2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区金陵汇文学校七年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区金陵汇文学校七年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.计算：−32+(−2)3的值是( )
A. 0B. −17C. 1D. −1
2.有下列生活、生产现象：
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；
③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，
其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有( )
A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④
3.如图是某几何体的表面展开图，该几何体是( )
A. 四棱柱
B. 四棱锥
C. 三棱柱
D. 三棱锥
4.下列变形中，不正确的是( )
A. 若x=y，则x+3=y+3B. 若−2x=−2y，则x=y
C. 若xm=ym，则x=yD. 若x=y，则xm=ym
5.将一副三角板按如图所示的位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是( )
A. B.
C. D.
6.“某幼儿园给小朋友分苹果，若每个小朋友分3个则剩1个；若每个小朋友分4个则少2个，问苹果有多少个？”若设共有x个苹果，则列出的方程是( )
A. 3x+1=4x−2B. 3x−1=4x+2C. x−13=x+24D. x+13=x−24
7.由若干个小立方块所搭成的物体的主视图、左视图如图所示，它的俯视图不可能的是( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，线段CD在线段AB上，且CD=2，若线段AB的长度是一个正整数，则图中以A，B，C，D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和可能是( )
A. 28B. 29C. 30D. 31
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.在−23，3.14，0.161616…，π2中，分数有______个．
10.一个棱柱有15条棱，则这个棱柱是______ 棱柱．
11.若圆柱的底面圆半径为5cm，高为12cm，则圆柱的侧面展开图的面积是______ cm2．
12.如图所示，要使图中平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上两个数之积为24，则x−2y=______．
13.如图，一副三角尺有公共的顶点A，则∠DAB−∠EAC=______．
14.已知一个角的补角比这个角的余角3倍大10°，则这个角的度数是_____度．
15.若x=−4是关于x的方程ax−b=1(a≠0)的解，则关于x的方程a(2x−3)−b−1=0(a≠0)的解为______．
16.如图，一根绳子对折以后用线段AB表示，在线段AB的三等分点处将绳子剪断，若所得三段绳长的最大长度为8cm，则这根绳子原长为______cm．
三、解答题：本题共10小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解方程：
(1)4(x−1)−3(2x+1)=7；
(2)1−x−12=x+23．
18.(本小题6分)
若x=6是关于x的方程23(x−a)=ax6−1的解，求代数式a2+2a+1的值．
19.(本小题5分)
如图，已知∠α、∠β，利用直尺和圆规画∠AOB，使∠AOB的大小为∠α+∠β.(不写作法，保留作图痕迹.)
20.(本小题6分)
在平整的地面上，由若干个完全相同的棱长为10cm的小正方体堆成一个几何体，如图所示．
(1)请你在方格纸中分别画出这个几何体的主视图和左视图；
(2)若现在手头还有一些相同的小正方体，如果保持这个几何体的主视图和俯视图不变，
①在图中所示几何体上最多可以添加______个小正方体；
②在图中所示几何体上最多可以拿走______个小正方体．
21.(本小题6分)
如图，OC是∠AOB内一条射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，已知∠EOF=42°，求∠AOB．
22.(本小题8分)
如图，O是线段AB的中点，C是线段OB的中点．
(1)若AB=6，求线段AC的长；
(2)若AC=a，则AB= ______ (用含a的代数式表示)．
23.(本小题8分)
如图，O为直线AB上一点，∠AOC与∠AOD互补，OM、ON分别是∠AOC、∠AOD的平分线．
(1)根据题意，补全下列说理过程：
因为∠AOC与∠AOD互补，
所以∠AOC+∠AOD=180°．
又因为∠AOC+∠ ______ =180°，
根据______ ，所以∠ ______ =∠ ______ ．
(2)若∠MOC=72°，求∠AON的度数．
24.(本小题6分)
有人问一个男孩：“你们家兄弟有几个，姊妹有几个？”他回答：“我有几个兄弟就有几个姊妹.”这人又问男孩的姐姐，她回答说：“我的兄弟数就是我的姊妹数的2倍.”请问他们家兄弟、姊妹各有几个？
25.(本小题6分)
从A地到B地是一段相距180千米先上坡，再下坡的公路.一辆汽车从A地驶往B地后再原路返回A地，汽车在上坡时的速度为30千米/时，下坡时的速度为40千米/时，从A地驶往B地所需时间比从B地驶往A地所需时间多0.5小时，求从A地驶往B地时上坡和下坡的路程．
26.(本小题9分)
如图，射线OB、OC均从OA开始，同时绕点O逆时针旋转，OB旋转的速度为每秒6°，OC旋转的速度为每秒2°.当OB与OC重合时，OB与OC同时停止旋转．设旋转的时间为t秒．
(1)当t=10时，∠BOC= ______ ．
(2)当t为何值时，射线OB⊥OC？
(3)试探索，在射线OB与OC旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OB，OC与OA中的某一条射线是另两条射线所成角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了有理数的乘方法则，解题的关键是牢记法则，此题比较简单．
根据有理数的乘方法则计算即可．
【解答】
解：−32+(−2)3=−9−8=−17．
故选B．
2.【答案】C
【解析】解：①③现象能用两点可以确定一条直线来解释；
②④现象能用两点之间，线段最短来解释，
故选：C．
本题主要考查了定理的应用，正确判断现象的本质是解决本题的关键.根据直线的性质和线段的性质解答即可．
3.【答案】D
【解析】解：由该几何体的展开图可知，这个几何体有4个三角形的面，其中1个底面，3个侧面，
因此这个几何体是三棱锥，
故选：D．
根据展开图的面数及形状，再结合几何体的展开图的特征进行判断即可．
本题考查几何体的展开图，理解三棱锥的形体特征是正确解答的前提．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．
根据等式的性质即可求出答案．
【解答】
解：D选项中当m=0时，
xm与ym无意义，故D选项错误，
故选：D．
5.【答案】C
【解析】解：C中的α+β=180°−90°=90°，
故选：C．
根据余角的定义，可得答案．
本题考查了余角，利用余角的定义是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵设共有x个苹果，
∴每个小朋友分3个则剩1个时，小朋友的人数是：x−13，
若每个小朋友分4个则少2个时，小朋友的人数是：x+24，
∴x−13=x+24，
故选：C．
根据苹果总个数不变，结合每个小朋友分3个则剩1个；每个小朋友分4个则少2个，分别表示苹果数量进而得出等式即可．
此题主要考查了用一元一次方程解决实际问题，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系，此题从分体现了数学与实际生活的密切联系．
7.【答案】B
【解析】解：综合主视图和左视图，第一行第1列必有一个立方体，各选项中，只有B没有．
故选：B．
根据主视图和左视图想象出每个位置正方体可能的个数进行判定则可．
本题考查了学生综合三种视图的空间想象能力，关键是找到各图形的不同点．
8.【答案】B
【解析】解：由题意可得，
图中以A，B，C，D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是：AC+CD+DB+AD+CB+AB=(AC+CD+DB)+(AD+CB)+AB=AB+AB+CD+AB=3AB+CD，
∵CD=2，线段AB的长度是一个正整数，AB>CD，
∴当AB=8时，3AB+CD=3×8+2=26，
当AB=9时，3AB+CD=3×9+2=29，
当AB=10时，3AB+CD=3×10+2=32．
故选B．
根据数轴和题意可知，所有线段的长度之和是AC+CD+DB+AD+CB+AB，然后根据CD=2，线段AB的长度是一个正整数，可以解答本题．
本题考查两点间的距离，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
9.【答案】3
【解析】解：−23，3.14，0.161616…是分数，
故答案为：3．
根据分数的概念解答即可．
本题考查的是有理数的概念，掌握分数的定义是解题的关键．
10.【答案】五
【解析】解：由n棱柱有3n条棱可知，五棱柱有15条棱，
所以一个棱柱有15条棱，则这个棱柱是五棱柱，
故答案为：五．
根据棱柱的形体特征，得出n棱柱由3n条棱即可．
本题考查认识立体图形，掌握棱柱的形体特征是正确解答的关键．
11.【答案】120π
【解析】解：圆柱的侧面展开图是一个矩形，它的长是底面圆的周长，即10π，宽为高12cm，
所以它的面积为10π×12=120πcm2．
故答案为：120π．
根据“圆柱侧面积=底面周长×高”解答即可．
本题考查了几何体的展开图．掌握特殊立体图形的侧面展开图的特点是解题的关键．
12.【答案】0
【解析】【分析】
本题考查正方体相对两个面上的文字，代数式求值，利用正方体及其表面展开图的特点，根据相对面上的两个数之积为24，求出x、y的值，从而得到x−2y的值．
【解答】
解：将题图中平面展开图按虚线折叠成正方体后，可知标有数字“2”的面和标有x的面是相对面，标有数字“4”的面和标有y的面是相对面，
∵相对面上两个数之积为24，
∴x=12，y=6，
∴x−2y=0．
故答案为：0．
13.【答案】15°
【解析】解：∵∠DAB+∠CAD=60°，∠CAD+∠EAC=45°，
∴∠DAB−∠EAC=∠DAB+∠CAD−(∠CAD+∠EAC)=60°−45°=15°．
故答案为：15°．
根据角的和差关系解答即可．
此题主要考查了余角和补角，熟记余角的性质是解题的关键．
14.【答案】50
【解析】【分析】
本题考查了余角及补角的概念及运用，相加等于90°的两角称作互为余角，也称作两角互余，和是180°的两角互为补角.本题实际说明了一个相等关系，因而可以转化为方程来解决．【解答】
解：设这个角是x度，
则余角是(90−x)度，补角是(180−x)度，
根据题意得：180−x=3(90−x)+10，
解得：x=50．
故答案为：50．
15.【答案】x=12
【解析】解：∵x=−4是关于x的方程ax−b=1(a≠0)的解，
∴2x−3=−4是关于(2x−3)的方程a(2x−3)−b−1=0(a≠0)的解，
∴x=12是关于x的方程a(2x−3)−b−1=0(a≠0)的解．
故答案为：x=12．
根据两个方程之间的关系，可得出2x−3=−4是关于(2x−3)的方程a(2x−3)−b−1=0(a≠0)的解，解之即可得出x的值，此题得解．
本题考查了一元一次方程的解，牢记“使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解”是解题的关键．
16.【答案】12或24
【解析】解：①在点P处将绳子剪断，
根据题意可知：
PB=P′B=4，AP=A′P′=2，
∴AP+A′P′+BP+BP′=12，
所以绳子的原长为12cm，
②在点Q处将绳子剪断，
根据题意可知：
BQ=BQ′=4，AQ=A′Q′=8，
∴AQ+QB+BQ′+Q′A′=24，
所以绳子的原长为24cm，
故答案为12或24．
分两种情况画图计算即可．
本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是分两种情况画图计算．
17.【答案】解：(1)去括号，可得：4x−4−6x−3=7，
移项，可得：4x−6x=7+4+3，
合并同类项，可得：−2x=14，
系数化为1，可得：x=−7．
(2)去分母，可得：6−3(x−1)=2(x+2)，
去括号，可得：6−3x+3=2x+4，
移项，可得：−3x−2x=4−6−3，
合并同类项，可得：−5x=−5，
系数化为1，可得：x=1．
【解析】(1)去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．
(2)去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．
此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
18.【答案】解：∵x=6是关于x的方程23(x−a)=ax6−1的解，
∴23(6−a)=6a6−1，
解得a=3．
则a2+2a+1=(a+1)2=(3+1)2=16．
即：a2+2a+1=16．
【解析】把x=6代入一元一次方程后求得a的值．然后把a的值代入变形后的代数式进行求值．
本题考查了一元一次方程的解．本题含有一个未知的系数．根据已知条件求未知系数的方法叫待定系数法，在以后的学习中，常用此法求函数解析式．
19.【答案】解：如图，∠AOB即为所求．

【解析】先作∠AOC=∠α，再作∠BOC=∠β，即可求解．
本题主要考查了尺规作图——作一个角等于已知角．
20.【答案】解：(1)该组合体的主视图、左视图如图所示：
(2)①2；
②2．
【解析】【分析】
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键．
(1)根据简单组合体的三视图的画法，画出从正面、左面看该组合体所看到的图形即可；
(2)①从俯视图的相应位置增加小正方体，直至主视图不变即可；
②在俯视图的相应位置减少小正方体，直至主视图不变即可．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)①在俯视图的相应位置最多添加相应数量的正方体，如图所示：
故答案为：2；
②在俯视图的相应位置最多减少相应数量的正方体，如图所示：
故答案为：2．
21.【答案】解：∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴∠AOC=2∠EOC，∠BOC=2∠FOC，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=2(∠EOC+∠FOC)=2∠EOF=2×42°=84°．
【解析】依据角平分线的定义，即可得到∠AOC=2∠EOC，∠BOC=2∠FOC，再根据∠AOB=∠AOC+∠BOC进行计算即可．
本题考查了角平分线定义和角的有关计算的应用，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
22.【答案】43a
【解析】解：(1)∵AB=6，O是线段AB的中点，
∴AO=OB=12AB=3，
∵C是线段OB的中点，
∴OC=CB=12OB=1.5，
∴AC=AO+OC=3+1.5=4.5；
故答案为：4.5；
(2)∵AC=AO+OC=12AB+12OB=12AB+14AB=34AB，
∴AB=43AC=43a.
故答案为：43a.
(1)根据线段中点的定义得AO=OB=12AB，OC=CB=12OB，则AC=AO+OC；
(2)由AC=AO+OC=12AB+12OB=12AB+14AB=34AB，以此即可求解．
本题主要考查线段的和差以及线段中点的定义，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解题关键．
23.【答案】解：(1)因为∠AOC与∠AOD互补，
所以∠AOC+∠AOD=180°．
又因为∠AOC+∠BOC=180°，
根据同角的补角相等，所以∠AOD=∠BOC，
故答案为：BOC；同角的补角相等；AOD；BOC；
(2)∵OM是∠AOC的平分线．
∴∠AOC=2∠MOC=2×72°=144°，
∵∠AOC与∠AOD互补，
∴∠AOD=180°−144°=36°，
∵ON是∠AOD的平分线．
∴∠AON=12∠AOD=18°．
【解析】(1)由题意可得∠AOC+∠COD=180°，∠AOC+∠AOB=180°，可以根据同角的补角相等得到∠COD=∠AOB；
(2)首先根据角平分线的性质可得∠AOC=2∠COM，∠AON=12∠AOB，然后计算出∠AOC=144°，再根据平角定义可得∠AOB=∠COD，进而得到∠AON=18°．
此题主要考查了角的计算，角平分线的定义，平角及补角的定义，关键是根据图形，理清角之间的关系．
24.【答案】解：设他们家兄弟数为x个，则姊妹数为(x−1)个，
根据题意得：x=2(x−2)，
解得：x=4．
则他们家兄弟有4个、姊妹有3个．
【解析】由男孩的兄弟数与姊妹数相等，得到男孩比女孩多1个，设他们家兄弟数为x个，则姊妹数为(x−1)个，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
此题考查了一元一次方程的应用，根据题得出兄弟与姊妹的个数关系是解本题的关键．
25.【答案】解：设从A地驶往B地时，上坡的路程为x km，则下坡的路程为(180−x)km，
由题意，得：(x30+180−x40)−(180−x30+x40)=0.5，
解得x=120，
则180−x=60，
答：从A地驶往B地时，上坡的路程为120km，下坡的路程为60km．
【解析】根据“从A地驶往B地所需时间比从B地驶往A地所需时间多0.5小时”可以列出相应的方程，然后求解即可．
本题考查一元一次方程应用—行程问题，解题的关键是掌握行程问题的等量关系，列出相应的方程．
26.【答案】解：(1)40°;
(2)由(1)可知：∠BOC=4t，
当4t=90°时，t=452；
当4t=270°时，t=1352．
(3)①当OC平分∠AOB时．
∵∠AOB=6t，∠AOC=2t，
∴∠AOB=3∠AOC，与角平分线矛盾，
此种情况不成立，舍去；
②当OA平分∠BOC时，
由于∠AOC=2t，∠AOB=360°−6t，
∵∠AOB=∠AOC，
∴2t=360°−6t，
得t=45，
③当OB平分∠AOC时，
由于∠AOC=2t，∠AOB=360°−6t，
∵∠AOB=12∠AOC，
∴6t−360°=12×2t，
∴t=72，
综上所述：t=45秒或72秒时，使得射线OB，OC与OA中的某一条射线是另两条射线所成角的角平分线．
【解析】解：(1)由题意可知：∠AOB=6t，∠AOC=2t，
∴∠BOC=∠AOB−∠AOC=4t，
当t=10时，∠BOC=40°；
(2)见答案;
(3)见答案．
【分析】
(1)根据题意用∠AOB与∠AOC表示出∠BOC，当t=10时，即可得解．
(2)当OB⊥OC时，∠BOC=90°或270°，列出方程即可求出t的值．
(3)根据题意可分三种情况讨论：当OC平分∠AOB；当OA平分∠BOC；当OB平分∠AOC时，从而求出t的值．
本题考查角平分线的性质，解题的关键是正确理解角分线的定义，属于中等题．