2022-2023学年山东省枣庄市滕州市高二（上）期末数学试卷(附答案)

这是一份2022-2023学年山东省枣庄市滕州市高二（上）期末数学试卷(附答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知a→=(2，5，8)，b→=(-3，4，-4)，则a→+b→=（ ）
A．（5，1，4）B．（3，9，12）C．（﹣1，1，4）D．（﹣1，9，4）
2．（5分）双曲线x25-y24=1的焦距等于（ ）
A．1B．2C．3D．6
3．（5分）过点A（2，3）且与直线l：2x﹣4y+7＝0平行的直线方程是（ ）
A．x﹣2y+4＝0B．2x+y﹣7＝0C．2x﹣y﹣1＝0D．x+2y﹣8＝0
4．（5分）在等比数列{an}中，a1+a2＝2，a5+a6＝4，则a9+a10＝（ ）
A．2B．4C．6D．8
5．（5分）如果圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）关于直线y＝x对称，则有（ ）
A．D+E＝0B．D＝EC．D＝FD．E＝F
6．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为1，且PA与AB，AD的夹角都等于60°．若M是PC的中点，则|BM→|=（ ）
A．34B．34C．33D．32
7．（5分）已知数列{an}满足an+1﹣an＝2n﹣11，且a1＝10，则an的最小值是（ ）
A．﹣15B．﹣14C．﹣11D．﹣6
8．（5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，经过F1的直线交椭圆于A，B，△ABF2的内切圆的圆心为I，若3IB→+4IA→+5IF2→=0→，则该椭圆的离心率是（ ）
A．23B．55C．34D．12
二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）
（多选）9．（5分）下列说法中，正确的有（ ）
A．直线y＝a（x+2）+3（a∈R）必过定点（2，3）
B．直线y＝2x﹣1在y轴上的截距为﹣1
C．直线3x-y+2=0的倾斜角为60°
D．点（1，3）到直线y﹣2＝0的距离为1
（多选）10．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，公差d≠0，则下列命题正确的是（ ）
A．若S5＝S9，则必有S14＝0
B．若S5＝S9，则必有S7是Sn中最大的项
C．若S6＞S7，则必有S7＞S8
D．若S6＞S7，则必有S5＞S6
（多选）11．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝2．若点E，F，G分别为棱AB，AD，PC的中点，则（ ）
A．AG⊥平面PBD
B．直线FG和直线AB所成的角为π4
C．当点T在平面PBD内，且TA+TG＝2时，点T的轨迹为一个椭圆
D．过点E，F，G的平面与四棱锥P﹣ABCD表面交线的周长为22+6
（多选）12．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与圆O：x2+y2＝5交于A，B两点，且|AB|＝4，直线l过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ）
A．若直线l的斜率为33，则|MN|＝8
B．|MF|+2|NF|的最小值为3+22
C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为(0，62)，则点M的横坐标为32
D．若点G（2，2），则△GFM周长的最小值为3+5
三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）等差数列{an}中a2＝2，a4＝8，则数列{an}的前5项和S5＝ ．
14．（5分）若空间向量a→=(1，1，1)，b→=(1，0，1)，c→=(1，2，m)共面，则实数m＝ ．
15．（5分）写出与两圆（x﹣1）2+y2＝1，x2+y2﹣10x+6y+18＝0均相切的一条直线方程为 ．
16．（5分）椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是一个圆，这个圆称为该椭圆的“蒙日圆”，圆心是椭圆的中心．已知长方形R的四条边均与椭圆C：x26+y23=1相切，则C的蒙日圆方程为 ；R的面积的最大值为 ．
四、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）设圆的方程为x2+y2﹣4x﹣5＝0，
（1）求该圆的圆心坐标及半径；
（2）若此圆的一条弦AB的中点为P（3，1），求直线AB的方程．
18．（12分）设Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，且an，Sn，an2成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=an，n为奇数1anan+2，n为偶数，求数列{bn}的前20项和T20．
19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，M为线段A1C1上一点．
（1）求证：BM⊥AB1；
（2）若直线AB1与平面BCM所成角为π4，求点A1到平面BCM的距离．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，CD⊥平面PAD，△PAD为等边三角形，AD∥BC，AD＝CD＝2BC＝2，E，F分别为棱PD，PB的中点．
（1）求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值；
（2）在棱PC上是否存在点G，使得DG∥平面AEF？若存在，确定点G的位置；若不存在，说明理由．
21．（12分）已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4＝20，a3＝8．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记bm为{an}在区间（0，m]（m∈N*）中的项的个数，求数列{bm}的前50项和S50．
22．（12分）如图，已知椭圆C：x2a2+y2=1(a＞1)，其左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2且垂直于x轴的直线交椭圆于第一象限的点P，且sin∠PF1F2=13．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点S(0，-13)且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
2022-2023学年山东省枣庄市滕州市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（5分）已知a→=(2，5，8)，b→=(-3，4，-4)，则a→+b→=（ ）
A．（5，1，4）B．（3，9，12）C．（﹣1，1，4）D．（﹣1，9，4）
【解答】解：根据题意可得a→+b→=(2-3，5+4，8-4)=(-1，9，4)．
故选：D．
2．（5分）双曲线x25-y24=1的焦距等于（ ）
A．1B．2C．3D．6
【解答】解：由双曲线x25-y24=1可知：a2＝5，b2＝4，
∴c2＝a2+b2＝9，解得c＝3，
∴双曲线的焦距2c＝6，
故选：D．
3．（5分）过点A（2，3）且与直线l：2x﹣4y+7＝0平行的直线方程是（ ）
A．x﹣2y+4＝0B．2x+y﹣7＝0C．2x﹣y﹣1＝0D．x+2y﹣8＝0
【解答】解：设过点A（2，3）且与直线l：2x﹣4y+7＝0平行的直线方程是2x﹣4y+C＝0（C≠7），
将点A的坐标代入直线的方程2x﹣4y+C＝0得2×2﹣4×3+C＝0，解得C＝8，
故所求直线方程为2x﹣4y+8＝0，即x﹣2y+4＝0．
故选：A．
4．（5分）在等比数列{an}中，a1+a2＝2，a5+a6＝4，则a9+a10＝（ ）
A．2B．4C．6D．8
【解答】解：设等比数列的公比为q，a5+a6a1+a2=q4=2，且a9+a10a5+a6=q4=2，
则a9+a10＝2（a5+a6）＝2×4＝8．
故选：D．
5．（5分）如果圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）关于直线y＝x对称，则有（ ）
A．D+E＝0B．D＝EC．D＝FD．E＝F
【解答】解：由圆的对称性知，圆心在直线y＝x上，故有-E2=-D2，即D＝E．
故选：B．
6．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为1，且PA与AB，AD的夹角都等于60°．若M是PC的中点，则|BM→|=（ ）
A．34B．34C．33D．32
【解答】解：∵AB＝AD＝1，PA＝1，BP→=AP→-AB→，
∴BM→=12[AD→+（AP→-AB→）]=-12AB→+12AD→+12AP→，
∵AB⊥AD，∠PAB＝∠PAD＝60°，
∴BM→2=（-12AB→+12AD→+12AP→）2
=14（AB→2+AD→2+AP→2）-12×|AB→|⋅|AP→|⋅cs60°+12×|AD→|⋅|AP→|⋅cs60°
=14（1+1+1）-12×1×1×12+12×1×1×12
=34，
∴|BM→|=32．
故选：D．
7．（5分）已知数列{an}满足an+1﹣an＝2n﹣11，且a1＝10，则an的最小值是（ ）
A．﹣15B．﹣14C．﹣11D．﹣6
【解答】解：∵an+1﹣an＝2n﹣11，
∴当n≤5时，an+1﹣an＜0，当n＞5时，an+1﹣an＞0，∴a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞a6＜a7＜a8＜⋅⋅⋅，显然an的最小值是a6，
又an+1﹣an＝2n﹣11，
∴a6＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+（a5﹣a4）+（a6﹣a5）＝10+（﹣9）+（﹣7）+（﹣5）+（﹣3）+（﹣1）＝﹣15，即an的最小值是﹣15，
故选：A．
8．（5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，经过F1的直线交椭圆于A，B，△ABF2的内切圆的圆心为I，若3IB→+4IA→+5IF2→=0→，则该椭圆的离心率是（ ）
A．23B．55C．34D．12
【解答】解：因为3IB→+4IA→+5IF2→=0→，所以38IB→+58IF2→=-12IA→，如图，
在BF2上取一点M，使得|BM|：|MF2|＝5：3，连接IM，则IM→=-12IA→，
则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以S△IAF2：S△IF2B：S△IBA＝3：4：5，
所以|AF2|：|F2B|：|AB|＝3：4：5，不妨设|AF2|＝3，则|F2B|＝4，|AB|＝5，
则|AF1|+|AF2|＝|BF1|+|BF2|＝2a＝6，
所以|AF1|＝3，|BF1|＝2，设|F1F2|＝x，
由余弦定理得cs∠ABF2=|BF1|2+|BF2|2-|F1F2|22|BF1||BF2|=25+16-92×5-4=45，
即22+42-x22×2×4=45，解得x=65，
解得e=2c2a=656=55．
故选：B．
二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）
（多选）9．（5分）下列说法中，正确的有（ ）
A．直线y＝a（x+2）+3（a∈R）必过定点（2，3）
B．直线y＝2x﹣1在y轴上的截距为﹣1
C．直线3x-y+2=0的倾斜角为60°
D．点（1，3）到直线y﹣2＝0的距离为1
【解答】解：对于A，直线y＝a（x+2）+3（a∈R）必过定点（﹣2，3），故A错误，
对于B，当x＝0时，y＝﹣1，
直线y＝2x﹣1在y轴上的截距为﹣1，故B正确，
对于C，直线3x-y+2=0的斜率为3，其倾斜角为60°，故C错误，
对于D，点（1，3）到直线y﹣2＝0的距离为1，故D正确．
故选：BCD．
（多选）10．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，公差d≠0，则下列命题正确的是（ ）
A．若S5＝S9，则必有S14＝0
B．若S5＝S9，则必有S7是Sn中最大的项
C．若S6＞S7，则必有S7＞S8
D．若S6＞S7，则必有S5＞S6
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若S5＝S9，必有S9﹣S5＝a6+a7+a8+a9＝2（a7+a8）＝0，则a7+a8＝0，S14=14×(a1+a14)2=14×(a7+a8)2=0，A正确；
对于B，若S5＝S9，必有S9﹣S5＝a6+a7+a8+a9＝2（a7+a8）＝0，又由a1＞0，则必有S7是Sn中最大的项，B正确；
对于C，若S6＞S7，则a7＝S7﹣S6＜0，又由a1＞0，必有d＜0，则a8＝S8﹣S7＜0，必有S7＞S8，C正确；
对于D，若S6＞S7，则a7＝S7﹣S6＜0，而a6的符号无法确定，故S5＞S6不一定正确，D错误；
故选：ABC．
（多选）11．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝2．若点E，F，G分别为棱AB，AD，PC的中点，则（ ）
A．AG⊥平面PBD
B．直线FG和直线AB所成的角为π4
C．当点T在平面PBD内，且TA+TG＝2时，点T的轨迹为一个椭圆
D．过点E，F，G的平面与四棱锥P﹣ABCD表面交线的周长为22+6
【解答】解：将该正四棱锥补成正方体，可知AG位于其体对角线上，
则AG⊥平面PBD，故A正确；
设PB中点为H，则FG∥AH，且∠HAB=π4，故B正确；
∵TA+TG＝2，∴T在空间中的轨迹为椭圆绕其长轴旋转而成的椭球，
又平面PBD与其长轴垂直，∴截面为圆，故C错误；
设平面EFG与PB，PD交于点M，N，连接PE，EC，PF，FC，EM，MG，GN，NF，
∵PA＝BC，AE＝BE，∠PAE＝∠CBE，∴△PAE≌△CBE，
∴PE＝CE，而PG＝GC，故EG⊥PC，同理FG⊥PC，
而FG∩EG＝G，∴PC⊥平面EFG，而EM⊂平面EFG，则PC⊥EM，
∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，
∵BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，
∵EM⊥平面PBC，而PB⊂平面PBC，则EM⊥PB，
∴BM＝EM=22BE=22，同理，FN＝DN=22，
又PG=3，PM＝22-22=322，则GM＝GN=62，
而EF=12BD=2，
∴交线长为EF+EM+MG+GN+FN＝22+6，故D正确．
故选：ABD．
（多选）12．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与圆O：x2+y2＝5交于A，B两点，且|AB|＝4，直线l过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ）
A．若直线l的斜率为33，则|MN|＝8
B．|MF|+2|NF|的最小值为3+22
C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为(0，62)，则点M的横坐标为32
D．若点G（2，2），则△GFM周长的最小值为3+5
【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）与圆O：x2+y2＝5交于A，B两点，且|AB|＝4，
由圆和抛物线的对称性可知点（1，2）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，
所以4＝2p，解得p＝2，所以抛物线C：y2＝4x，F（1，0），
设直线l：x＝my+1，与y2＝4x联立得y2﹣4my﹣4＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，
所以|MN|=1+m2|y1﹣y2|=1+m2⋅(y1+y2)2-4y1y2=4（1+m2），
直线l的斜率为33，所以m=3，此时|MN|＝16，所以A错误；
1|MF|+1|NF|=1x1+1+1x2+1=x1+x2+2x1x2+x1+x2+1=4(y1+y2)+4(y1+y2)216+m(y1+y2)+3=4m2+44m2+4=1，
则|MF|+2|NF|＝（|MF|+2|NF|）（1|MF|+1|NF|）＝3+2|NF||MF|+|MF||NF|≥3+22，
当且仅当|MF|＝1+2，|NF|＝1+22时等号成立，所以B正确；
如图，过M作准线的垂线，垂足为M′，交y轴于M1，
取MF中点为D，过D作y轴的垂线，垂足为D1，
则MM1∥OF，DD1为梯形OFMM1的中位线，
由抛物线的定义可得|MM1|＝|MM′|﹣|M1M′|＝|MF|﹣1，
所以|DD1|=|OF|+|MM1|2=1+|MF|-12=|MF|2，
所以点（0，62）为直径的圆与y轴相切，
所以点（0，62）为圆与y轴的切点，所以D点的纵坐标为62，
又D为MF中点，所以M点纵坐标为6，
又点M在抛物线上，所以M点横坐标为32，所以C正确；
过G作DH垂直于准线，垂足为H，
所以△GFM的周长为|MG|+|MF|+|GF|＝|MG|+|MM′|+5≥|GH|+5=3+5，
当且仅当点M的坐标为（1，2）时取等号，所以D正确．
故答案为：BCD．
三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）等差数列{an}中a2＝2，a4＝8，则数列{an}的前5项和S5＝ 25 ．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，由a2＝2，a4＝8可得：a1+d=2a1+3d=8，解得a1=-1d=3，
所以an＝a1+（n﹣1）d＝3n﹣4，
所以a5＝3×5﹣4＝11，
所以S5=5(a1+a5)2=5(-1+11)2=25．
故答案为：25．
14．（5分）若空间向量a→=(1，1，1)，b→=(1，0，1)，c→=(1，2，m)共面，则实数m＝ 1 ．
【解答】解：由题可知，c→=λa→+μb→，故（1，2，m）＝λ（1，1，1）+μ（1，0，1），
有λ+μ=1λ=2λ+μ=m，解得λ=2μ=-1m=1．
故答案为：1．
15．（5分）写出与两圆（x﹣1）2+y2＝1，x2+y2﹣10x+6y+18＝0均相切的一条直线方程为 y＝1 ．
【解答】解：由（x﹣1）2+y2＝1，圆心为（1，0），半径为1，
由（x﹣5）2+（y+3）2＝16，圆心为（5，﹣3），半径为4，
所以圆心距为(5-1)2+(-3-0)2=5=1+4，故两圆外切，如图，
公切线斜率存在，设为y＝kx+m，
所以|k+m|1+k2=1|5k+3+m|1+k2=4，
所以|5k+3+m|＝4|k+m|，
所以5k+3+m＝4k+4m或5k+3+m＝﹣4k﹣4m，
所以k＝3m﹣3或k=-5m+39，
代入|k+m|=1+k2，解得k=0m=1或k=43m=-3或k=-247m=-17，
所以公切线方程有y＝1或4x﹣3y﹣9＝0或24x+7y+1＝0．
故答案为：y＝1（答案不唯一）
16．（5分）椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是一个圆，这个圆称为该椭圆的“蒙日圆”，圆心是椭圆的中心．已知长方形R的四条边均与椭圆C：x26+y23=1相切，则C的蒙日圆方程为 x2+y2＝9 ；R的面积的最大值为 18 ．
【解答】解：设两条互相垂直的切线的交点为P（x0，y0），
当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是（±a，b），或（±a，﹣b）．
当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P的坐标是（x0，y0）（x0≠±a，且y0≠±b），
所以可设曲线C的过点P的切线方程是y﹣y0＝k（x﹣x0）（k≠0）．
由x2a2+y2b2=1y-y0=k(x-x0)，得(a2k2+b2)x2-2ka2(kx0-y0)x+a2(kx0-y0)2-a2b2=0，
由其判别式的值为0，得(x02-a2)k2-2x0y0k+y02-b2=0(x02-a2≠0)，
因为kPA，kPB（kPA，kPB为过P点互相垂直的两条直线的斜率）是这个关于k的一元二次方程的两个根，
所以kPA⋅kPB=y02-b2x02-a2，
由此，得kPA⋅kPB=-1⇔x02+y02=a2+b2，
即C的蒙日圆方程为：x2+y2＝9；
因为蒙日圆为长方形的外接圆，设r＝|OA|＝3，∠AOB＝θ，
则矩形面积公式为S=4⋅12r2⋅sinθ=18sinθ，显然sinθ＝1，
即矩形四条边都相等，为正方形时，Smax＝18．
故答案为：x2+y2＝9；18．
四、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）设圆的方程为x2+y2﹣4x﹣5＝0，
（1）求该圆的圆心坐标及半径；
（2）若此圆的一条弦AB的中点为P（3，1），求直线AB的方程．
【解答】解：（1）将x2+y2﹣4x﹣5＝0配方得：（x﹣2）2+y2＝9
∴圆心坐标为C（2.0），半经为r＝3．…（6分）
（2）设直线AB的斜率为k．
由圆的知识可知：CP⊥AB，∴kCP•k＝﹣1
又Kcp=1-03-2=1，∴k＝﹣1．
∴直线AB的方程为y﹣1＝﹣1（x﹣3）
即：x+y﹣4＝0…（12分）
18．（12分）设Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，且an，Sn，an2成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=an，n为奇数1anan+2，n为偶数，求数列{bn}的前20项和T20．
【解答】解：（1）由题意n≥1，n∈N*时，an+an2=2Sn，令n＝1，得an＝1，
所以n≥2，n∈N*时，an﹣1+an﹣12＝2Sn﹣1，
两式相减得：n≥2，n∈N*时，an+an2-（an﹣1+an﹣12）＝2an，
∴an2-an﹣12＝an+an﹣1，∵an＞0，∴an﹣an﹣1＝1，
∴数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴an＝n；
（2）由（1）得1anan+2=1n(n+2)=12（1n-1n+2），
∴T20＝（b1+b3+⋯b19）+（b2+b4+⋯b20）＝（1+3+5+⋯+19）+12[（12-14）+（14-16+⋯+120-122）
=(1+19)⋅102+12（12--122）=220522．
19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，M为线段A1C1上一点．
（1）求证：BM⊥AB1；
（2）若直线AB1与平面BCM所成角为π4，求点A1到平面BCM的距离．
【解答】（1）证明：因为AA1⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC，
所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，而AB⊥AC，因此建立如图所示的空间直角坐标系：
则A（0，0，0），A1（0，0，1），B（1，0，0），C（0，1，0），B1（1，0，1），M（0，a，1）（a∈[0，1]），
BM→=(-1，a，1)，AB1→=(1，0，1)，因为BM→⋅AB1→=-1×1+a×0+1×1=0，
所以BM→⊥AB1→，即BM⊥AB1，
（2）解：设平面BCM的法向量为n→=(x，y，z)，BM→=(-1，a，1)，BC→=(-1，1，0)，
所以有n→⋅BM→=-x+ay+z=0n→⋅BC→=-x+y=0，取x＝1，则n→=（1，1，1﹣a），
因为直线AB1与平面BCM所成角为π4，
所以|cs〈AB1→，n→〉|=sinπ4⇒|AB1→⋅n→|AB1→|⋅|n→||=22⇒|1+1-a|12+12+(1-a)2×2=22，
解得a=12，即n→=(1，1，12)，因为A1B→=(1，0，-1)，
所以点A1到平面BCM的距离为d=|A1B→⋅n→||n→|=13．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，CD⊥平面PAD，△PAD为等边三角形，AD∥BC，AD＝CD＝2BC＝2，E，F分别为棱PD，PB的中点．
（1）求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值；
（2）在棱PC上是否存在点G，使得DG∥平面AEF？若存在，确定点G的位置；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）取AD的中点O，连接OP，OB，
因为在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2BC，
所以OD∥BC，OD＝BC，
所以四边形OBCD是平行四边形，
所以OB∥CD，
因为CD⊥平面PAD，所以OB⊥平面PAD，
又OA⊂平面PAD，OP⊂平面PAD，
所以OB⊥OA，OB⊥OP，
又在等边△PAD中，O是AD的中点，所以OP⊥OA，
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(-1，2，0)，D(-1，0，0)，P(0，0，3)，
故E(-12，0，32)，F(0，1，32)，，
设平面AEF的法向量n→=(x，y，z)，则n→⋅EA→=32x-32z=0n→⋅EF→=12x+y=0，则可取n→=(2，-1，23)，
因为CD⊥平面PAD，
所以m→=DC→=(0，2，0)即为平面PAD的一个法向量，
设平面AEF与平面PAD所成的锐二面角为θ，
则csθ=|cs〈m→，n→〉|=|m→⋅n→||m→|⋅|n→|=1717，
即平面AEF与平面PAD所成的锐二面角的余弦值为1717；
（2）设点G满足PG→=λPC→=(-λ，2λ，-3λ)，λ∈[0，1]，
所以G(-λ，2λ，3-3λ)，
则DG→=(-λ+1，2λ，3-3λ)，
因为DG∥平面AEF，
所以DG→⋅n→=2(-λ+1)-2λ+23(3-3λ)=0，
解得λ=45，
即棱PC上存在点G，使得DG∥平面AEF，且PGPC=45．
21．（12分）已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4＝20，a3＝8．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记bm为{an}在区间（0，m]（m∈N*）中的项的个数，求数列{bm}的前50项和S50．
【解答】解：（1）由于数列{an}是公比大于1的等比数列，
设首项为a1，公比为q，
依题意有a1q+a1q3=20a1q2=8，
解得：a1＝2，q＝2或a1=32，q=12（舍）．
所以an=2n．
（2）由题意，2n≤m，即n≤lg2m，
当m＝1时，b1＝0，
当m＝2，3时，b2＝b3＝1⋯
当m∈[2k，2k+1﹣1）时，bm＝k，共有2k个，k∈N*
则S50＝b1+（b2+b3）+（b4+b5+⋯+b7）+⋯+（b32+b33+⋯+b50）＝0+1×2+2×4+3×8+4×16+5×19＝193．
22．（12分）如图，已知椭圆C：x2a2+y2=1(a＞1)，其左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2且垂直于x轴的直线交椭圆于第一象限的点P，且sin∠PF1F2=13．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点S(0，-13)且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵sin∠PF1F2=|PF2||PF1|=13，|PF1|+|PF2|=2a，
∴|PF1|=32a，|PF2|=a2，∵|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2，|F1F2|=2c，
∴a=2c，∵a2＝c2+1，∴c=1，a=2，
∴椭圆方程为：x22+y2=1．
（2）动直线l的方程为：y=kx-13，
由 y=kx-13x22+y2=1
得(2k2+1)x2-4k3x-169=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=4k3(2k2+1)，x1x2=-169(2k2+1).Δ=169k2+649(1+2k2)=16k2+649＞0．
由对称性可设存在定点M（0，m）满足题设，
则MA→=(x1，y1-m)，MB→=(x2，y2-m)，MA→⋅MB→=0⇒x1x2+(y1-m)(y2-m)=0
⇒(1+k2)x1x2-k(13+m)(x1+x2)+(13+m)2=0
⇒6（m2﹣1）k2+（3m2+2m﹣5）＝0，
由题意知上式对∀k∈R成立，∴m2﹣1＝0且3m2+2m﹣5＝0，解得m＝1．
∴存在定点M，使得以AB为直径的适恒过这个点，且点M的坐标为（0，1）．