江苏省南通市如东高级中学2024届高三上学期期中学情检测数学试卷(含答案)

这是一份江苏省南通市如东高级中学2024届高三上学期期中学情检测数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知,则( )
A.B.C.D.
2．已知,则( )
A.B.2C.D.
3．已知,是两个不共线的向量,,,,则( )
A.B.C.D.
4．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵,研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为,其中O表示鱼的耗氧量的单位数.某条鲑鱼想把游速提高,则它的耗氧量的单位数与原来的耗氧量的单位数之比是( )
A.3B.9C.27D.81
5．已知函数在内单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
6．已知,,则( )
A.B.C.D.
7．某单位建造一间背面靠墙的小房,地面面积为,房屋正面每平方米的造价为1200元（包含门窗）,房屋侧面每平方米的造价为800元,屋顶的造价为5800元.如果墙高为,且不计房屋背面和地面的费用,则最低总造价是( )
A.57600元B.63400元C.69200元D.元
8．已知椭圆的焦点分别为,,点A在C上,点B在y轴上,且满足,,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知数列,都是等比数列,则下列数列中一定是等比数列的是( )
A.B.C.D.
10．双曲线的左、右焦点分别为,.过作其中一条渐近线的垂线,垂足为P.已知,直线的斜率为,则( )
A.B.
C.双曲线的方程为D.
11．已知正三棱柱的各棱长都为1,E为AB的中点,则( )
A.直线与直线为异面直线
B.平面
C.二面角的正弦值为
D.若棱柱的各顶点都在同一球面上,则该球的表面积为
12．设定义在R上的函数的导函数为,若与均为偶函数,则下列说法一定正确的是( )
A.的图象关于对称B.2为的一个周期
C.的图象关于对称D.为偶函数
三、填空题
13．已知一个圆台的上、下底面半径分别为,,母线长为,则该圆台的体积是____________.
14．已知直线与交于A,B两点,写出满足“三角形ABO面积为2”的m的一个值___________.
15．已知函数在区间有且仅有3个零点,则的取值范围是____________.
四、双空题
16．如图所示,某小区有一半径为,圆心角为的扇形空地.现欲对该地块进行改造,从弧AB上一点P向OB引垂线段PH从点H向OP引垂线段DH.在三角形OPH三边修建步行道,则步行道长度的最大值是_________m.在三角形ODH内修建花圃,则花圃面积的最大值是______________.
五、解答题
17．设正项数列的前n项和为,,.
(1)求;
(2)若,求.
18．在中,,.
(1)求A;
(2)若,M为AB的中点,求的面积.
19．某集团下属公司在2023年的年初有资金5000万元,根据以往经验,若将其全部投入生产,该公司的每年资金年增长率为.现集团要求该公司从2023年开始,每年年底上缴资金1000万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底公司上缴资金后的剩余资金为万元.
(1)求;
(2)若第m（m为正整数）年年底公司的剩余资金超过30000万元,求m的最小值.
20．如图,三棱锥中,所有棱长均为6,E,G分别是BC,AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有.
(1)证明：直线EF,GH,BD相交于一点;
(2)求直线FG与平面BCD所成角的正弦值.
21．设,.
(1)求的最小值;
(2)若,,求实数a的取值范围.
22．在平面直角坐标系中,直线与抛物线相切.
(1)求p的值;
(2)若点F为C的焦点,点P为C的准线上一点.过点P的两条直线,分别与C相切,直线l与,分别相交于A,B,求证：.
参考答案
1．答案：B
解析：由,得或,则或,
又,所以,
故选：B.
2．答案：A
解析：因为,
所以.
故选：A.
3．答案：C
解析：因为,是两个不共线的向量,设,
则,
即,解得,
所以.
故选：C.
4．答案：D
解析：设鲑鱼原来的游速为耗氧量的单位数为,现在的游速为耗氧量的单位数为,
由题意得：,即,
所以,
故选：D.
5．答案：D
解析：依题意,,恒成立,即,恒成立,则,
函数有意义,则,解得或,
显然函数在上单调递增,因此函数在上单调递增,
从而函数在上单调递增,
所以实数a的取值范围是.
故选：D.
6．答案：C
解析：由题意,解得或（舍去）,
从而,,
所以.
故选：C.
7．答案：B
解析：设房屋的正面边长为,侧面边长为,总造价为z元,则,即,
所以
.
当时,即当时,z有最小值,最低总造价为63400元.
故选：B.
8．答案：D
解析：如图,的图象,则,,其中,
设,,则,
,,,
因,得,
故,得,
由得,
得即,得
由,得,又,,
化简得,又椭圆离心率,
所以,得.
故选：D.
9．答案：AC
解析：设等比数列、的公比分别为、,其中,,
对任意的,,,
对于A选项,,即数列为等比数列,A满足条件;
对于B选项,不妨取,,则数列、都是等比数列,
但对任意的,,
故数列不是等比数列,不满足条件;
对于C选项,,故为等比数列,C满足条件.
对于选项,不妨取,,则数列、都是等比数列,
但当时,,
故数列不是等比数列,D不满足条件;
故选：AC.
10．答案：ACD
解析：因为,不妨设渐近线方程为,即,
所以,所以,故A正确;
设,因为且,所以,
因为,所以,所以,
所以,所以,
所以,解得,
所以,则离心率,故B错误,
所以双曲线方程为：,故C正确,
,故D正确.
故选：ACD.
11．答案：ABD
解析：连接、交于点F,连接EF,则F为的中点,
又E为AB的中点,所以,平面,平面,
所以平面,故B正确;
又,EF,平面,所以与不平行且无公共点,
所以直线与直线为异面直线,故A正确;
取的中点D,连接ED,则,又平面ABC,则平面ABC,又,
如图建立空间直角坐标系,则,,,
所以,,
设平面的法向量为,则,取,
又平面ACE的法向量可以为,
设二面角为,显然为锐二面角,
则,所以,
即二面角的正弦值为,故C错误;
外接圆的半径,
所以正三棱柱外接球的半径,
所以该球的表面积,故D正确.
故选：ABD.
12．答案：ABC
解析：因为为偶函数,则的图象关于对称,则,故A正确;
因为为偶函数,则的图象关于对称,则,
所以,即,
所以2为的一个周期,故B正确;
因为2为的一个周期,则,
又,所以,
所以,即,
所以的图象关于对称,故C正确;
由,得,
所以,则为奇函数,故D错误.
故选：ABC.
13．答案：
解析：依题意,圆台的高,
所以圆台的体积为.
故答案为：
14．答案：1(或-1)
解析：直线过定点,点也在上,故可设,
,三角形ABO面积为2,则点B到x轴的距离为2,
点B在上,则有或,代入直线方程解得或.
故答案为：1(或-1)
15．答案：
解析：函数的零点,即方程的根,
当时,有,方程在区间有且仅有3个根,
则,解得,即的取值范围是
故答案为：.
16．答案：;
解析：依题意,设,则,
因此的周长,
显然,于是当,即时,取等号,
所以步行道长度的最大值是;
由于,得,
因此的面积,
令,求导得,
而,则当时,,函数递增,当时,,函数递减,
于是当,即时,,
所以花圃面积的最大值.
故答案为：;
17．答案：(1)
(2)
解析：（1）因为,
当时,,所以（舍）或.
当时,,,
两式相减得：,
,
,
因为是正项数列,所以,,即,
所以是以为首项,2为公差的等差数列.
所以.
（2）由（1）可知,是以为首项,2为公差的等差数列,
所以.
所以.
.
18．答案：(1)
(2)
解析：（1）在中,,,
则,
,
,
即,即,
则,
又,
则;
（2）因为,,所以,
所以,在中,
即,解得（负值舍去）,
所以.
19．答案：(1)
(2)5
解析：（1）由已知可得,且,,
则,
所以数列是以为首项,为公比的等比数列,
所以,
;
（2）由（1）得,
所以,,
即,,
设,,且单调递增,
又,,
所以的解集为,
所以m的最小值为5.
20．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）连接GE、HF,因为E,G分别是BC,AB的中点,所以且
又,所以且,
所以且,
所以H,F,G,E四点共面,EF与GH相交,设交点为P.
因为,平面BCD,所以平面BCD,
同理可得平面ABD,
因为平面平面,
所以,
所以直线EF,GH,BD相交于一点.
（2）因为三棱锥中所有棱长均为6,
连接AE,DE,则,,AE,平面AED,
故平面AED,而平面BCD,故平面平面BCD,
在平面AED内过E作直线z垂直于DE,
因为平面平面,则平面BCD,
以BC,DE所在的直线为x,y,以直线z为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,
因为F在CD上且,
所以,
所以,则,
平面BCD的法向量可以为,
所以,
则直线FG与平面BCD所成角的正弦值为.
21．答案：(1)
(2)
解析：（1）,
,解得,即函数的定义域为,
又,
令,得,即,
当时,,即在上单调递减;
当时,,即在上单调递增.
时取得极小值即最小值,即.
（2）设,,
则,又,则,
令,,则,
当时,所以在上单调递减,
所以,即,
所以在上单调递减,
则,即,
当时,所以在上单调递增,
所以,即,
所以在上单调递增,
则,即,不符合题意,故舍去;
当时,在区间上,所以在上单调递增,
所以,即,
所以在上单调递增,则,即,不符合题意,故舍去;
综上可得.
22．答案：(1)2;
(2)证明见解析.
解析：（1）
因为直线与抛物线相切,
所以,解得或（舍）,
故p的值为2.
（2）证明：由（1）可知,焦点,准线方程为.
设准线上一点,
因为过点P的两条直线,分别与C相切,所以直线,斜率均不为零,
故设过点的两条直线,的方程分别为,.
,即A点坐标为
同理,B点坐标为.
所以,.
联立,可得
因为,与C相切,所以,即,
且,为方程的两根,
根据韦达定理,则有.
所以
所以,即.