2022-2023学年广东省云浮市高一下学期期末数学试题（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省云浮市高一下学期期末数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.1i=( )
A. −iB. iC. 1D. −1
2.若正方形ABCD的边长为2，则AD−AB=( )
A. 4 2B. 2 2C. 2D. 22
3.高一年级有男生480人，女生520人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法抽取了总样本量为50的样本，则张华从男生中抽取的样本量为( )
A. 23B. 24C. 25D. 26
4.一个几何体由6个面围成，则这个几何体不可能是( )
A. 四棱台B. 四棱柱C. 四棱锥D. 五棱锥
5.如图，在长方体ABCD−A′B′C′D′中，A′E=2EB′，BF=FB′，G，H，分别在棱CC′，C′D′上，EH//B′C′//FG，该长方体被平面EFGH截成两个几何体，设体积较大的几何体的体积为V1，体积较小的几何体的体积为V2，则V1V2=( )
A. 10B. 5C. 12D. 11
6.柜子中有3双不同颜色的手套，红色、黑色、白色各1双.若从中随机地取出2只，则取出的手套是一只左手套一只右手套，但不是一双手套的概率为( )
A. 15B. 25C. 35D. 45
7.2012年至2021年全国及广东固定资产投资年增速情况如图所示，则( )
A. 2012年至2021年全国固定资产投资先减后增
B. 2012年至2021年广东固定资产投资年增速的40%分位数为11.1%
C. 2012年至2021年全国固定资产投资年增速的平均数比2012年至2021年广东固定资产投资年增速的平均数大
D. 2012年至2021年全国固定资产投资年增速的方差比2012年至2021年广东固定资产投资年增速的方差大
8.罗定文塔，位于广东省云浮市罗定市城区.宝塔平面上呈八角形，各层塔檐微微翘起，状如绽开的花瓣.顶层的莲花座铁柱、塔刹九霄盘、宝珠等铸件总重逾七吨，为广东古塔之最.如图，为了测量罗定文塔的高度，选取了与该塔底B在同一平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD=69∘，∠CDB=37∘，CD=37.6m，在点C测得罗定文塔顶端A的仰角为64∘，则罗定文塔的高度AB=.(参考数据：取tan 64∘≈2，cs 37∘≈0.8， 6≈2.449， 2≈1.414)( )
A. 23.5mB. 47mC. 24.5mD. 49m
二、多选题：本题共4小题，共20分。
9.若1+iz=5−3i，则
( )
A. z的实部为1
B. z的虚部为−4
C. z= 17
D. z−2−i在复平面内对应的点位于第二象限
10.已知▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a=3,b=4，锐角C满足sinC= 154，则
( )
A. ▵ABC的面积为3 15B. csC=14
C. c= 19D. csB= 1919
11.如图，这是一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，其中nΩ=120，nA=40，nB=30，nA∩B=10，则
( )
A. PAB=112B. PA∪B=12C. A与B互斥D. A与B相互独立
12.已知矩形ABCD，AB=1，BC= 3，将△ADC沿对角线AC进行翻折，得到三棱锥D−ABC，在翻折过程中，下列结论正确的是
( )
A. 三棱锥D−ABC的外接球的体积不变
B. 三棱锥D−ABC的体积的最大值为13
C. 当三棱锥D−ABC的体积最大时，二面角D−BC−A的正切值为2 3
D. 异面直线AB与CD所成角的最大值为90∘
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.从1～9这9个数中随机选择一个数，则这个数的平方的个位数字为4的概率为 ．
14.已知向量a，b满足a=5，b=2，且a在b上的投影向量为2b，则a，b夹角的余弦值为 ，a⋅b= ．
15.已知一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为π2的扇形，将该圆锥加工打磨成一个球状零件，则该零件表面积的最大值为 ．
16.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，E，M，N，P，Q分别为AB，C1D1，B1C1，BC，CD的中点，O为平面MNPQ内的一个动点，则A1O+OE的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。
17.已知点A1,1，B−1,0，C0,1，且AB=CD．
(1)求点D的坐标；
(2)求▵ABC 的面积．
18.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，P，Q分别为A1B，CC1的中点．

(1)证明：PQ//平面ABC．
(2)证明：平面A1BQ⊥平面AA1B1B．
19.村BA全称是“美丽乡村”篮球联赛，近几个月以来，广东各地村居篮球联赛众多.村BA以篮球为纽带，掀起乡村体育热潮，大力促进全民健身和乡村振兴的发展.某村BA球队对最近50场比赛的得分进行了统计，将数据按55,65,65,75，75,85,85,95分为4组，画出的频率分布直方图如图所示．

(1)求频率分布直方图中m的值；
(2)估计这50场比赛得分的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)；
(3)若该球队准备对得分排名前20%的比赛进行宣传，试估计被宣传的比赛得分不低于多少．
20.已知a，b，c分别为▵ABC三个内角A，B，C的对边，且 3a−2bsinA=0，B为锐角．
(1)求B；
(2)若a+c=5，b= 7，求AB⋅AC．
21.某高校的入学面试中有A，B，C三道题目，规则如下：第一环节，面试者先从三道题目中随机抽取一道，若答对抽到的题目，则面试通过，若没答对抽到的题目，则进入第二环节；第二环节，该面试者从剩下的两道题目中随机抽取一道，若答对抽到的题目，则面试通过，若没答对抽到的题目，则进入第三环节；第三环节，若该面试者答对剩下的一道题目，则面试通过，若没有答对剩下的题目，则面试失败.假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，李明答对A，B，C题的概率依次是12，13，14．
(1)求李明第一环节抽中A题，且第一环节通过面试的概率；
(2)求李明第二环节或第三环节通过面试的概率．
22.如图，在四面体ABCD中，AB=AD，BC=CD，E为BD的中点，F为AC上一点．
(1)求证：平面ACE⊥平面BDF；
(2)若∠BCD=90∘，∠BAD=60∘，AC= 3BC，求直线BF与平面ACD所成角的正弦值的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查复数的除法运算，属于基础题．
根据复数代数形式的除法运算计算可得．
【解答】
解： 1i=1×ii2=−i ．
故选：A
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查利用向量的数量积求向量的模，属于基础题．
根据数量积的运算律计算可得．
【解答】
解：因为正方形 ABCD 的边长为 2 ，所以 AD=AB=2 ，且 AD⊥AB ，
所以 AD−AB= AD−AB2= AD2−2AD⋅AB+AB2
= AD2−2AD⋅AB+AB2= 22−2×0+22=2 2 ．
故选：B
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查分层随机抽样，属于基础题．
根据分层随机抽样的概念以及抽取方法，即可求解．
【解答】
解：由题意，高一年级有男生480人，女生520人，可得高一年级共有 480+520=1000 人，
用分层随机抽样的方法抽取了总样本量为50的样本，
则张华从男生中抽取的样本量为 501000×480=24 ．
故选：B．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查棱锥，棱柱，棱台的结构特征，属于基础题．
根据棱柱，棱台和棱锥的面的个数，结合选项得出答案即可．
【解答】
解：对于A，四棱台是上下两个四边形，四个侧面，共有6个面，满足题意；
对于B，四棱柱是上下两个四边形，四个侧面，共有6个面，满足题意；
对于C，四棱锥有一个底面，四个侧面，共有5个面，不满足题意；
对于D，五棱锥有一个底面，五个侧面，共有6个面，满足题意．
故选：C
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查棱柱的体积，属于中档题．
不妨设 A′B′=3 ， BB′=2 ，即可求出 S▵EFB′ 、 S五边形ABFEA ′ ，依题意截成的两部分均为高为 BC 的直棱柱，则体积之比即为底面积之比．
【解答】
解：不妨设 A′B′=3 ， BB′=2 ，因为 A′E=2EB′ ，所以 A′E=2 ， EB′=1 ，
BF=FB′ ，所以 BF=FB′=1 ，
所以 S▵EFB′=12×1×1=12 ， S五边形ABFEA ′=S矩形ABB ′A ′−S△EFB ′=3×2−12=112 ，
因为 EH//B′C′//FG ，所以长方体被平面 EFGH 截成的两部分均为高为 BC 的直棱柱，
所以其体积之比即为底面积之比，所以 V1V2=S五边形ABFEA ′S△EFB ′=11 ．
故选：D
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查古典概型及其计算，属于中档题．
利用列举法求得总情况数，以及所求事件中包含的情况数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解．
【解答】
解：由题意，分别用 a1,a2,b1,b2,c1,c2 表示6只手套，
从中随机地取出2只，包含 a1,a2,a1,b1,a1,b2,a1,c1,a1,c2,a2,b1,a2,b2 ， a2,c1,a2,c2,b1,b2,b1,c1,b1,c2,b2,c1,b2,c2,c1,c2 ，共有15种，
其中取出的手套中一只左手套一只右手套，但不是一双手套
包含 a1,b2,a1,c2,a2,b1,a2,c1,b1,c2,b2,c1 ，共有6种，
所以取出的手套中一只左手套一只右手套，但不是一双手套的概率为 P=615=25 ．
故选：B．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查折线图，百分位数，平均数，方差，属于中档题．
根据折线统计图一一分析即可．
【解答】
解：由折线统计图可知2012年至2021年全国固定资产投资年增速先减后增，
但是均为正数，故全国固定资产投资均增加，故A错误;
2012年至2021年广东固定资产投资年增速从小到大排列为 6.3% 、 7.2% 、 10.0% 、
10.7% 、 11.1% 、 13.5% 、 14.6% 、 15.8% 、 15.9% 、 18.2% ，
因为 10×40%=4 ，所以 40% 分位数为第 4 、 5 位两数的平均数，即为 10.7%+11.1%2=10.9% ，故B错误；
由统计图可知只有 2012 年全国固定资产投资年增速比广东固定资产投资年增速大，且相差不到4，
其余年份广东固定资产投资年增速均大于全国固定资产投资年增速，
所以2012年至2021年全国固定资产投资年增速的平均数比2012年至2021年广东固定资产投资年增速的平均数小，故C错误；
因为全国固定资产投资年增速的极差为 18.4%−2.9%=15.5% ，
广东固定资产投资年增速的极差为 18.2%−6.3%=11.9% ，
且全国固定资产投资年增速比较分散，广东固定资产投资年增速比较集中，
所以2012年至2021年全国固定资产投资年增速的方差比2012年至2021年广东固定资产投资年增速的方差大，故D正确；
故选：D
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查正弦定理解决实际问题，属于中档题．
首先求出 sin37∘ ，再由两角和的正弦公式求出 sin75∘ ，在 ▵BCD 中由正弦定理表示出 BC ，再由锐角三角函数得到 AB=BCtan64∘ ，从而计算可得．
【解答】
解：因为 cs 37∘≈0.8 ，所以 sin 37∘= 1−cs237∘≈0.6 ，
又 sin74∘≈sin75∘=sin45∘+30∘
=sin45∘cs30∘+cs45∘sin30∘
= 22× 32+ 22×12= 6+ 24 ，
因为 ∠BCD=69∘ ， ∠CDB=37∘ ，所以 ∠CBD=180∘−69∘−37∘=74∘ ，
在 ▵BCD 中，由正弦定理得 CDsin∠CBD=CBsin∠CDB ，
即 CB=CDsin∠CDBsin∠CBD=37.6×sin37∘sin74∘ ，又 tan64∘=ABBC ，
所以 AB=BCtan 64∘≈2BC=2×37.6×sin 37∘sin 74∘
≈2×37.6×0.6 6+ 24≈47(m) ．
故选：B
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查复数的运算和概念，属于中档题．
根据复数代数形式的除法运算化简z，即可求出z，从而判断A、B、C，再求出z−2−i，根据复数的几何意义判断即可．
【解答】
解：因为1+iz=5−3i，所以z=5−3i1+i=5−3i1−i1+i1−i=5−5i−3i+3i22=1−4i，
所以z=1+4i，所以z的实部为1，虚部为4，z= 12+42= 17，故 A、C正确，B错误；
z−2−i=1+4i−2−i=−1+3i，所以z−2−i在复平面内对应的点−1,3位于第二象限，故 D正确；
故选：ACD．
10.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查三角形面积公式，余弦定理的应用，属于基础题．
由三角形的面积公式，可判定A错误；由同角三角函数的基本关系，可判定B正确，由余弦定理，可判定C正确，D错误．
【解答】
解：在▵ABC中，因为a=3,b=4，且sinC= 154，
由三角形的面积公式，可得S▵ABC=12absinC=12×3×4× 154=3 152，所以 A错误；
由C为锐角，且sinC= 154，可得csC= 1−sin2C=14，所以 B正确；
由余弦定理得c2=a2+b2−2abcsC=9+16−2×3×4×14=19，可得c= 19，所以 C正确；
由余弦定理得csB=a2+c2−b22ac=9+19−162×3× 19=2 1919，所以D不正确．
故选：BC．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查互斥事件、相互独立事件，和事件的概率公式，相互独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
根据古典概型的概率公式求出PA，PB，PAB，即可判断A、C、D，再根据和事件的概率公式计算PA∪B，即可判断B．
【解答】
解：因为nΩ=120，nA=40，nB=30，nA∩B=10，
所以PA=nAnΩ=13，PB=nBnΩ=14，PAB=nA∩BnΩ=112，
所以PAB=PA⋅PB，即A与B相互独立，故 A、D正确；
因为nA∩B=10，所以A与B不互斥，故 C错误；
PA∪B=PA+PB−PAB=13+14−112=12，故 B正确；
故选：ABD
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查棱锥的体积，二面角，异面直线所成角，球的切、接问题，属于中档题．
由直角三角形的性质得出AC的中点为三棱锥D−ABC外接球的球心，进而得出 A正确；
当平面ADC⊥平面ABC时，三棱锥D−ABC的体积最大，从而判断B；
三棱锥D−ABC的体积最大时，平面ADC⊥平面ABC，进而可求二面角D−BC−A的正切值；
当BD= 2，由线面垂直判定定理证明CD⊥平面ABD，进而得出异面直线AB与CD所成角的最大值为90∘．
【解答】
解：对于A，设AC的中点为O，则由Rt▵ABC、Rt▵ADC知，

OA=OB=OC=OD，所以O为三棱锥D−ABC外接球的球心，其半径为12AC=1，
所以三棱锥D−ABC外接球的体积为43π，故 A正确；
对于B，设三棱锥D−ABC底面ABC上的高为ℎ，则VD−ABC=13S△ABC⋅ℎ，
当平面ADC⊥平面ABC时，三棱锥D−ABC的高最大，此时ℎ=1× 32= 32，
此时三棱锥D−ABC的体积VD−ABC=13×12×1× 3× 32=14，故 B错误；
对于C，三棱锥D−ABC的体积最大时，平面ADC⊥平面ABC，

过点D作DM⊥AC交AC于点M，过点M作MN//AB，交BC于点N，连接DN，
由平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，DM⊂平面ADC，
所以DM⊥平面ABC，而BC⊂平面ABC，所以DM⊥BC，
又MN//AB，AB⊥BC，所以MN⊥BC，
因为DM∩MN=M，DM,MN⊂平面DMN，所以BC⊥平面DMN，
又DN⊂平面DMN，所以BC⊥DN，
所以∠DNM即为二面角D−BC−A的平面角，
又DM=AD⋅DCAC= 32，则MC= DC2−DM2=12，
又▵CMN∽▵CAB，所以MNAB=CMCA，则MN=14，
所以tan∠DNM=DMMN=2 3，
即二面角D−BC−A的正切值为2 3，故 C正确；
对于D，当翻折后点D到点B的距离为 2，即BD= 2，在▵BCD中，BC2=BD2+CD2，
则CD⊥BD，又CD⊥AD,AD∩BD=D,AD,BD⊂平面ABD，则CD⊥平面ABD，即异面直线AB与CD所成角为90∘，
即异面直线AB与CD所成角的最大值为90∘，故 D正确；
故选：ACD
13.【答案】29
【解析】【分析】
本题考查古典概型及其计算，属于基础题，
根据古典概型的概率公式计算可得．
【解答】
解：因为 12=1 ， 22=4 ， 32=9 ， 42=16 ， 52=25 ， 62=36 ， 72=49 ， 82=64 ， 92=81 ，
从 1～9 这 9 个数中随机选择一个数共有 9 种选法，
其中这个数的平方的个位数字为 4 的只有 2 、 8 共 2 个，
所以所求的概率 p=29 ．
故答案为： 29．
14.【答案】45；8
【解析】【分析】
本题考查利用向量的数量积求向量的夹角，投影向量，属于基础题．
根据a在b上的投影向量为a⋅bb⋅bb，求出a⋅b，再求出夹角的余弦值．
【解答】
解：因为a=5，b=2，且a在b上的投影向量为2b，
所以a⋅bb⋅bb=2b，即a⋅b=2b2=8，
所以csa,b=a⋅ba⋅b=85×2=45．
故答案为：45；8
15.【答案】12π5
【解析】【分析】
本题主要考查圆锥内切球的表面积，属于中档题．
运用扇形的弧长公式可求得圆锥半径，结合等面积法可求得三角形的内切圆半径，进而求得圆锥内切球的表面积．
【解答】
解：由题意知，该圆锥的母线长为 l=4 ，设圆锥底面圆半径为 R ，高为 ℎ ，如图所示，
由 2πR=4×π2 得， R=1 ，所以 ℎ= l2−R2= 15 ．
圆锥 PO 内切球的半径等于 ▵PAB 内切圆的半径，设 ▵PAB 的内切圆圆心为 O1 ，半径为 r ，由 S▵PAB=S▵PAO1+S▵PBO1+S▵ABO1 得， 12×2× 15=12×4r+12×4r+12×2r ，解得 r= 155 .所以该球状零件表面积的最大值为 4πr2= 12π5 ．
故答案为： 12π5 ．

16.【答案】 17
【解析】【分析】
本题考查空间中两点间距离公式，属于中档题．
先根据线面垂直得出E关于面MNPQ的对称点为T， EP=PT ，再建系根据两点间距离求解即可．
【解答】
解：延长 EP ，与 DC 的延长线交于点 T ， ABCD 是正方形，
∵AC⊥BD,EP//AC,QP//BD,∴EP⊥QP ，
易得 EP⊥PN ，
又 PN∩PQ=P ， PN⊂ 平面 MNPQ ， PQ⊂ 平面 MNPQ ，
所以 EP⊥ 平面 MNPQ ，
则 TP⊥ 平面 MNPQ ， EP=PT .E关于面MNPQ的对称点为T，
易知 A1O+OE=A1O+OT≥A1T ，
以 D 为坐标原点，DA， DC ， DD1 所在直线分别为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系．
∵AB=2 ，E，P，分别为 AB ， BC 的中点， EP=PT
A12,0,2 ， T(0,3,0) ，则 A1T= 22+32+22= 17 ．
故答案为： 17 ．
17.【答案】解：(1)因为 A1,1 ， B−1,0 ， C0,1 ，
所以 AB=−1,0−1,1=−2,−1 ，设 Dx,y ，则 CD=x,y−0,1=x,y−1 ，
又 AB=CD ，所以 x=−2y−1=−1 ，解得 x=−2y=0 ，即 D−2,0 ．
(2)因为 AC=1 ，且 AC//x 轴， B 到 AC 的距离为 1 ，

所以 S▵ABC=12×1×1=12 ．

【解析】本题考查向量线性运算的坐标表示，属于基础题．
(1)设 Dx,y ，表示出 AB 、 CD 的坐标，根据对应坐标相等得到方程组，解得即可；
(2)根据点的坐标的特征，直接求出三角形的面积．
18.【答案】证明：(1)取 AB 的中点 D ，连接 PD 、 CD ，因为 P ， Q 分别为 A1B ， CC1 的中点，
所以 PD//AA1 且 PD=12AA1 ，又三棱柱 ABC−A1B1C1 是正三棱柱，所以 CQ//AA1 ， CQ=12AA1 ，
所以 PD//CQ 且 PD=CQ ，
所以四边形PDCQ 为平行四边形，所以 PQ//CD ，
因为 PQ⊄ 平面 ABC ， CD⊂ 平面 ABC ，
所以 PQ// 平面 ABC ．

(2)在正三棱柱 ABC−A1B1C1 中， D 为 AB 的中点，
所以 CD⊥AB ，又 AA1⊥ 平面 ABC ， CD⊂ 平面 ABC ，所以 CD⊥AA1 ，
又AA1∩AB=A ， AA1,AB⊂ 平面 ABB1A1 ，所以 CD⊥ 平面 ABB1A1 ，
又 CD//PQ ，所以 PQ⊥ 平面 ABB1A1 ，又 PQ⊂ 平面 A1BQ ，
所以平面 A1BQ⊥ 平面 AA1B1B ．

【解析】本题考查面面垂直的判定，线面平行的判定，属于基础题．
(1)取 AB 的中点 D ，连接 PD 、 CD ，即可证明四边形PDCQ 为平行四边形，从而得到 PQ//CD ，即可得证；
(2)首先证明 CD⊥ 平面 ABB1A1 ，即可得到 PQ⊥ 平面 ABB1A1 ，进而得证．
19.【答案】解：(1)由频率分布直方图可得 m+0.03+2m+0.01×10=1 ，解得 m=0.02 ．
(2)由频率分布直方图可得平均数为 0.02×60+0.03×70+0.04×80+0.01×90×10=74 ．
(3)因为 0.02+0.03+0.04×10=0.9>0.8 ，
0.02+0.03×10=0.5