乘方的定义对各选项分析判断利用排除法求解．【详解】A、，，不相等，故A选项错误；B、，，不相等，故B选项错误；C、，，相等，故C选项正确；D、，，不相等，故D选项错误．故选：C．【点睛】此题考查有理数的乘方，解题的关键在于掌握运算法则．题型04 乘方的应用【典例1】（2023·全国·七年级假期作业）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条．如图所示：这样捏合到第次后可拉出几根面条？  【答案】第次后可拉出根面条．【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．【详解】解：根据题意得：，答：这样捏合到第6次后可拉出根面条．【点睛】此题考查了有理数的乘方，解题的关键是熟练掌握乘方的意义．【变式1】（2023·全国·七年级假期作业）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得：  (1)这样的一个细胞经过2小时后可分裂成多少个细胞？(2)这样的一个细胞经过多少小时后可分裂成64个细胞？【答案】(1)16(2)3【分析】（1）根据题意，2小时是4个30分钟，从而得到答案；（2）根据题意，得到规律，设经过个30分钟得到64个细胞，列方程求解即可得到答案．【详解】（1）解：经过2小时，即第4个30分钟后，可分裂成个细胞，经过2小时后，可分裂成16个细胞；（2）解：根据题意，一个细胞第1个30分钟分裂成2个，即个细胞；第2个30分钟分裂成4个，即个；…依此类推，第个30分钟分裂为个细胞；，解得，经过6个30分钟，即3小时后可分裂成64个细胞．【点睛】本题考查幂的应用，熟记幂的相关定义及计算是解决问题的关键．题型05 用科学记数法表示绝对值大于1的数【典例1】（2023春·江西南昌·九年级校考阶段练习）我国神舟十三号载人飞船的起飞推力为牛．将用科学记数法表示应为 ．【答案】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．【详解】解：．故答案为：．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．【变式1】（2023秋·山西太原·七年级校考期末）2016年5月下旬，中国大数据博览会在贵阳举行，参加此次大会的约有人，将用科学记数法表示为 ．【答案】【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：,故答案为：．【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．【变式2】（2022秋·山西忻州·七年级校考阶段练习）第二届“一带一路”国际合作高峰论坛于年4月日至日在北京召开，“一带一路”建设进行5年多来，中资金融机构为“一带一路”相关国家累计发放贷款约亿元，重点支持了基础设施、社会民生等项目．数据亿用科学记数法表示为 ．【答案】【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：亿，故答案为：．【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．一、单选题1．（2020秋·广东汕头·七年级汕头市龙湖实验中学校考期中）（    ）A． B．16 C． D．8【答案】B【分析】根据乘方法则计算即可．【详解】解：，故选B．【点睛】本题考查了乘方运算，解题的关键是掌握乘方的运算法则，注意符号．2．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·七年级校联考期中）已知与互为相反数，则的值为（    ）A． B．0 C．1 D．3【答案】C【分析】根据与互为相反数可得，由非负数的性质可得，求出的值，进行计算即可．【详解】解：与互为相反数，，，，解得：，，故选：C．【点睛】本题考查了相反数的意义、非负数的性质、有理数的乘方，根据相反数的意义和非负数的性质求出的值是解题的关键．3．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨德强学校校考期中）下列各组数中，数值相等的是（    ）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】B【分析】根据乘方的定义以及乘法法则解决此题．【详解】解：A、因为，，所以和不相等，故A不符合题意；B、因为，，所以和相等，故B符合题意．C、因为，，所以和不相等，故C不符合题意．D、因为，，所以和不相等，故D不符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查乘方以及乘法，熟练掌握乘方的定义以及有理数的乘法法则是解决本题的关键．4．（2023秋·山西太原·七年级校考期末）据国家卫健委6月20日通报，截至2021年6月19日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗万剂次．其中，万用科学记数法表示为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．【详解】解：万．故选：B．【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．5．（2023秋·河北石家庄·七年级校考期末）下列数或式子：，，，0，在数轴上所对应的点一定在原点右边的有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】在原点右边的数即正数，所以先根据有理数乘方的定义化简各数，继而可得答案．【详解】解：，，，0，，∴在数轴上所对应的点一定在原点右边的个数为2，故选：B．【点睛】本题主要考查有理数的乘方，正确理解题意，依据数轴上原点右边的数表示正数，左边的数表示负数及有理数的乘方运算法则即可解决．6．（2023·全国·七年级假期作业）如图，某种细胞经过30分钟由一个分裂成2个，若要这种细胞由一个分裂成16个，那么这个过程要经过（　　）  A．1.5小时 B．2小时 C．3小时 D．4小时【答案】B【分析】根据题意30分钟由一个分裂成2个，依次计算即可．【详解】解：第一次：30分钟变成2个；第二次：1小时变成个；第三次：1.5小时变成个；第四次：2小时变成个；故选：B．【点睛】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是熟练的掌握有理数的乘方的相关知识点．二、填空题7．（2022秋·七年级单元测试）计算： ， ．【答案】 【分析】直接根据乘方运算法则求解即可．【详解】解：；；故答案为：；．【点睛】本题考查有理数的乘方运算，掌握基本的运算法则是解题关键．8．（2023春·福建福州·八年级统考期末）数据用科学记数法表示为 ．【答案】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数，当原数的绝对值时，是负整数．【详解】解：，故答案为：．【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．9．（2023春·湖南衡阳·七年级校考期末）已知，满足，则式子的值是 ．【答案】1【分析】根据绝对值和平方式的非负性求出a、b，再代值求解即可．【详解】解：∵，，，∴，，解得：，∴，故答案为：．【点睛】本题考查绝对值和平方式的非负性、有理数的混合运算和代数式求值，理解非负数的性质并正确求解是解答的关键．10．（2023·浙江·七年级假期作业）一根米长的木棒，小明第一次截去全长的，第二次截去余下的，依次截去每一次余下的，则第五次截去后剩下的木棒长为 米．【答案】【分析】根据题意可求出第一次截去全长的，剩下米，第二次截去余下的，剩下，从而即可得出第五次截去余下的，剩下米．【详解】解：第一次截去全长的，剩下米，第二次截去余下的，剩下米，…第五次截去余下的，剩下米．故答案为：．【点睛】本题考查有理数乘方的应用，数字类规律探索．理解乘方的定义是解题关键．11．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级统考期末）现规定一种新的运算“”：，如，则 ．【答案】【分析】根据题中所给的运算方法列出乘方的式子，再根据乘方的运算法则进行计算即可．【详解】解：，如，，故答案为：．【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，熟知数的乘方法则是解答此题的关键．12．（2023秋·广东深圳·七年级统考期末）字母表示一个有理数，下列关于的运算：①    ②    ③    ④其中一定成立的有 （把你认为正确的序号都填上）．【答案】①②/②①【分析】根据幂的意义，绝对值的意义分别判断即可．【详解】解：①，故正确；②，故正确；③，故错误；④当时，；当时，，故错误；故答案为：①②．【点睛】本题考查了有理数的乘方，绝对值，体现了分类讨论的思想，掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0是解题的关键．三、解答题13．（2023·全国·七年级假期作业）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根据有理数乘方运算法则计算即可．【详解】（1）；（2）；（3）；（4）．【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练运用乘方的运算法则是解本题的关键．14．（2022秋·江苏泰州·七年级校考期中）把下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”号连接起来：，，，，【答案】数轴见解析，【分析】首先在数轴上确定表示各数的点的位置，再用小于号连接即可．【详解】解：，，，，如图所示：∴．【点睛】此题主要考查了有理数的比较大小以及绝对值化简和乘方运算，关键是掌握在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大．15．（2023·浙江·七年级假期作业）规定:.(1)求的值；(2)若，求x的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据原式将、代入即可求解；（2）将，代入等式，即可求解x的值．【详解】（1）原式；（2），，，．【点睛】本题考查新型定义下的数学运算，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解题的关键．16．（2023·浙江·七年级假期作业）已知与互为相反数，与互为倒数．(1) ； ．(2)当时，求的值【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据相反数、倒数的定义求解即可，只有符号不同的两个数互为相反数，相乘等于1的两个数互为倒数；（2）根据绝对值以及平方的非负性，求得的值，进而根据有理数的乘方进行计算即可求解．【详解】（1）解：∵与互为相反数，与互为倒数．∴故答案为：；．（2）由题（1）可知，          由绝对值的非负性、平方数的非负性得：    解得：          将和的值代入得：，【点睛】本题考查了相反数、倒数的定义，非负性以及有理数的乘方运算．熟练掌握非负数的和为0，每个非负数均为0，是解题的关键．17．（2023·江苏·七年级假期作业）如果，那么我们记为：．例如，则．(1)根据上述规定，填空：______，______；(2)若，则______；(3)若，，求的值．【答案】(1)3，2(2)(3)4【分析】（1）理解题意，根据有理数乘方计算求解；（2）根据题意得到，求得x的值即可；（3）根据题意，由有理数的乘方计算求得a与b的值，然后求解．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，故答案为：3，2．（2）∵，∴，∵，，∴；故答案为：（3）解：∵，∴∵，，∴∴又∵∴的值为4．【点睛】此题主要考查了有理数的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．18．（2023·浙江·七年级假期作业）（1）计算下面两组算式：①与；    ②与；（2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果）（3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由．（4）利用上述结论，求的值．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）；（3）；理由见解析；（4）【分析】（1）前式先乘法再平方，后式先平方再乘法，据此即可计算求值；（2）根据（1）的结果即可得到答案；（3）根据乘方的意义写成n个数相乘，利用交换律转化为和的乘积即可证明猜想； （4）利用乘方的逆运算进行计算即可得到答案．【详解】解：（1）①，；②，；（2）；（3），理由如下：；（4）．【点睛】本题考查了有理数乘法法则，乘方的意义，以及对师资普遍规律的猜想和验证，熟练运用乘方运算以及逆运算来简便运算是解题关键．