2023-2024学年甘肃省武威市凉州区西营片九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年甘肃省武威市凉州区西营片九年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若关于x的一元二次方程x2+4x+c=0有两个不相等的实数根，则c的值可能为( )
A. 6B. 5C. 4D. 3
3.下列方程中①2x2−13x=1②2x2−5xy+y2=0③7x2+1=0④y22=0是一元二次方程的( )
A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ①和③
4.参加夏季篮球联赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛28场.设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是( )
A. 12x(x+1)=28B. x(x+1)=28C. 12x(x−1)=28D. x(x−1)=28
5.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象大致为，并简述理由．( )
A. B.
C. D.
6.二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为x=−1，图象与x轴相交于点(1,0)，则方程ax2+bx+c=0的根为( )
A. x1=1，x2=−3
B. x1=−1，x2=3
C. x1=1，x2=−13
D. x1=−1，x2=13
7.将点(1,2)绕原点逆时针旋转90°得到的点的坐标是( )
A. (−1,−2)B. (2,−1)C. (1,−2)D. (−2,1)
8.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点.若∠DCE=55°，则∠BOD的度数是( )
A. 75°
B. 110°
C. 130°
D. 140°
9.如图，正五边形ABCDE内接于半径为3的⊙O，则阴影部分的面积为( )
A. 18π5
B. 12π5
C. 9π5
D. 6π5
10.在做抛硬币试验时，抛掷n次，若正面向上的次数为m次，则记正面向上的频率P=mn.下列说法正确的是( )
A. P一定等于12
B. P一定不等于12
C. 多抛一次，P更接近12
D. 随着抛掷次数的逐渐增加，P稳定在12附近
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.方程x2=4x的解是______．
12.二次函数y=−x2+3x+3的图象与y轴的交点坐标是______．
13.将抛物线y=−2(x+2)2向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线的函数解析式为______．
14.若点A(m,5)与点B(−2,n)关于原点对称，则2m+n的值为______ ．
15.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的度数是______°.
16.如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=30°，则∠ABO的度数是______ ．
17.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，F是CD弧的中点，则∠CBF的度数为______．
18.平面内有5个点A，B，C，D，E，直线AB与直线CD正好相交于点E，在这5个点中，过其中3个点能确定一个圆的概率是______ ．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
19.解下列一元二次方程：
(1)x2+10x+16=0；
(2)x(x+4)=8x+12．
四、解答题：本题共8小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(2,4)，B(1,0)，C(5,1)．
(1)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°得△A1B1C1，其中A，B，C分别和A1，B1，C1对应，作出△A1B1C1；
(2)作出△ABC关于点O成中心对称的△A2B2C2，并写出△A2B2C2三个顶点的坐标；
(3)请求出△A2B2C2的面积．
21.(本小题6分)
已知a是方程2x2−7x−1=0的一个根，求代数式a(2a−7)+5的值．
22.(本小题6分)
将二次函数y=2x2+4x−1的解析式化为y=a(x+m)2+k的形式，并指出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
23.(本小题6分)
某工厂生产地方特色手工老棉鞋，它的成本价为20元/双.该工厂利用网络平台销售某一批老棉鞋，每天销售量y(双)与销售单价x(元)之间的函数图象如图，已知图象是直线的一部分．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)若该工厂要求每天销售量不低于320双，当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
24.(本小题6分)
如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，连接CO并延长CO与AB的延长线交于点D，连接AC．
(1)求证：AC为⊙O的切线；
(2)若⊙O半径为3，OD=5.求线段AD的长．
25.(本小题8分)
如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若EB=9，AE=1．
(1)求弦CD的长．
(2)连接AC、BC，若∠AOC=20°，求∠BAC的度数．
26.(本小题8分)
袋子里有三种颜色的球，其中红球8个，白球4个，黑球3个，每个球除颜色外其他均相同.现从袋中任意摸出一个球，若要使摸到黑球的可能性最大，至少要在这个口袋中再放入多少个黑球？
27.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A(0,3)，C(−1,0).将矩形OABC绕原点顺时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′.设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y=ax2+2x+c的图象经过点C、M、N．
(1)点B的坐标为______，点B′的坐标为______；
(2)求抛物线的解析式；
(3)求△CMN的面积．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念(在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转+180°后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形)得出结论即可．
本题主要考查中心对称图形和轴对称图形的知识，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：根据题意，得：Δ=42−4×1×c>0，
解得c<4，
故选：D．
根据方程有两个不相等的实数根得出Δ=42−4×1×c>0，解之可得答案．
本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：
①当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ<0时，方程无实数根．
3.【答案】C
【解析】解：①中13x是分式，则①不是一元二次方程；
②中含有两个未知数，则②不是一元二次方程；
③，④均符合一元二次方程的定义，它们均为一元二次方程；
故选：C．
形如ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c是常数)的方程即为一元二次方程，据此进行判断即可．
本题考查一元二次方程的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：根据题意，得12x(x−1)=28，
故选：C．
根据参加夏季篮球联赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛28场，列一元二次方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、由一次函数y=ax+c的图象可得：a>0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上，错误；
B、由一次函数y=ax+c的图象可得：a>0，c>0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上，交于y轴的正半轴，错误；
C、由一次函数y=ax+c的图象可得：a<0，c>0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，错误．
D、由一次函数y=ax+c的图象可得：a<0，c>0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，与一次函数的图象交于同一点，正确；
故选：D．
可先根据一次函数的图象判断a、c的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
6.【答案】A
【解析】解：由图象可得，
该函数图象与x轴的一个交点为(1,0)，
∵该函数图象的对称轴为x=−1，
∴该函数图象与x轴的另一个交点坐标为(−3,0)，
∴方程ax2+bx+c=0的根为x1=1，x2=−3，
故选：A．
根据函数图象与x轴的一个交点坐标和二次函数图象具有对称性，可以写出该函数图象与x轴的另一个交点坐标，从而可以写出方程ax2+bx+c=0的根．
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7.【答案】D
【解析】解：如图，由图象可知A′(−2,1)．
故选：D．
利用图象法解决问题即可．
本题考查坐标与图形变化−旋转，解题的关键是学会用图象法解决问题．
8.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠A=∠DCE=55°，
由圆周角定理得：∠BOD=2∠A=2×55°=110°，
故选：B．
根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理计算即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：由题意得：∠AOD=25×360°=144°，
∴S阴影=144°π×32360∘=18π5，
故选：A．
根据正多边形的性质求出∠AOD即可求解．
本题考查正多边形和圆，扇形面积公式，掌握正多边形的性质是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵硬币只有正反两面，
∴投掷时正面朝上的概率为 12．
根据频率与概率的关系可知投掷次数逐渐增加，P稳定在 12附近．
故选：D．
根据频率与概率的关系作答．
本题考查了利用频率估计概率．大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是事件的概率．
11.【答案】0或4
【解析】解：原方程可化为：x2−4x=0，
∴x(x−4)=0
解得x=0或4，
故答案为：0或4．
此题用因式分解法比较简单，先移项，再提取公因式，可得方程因式分解的形式，即可求解．
本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法，此题方程两边公因式较明显，所以本题运用的是因式分解法．
12.【答案】(0,3)
【解析】解：二次函数y=−x2+3x+3的图象与y轴相交，则x=0，
故y=3，则图象与y轴的交点坐标是：(0,3)．
故答案为：(0,3)．
直接利用x=0时，求出y的值进而得出答案．
此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特点，正确得出x=0是解题关键．
13.【答案】y=−2x−12−4
【解析】解：将抛物线y=−2(x+2)2向右平移3个单位，再向下平移4个单位长度，则函数解析式变为y=−2x−12−4．
故答案为：y=−2x−12−4．
由平移的规律即可求得答案．
本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．
14.【答案】−1
【解析】解：∵点A(m,5)与点B(−2,n)关于原点对称，
∴m=2，n=−5，
∴2m+n=4−5=−1，
故答案为：−1．
直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(−x,−y)，再代入计算即可得出答案．
本题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标符号是解题的关键．
15.【答案】105
【解析】解：∵∠BAD=105°，
∴∠BCD=180°−∠BAD=75°，
∴∠DCE=180°−∠BCD=105°．
故答案为：105．
由圆的内接四边形的性质，可得∠BAD+∠BCD=180°，又由邻补角的定义可得：∠BCD+∠DCE=180°，可得∠DCE=∠BAD．
此题考查了圆的内接四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
16.【答案】60°
【解析】解：∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB，
∴△ABO为等边三角形，
∴∠ABO=60°．
故答案为：60°．
本题考查的是圆周角定理的含义，由圆周角定理并得到∠AOB=60°，再证明△ABO是等边三角形即可．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系．
17.【答案】18°
【解析】解：设圆心为O，连接OC，OD，BD，
∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠O=360°5=72°，
∴∠CBD=12∠O=36°，
∵F是CD的中点，
∴∠CBF=∠DBF=12∠CBD=18°，
故答案为：18°．
设圆心为O，连接OC，OD，BD，根据已知条件得到∠O=360°5=72°，根据圆周角定理即可得到结论．
本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系是解题的关键．
18.【答案】45
【解析】解：由题意得，点A，B，E在同一条直线上，不能确定一个圆，点C，D，E在同一条直线上，不能确定一个圆．
列出所有等可能的结果有：(A,B,C)，(A,B,D)，(A,B,E)，(A,C,D)，(A,C,E)，(A,D,E)，(B,C,D)，(B,C,E)，(B,D,E)，(C,D,E)，共10种，
其中过3个点能确定一个圆的结果有：(A,B,C)，(A,B,D)，(A,C,D)，(A,C,E)，(A,D,E)，(B,C,D)，(B,C,E)，(B,D,E)，共8种，
∴其中3个点能确定一个圆的概率是810=45．
故答案为：45．
由题意得，点A，B，E在同一条直线上，不能确定一个圆，点C，D，E在同一条直线上，不能确定一个圆．列出所有等可能的结果数以及过其中3个点能确定一个圆的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查概率公式、确定圆的条件，熟知不在同一直线上的三点确定一个圆是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)x2+10x+16=0，
(x+2)(x+8)=0，
x+2=0或x+8=0，
∴x1=−2，x2=−8；
(2)x(x+4)=8x+12，
x2+4x−8x−12=0，
x2−4x−12=0，
(x+2)(x−6)=0，
x+2=0或x−6=0，
∴x1=−2，x2=6．
【解析】(1)利用因式分解——十字相乘法解一元二次方程；
(2)利用因式分解——十字相乘法解一元二次方程．
本题考查解一元二次方程，掌握因式分解(十字相乘)法的技巧是解题关键．
20.【答案】解：(1)△A1B1C1如图1所示，
；
(2)△A2B2C2如图2所示；

(3)△A2B2C2的面积为：4×4−12×3×3−12×1×4−12×1×4=7.5．
【解析】(1)根据绕原点O逆时针旋转90°，得到A，B，C的对应点A1，B1，C1，即可求解；
(2)中心对称，指的是绕中心点旋转180°后与原图形重合，由此即可求解；
(3)利用割补法解答即可．
本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握中心对称，旋转的性质是解题的关键．
21.【答案】解：∵a是方程2x2−7x−1=0的一个根，
∴把x=a代入方程2x2−7x−1=0，得2a2−7a−1=0，
∴2a2−7a=1，
∴a(2a−7)+5
=2a2−7a+5
=1+5
=6．
【解析】根据一元二次方程的解的定义得到2a2−7a−1=0，则2a2−7a=1，再把a(2a−7)+5变形为2a2−7a+5，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了代数式求值．
22.【答案】解：y=2(x2+2x)−1，
y=2(x2+2x+1)−2−1，
y=2(x+1)2−3，
开口方向：向上，
顶点坐标：(−1,−3)，
对称轴：直线x=−1．
【解析】本题考查了二次函数的性质，正确掌握配方法和二次函数的性质是解题的关键．利用配方法把将二次函数y=2x2+4x−1的解析式化为y=a(x+m)2+k的形式，利用二次函数的性质指出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴，即可得到答案．
23.【答案】解：(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b，
将(40,400)和(50,300)代入表达式，
得40k+b=40050k+b=300，
解得：k=−10b=800，
∴y与x之间的函数表达式为y=−10x+800；
(2)设每天获得的利润为w元，
根据题意，得w=(x−20)(−10x+800)=−10x2+1000x−16000=−10(x−50)2+9000，
∴抛物线的开口方向向下，对称轴为直线x=50，
∴当x≤50时，w随x的增大而增大，当x>50时，w随x的增大而减小，
∵工厂要求每天销售量不低于320双，
∴−10x+800≥320，
解得：x≤48，
∴当x=48时，w取得最大值，最大值为w=−10×(48−50)2+9000=8960，
答：当销售单价为48元时，每天获得的利润最大，最大利润是8960元．
【解析】(1)利用待定系数法，将(40,400)和(50,300)代入表达式中求解，即可得到答案；
(2)设每天获得的利润为w元，根据题意可得w=−10(x−50)2+9000，再根据二次函数的性质求解，即可得到答案．
本题考查了二次函数的应用，求一次函数解析式，一元一次不等式的应用，根据题意列式是解题关键．
24.【答案】(1)证明：连接OB，

∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
即∠ABO=90°，
∵BC是弦，OA⊥BC，
∴CE=BE，
∴AC=AB，
在△AOB和△AOC中，
AB=ACAO=AOBE=CE，
∴△AOB≌△AOC(SSS)，
∴∠ACO=∠ABO=90°，
即AC⊥OC，
∴AC是⊙O的切线；
(2)解：在Rt△BOD中，由勾股定理得，
BD= OD2−OB2=4，
∵∠OBD=∠ACD=90°，∠D=∠D，
∴△DBO∽△DCA，
∴OBAC=ODAD，
∵AC、AB都为⊙O的切线，
∴AB=AC，
∴3AB=5AB+4，
解得AB=6，
∴AD=BD+AB=4+6=10．
【解析】(1)根据切线的判定方法，证出OC⊥AC即可；
(2)根据勾股定理求出BD，再证明△DBO∽△DCA，便可求得结果．
本题考查切线的判定和性质，切线长定理，相似三角形的性质与判定，掌握切线的判定方法，相似三角形的性质与判定是正确解答的关键．
25.【答案】解：(1)∵CD⊥AB，
∴CE=DE，
∵EB=9，AE=1，
∴AB=10，OC=OA=5，
∴OE=4，
在Rt△OCE中，CE= 52−42=3，
∴CD=2CE=6；
(2)如图，

∵∠AOC=20°，
∴∠B=12∠AOC=10°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°−10°=80°．
【解析】(1)利用垂径定理得到CE=DE，再计算出OC、OE，然后利用勾股定理计算出CE即可；
(2)根据圆周角定理得∠B=12∠AOC=10°，∠ACB=90°，所以∠BAC=90°−10°=80°．
本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出CE的长是解答此题的关键．
26.【答案】解：若要使摸到黑球的可能性最大，则黑球的数量要多于红球的8个，至少要在这个口袋中再放入6个黑球．
【解析】若要使摸到黑球的可能性最大，则黑球的数量要多于红球的数量．
本题主要考查了可能性的大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
27.【答案】(−1,3) (3,1)
【解析】解：(1)∵矩形OABC的顶点A(0,3)，C(−1,0)，
∴OA=3，OC=1，
∴点B(−1,3)；
由旋转可得：OA′=OA=3，OC′=OC=1，
∴点B′(3,1)．
故答案为：(−1,3)，(3,1)；
(2)设直线BB′的解析式为y=kx+b，
则有−k+b=33k+b=1，
解得：k=−12b=52，
∴直线BB′的解析式为y=−12x+52；
∵直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，
∴点M的坐标为(5,0)，点N的坐标为(0,52).
∵抛物线y=ax2+2x+c的图象经过点C(−1,0)、N(0,52)，
∴a−2+c=0c=52，
解得：a=−12c=52，
∴抛物线的解析式为y=−12x2+2x+52；
(3)∵C(−1,0)，M(5,0)，N(0,52)，
∴CM=6，ON=52，
∴S△CMN=12CM⋅ON=12×6×52=152．
∴△CMN的面积为152．
(1)根据矩形的性质和直角坐标系中点的坐标特征得出结论；
(2)用待定系数法求出直线BB′的解析式，再求出M，N坐标，再用待定系数法求抛物线解析式；
(3)根据(1)、(2)中点M，N，C坐标，由三角形面积公式求面积即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点，用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，矩形的性质等知识，关键是对二次函数性质的掌握和运用．