天津市河北区2023-2024学年八年级（上）期末数学试题（含解析）

这是一份天津市河北区2023-2024学年八年级（上）期末数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．观察下列图形，其中不是轴对称图形的是（ ）．
A．B．C．D．
2．下列各式计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．若分式的值为0，则的值是（ ）
A．B．0C．3D．
4．一个多边形的内角和是外角和的4倍，该多边形的边数是（ ）
A．7B．8C．9D．10
5．把分解因式，正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．下列等式从左到右变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．三角形的一个外角等于任意两个内角的和
B．三角形的一个外角小于它的一个内角
C．三角形的一个外角大于它的相邻的内角
D．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
8．若分式中的x，y都扩大原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的9倍B．扩大为原来的3倍
C．不变D．缩小到原来的
9．已知正方形ABCD的边长为，正方形FGCH的边长为，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，比较图2与图1的阴影部分的面积，可得等式（ ）
A．B．
C．D．
10．某列车提速前行驶与提速后行驶所用时间相同，若列车平均提速，设提速后平均速度为，所列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．关于x的方程：的解是负数，则a的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
12．已知，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
13．若分式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
14．若，则分式的值为 ．
15．如图，等边中，为中点，，，则线段的长度为 ．

16．如图，的平分线与中的相邻外角的平分线相交于点F，过F作，交于点D，交于点E．若，，则的长为 ．
17．如图，已知， 平分，为上任意一点，∥，交OB于D，于E．如果，则PE的长为 cm．
18．如图，是等边三角形的边上的高，，P点是上的动点，Q点是边的中点，则的最小值是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共46分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
19．（1）计算：；
（2）分解因式：．
20．解方程：
(1)；
(2)．
21．化简并求值：，其中．
22．将边长为x的小正方形和边长为y的大正方形按如图所示放置，其中点D在边上．

(1)若，且，求的值；
(2)连接，若，，求阴影部分的面积．
23．习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源型和型两款汽车，已知每辆型汽车进价是每辆型汽车进价的倍，现公司用万元购进型汽车的数量比万元购进型汽车的数量少辆．
(1)求每辆型汽车进价是多少万元？
(2)A型汽车利润率为，型汽车利润率为，那么该公司出售完此批汽车后总利润是多少元？
24．如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，，连接．
(1)证明：是等边三角形；
(2)当时，试判断的形状，并说明理由；
(3)探究：当为多少度时，是等腰三角形．
答案与解析
1．A
【分析】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形，即可判断，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
【详解】解：、不是轴对称图形，符合题意；
、是轴对称图形，不符合题意；
、是轴对称图形，不符合题意；
、是轴对称图形，不符合题意；
故选：．
2．B
【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可．
【详解】解：A、a2和2a3不是同类项，不能合并，故该选项错误；
B、a•a2=a3，故该选项正确；
C、a6÷a2=a4，故该选项错误；
D、（a2）3=a6，故该选项错误；
故选：B．
【点睛】此题考查合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法和幂的乘方，解题关键是掌握计算法则．
3．B
【分析】此题考查分式值为零，根据分式值为零可得分子为零且分母不为零，由此得到答案，据此解题即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，且，
故选：B．
4．D
【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征建立方程计算求解．
【详解】设多边形的边数为，根据题意得：
，
解得．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．
5．D
【分析】直接利用完全平方公式分解因式，即可得出答案．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查了公式法分解因式，正确运用完全平方公式是解题关键．
6．C
【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐个判断即可．
【详解】解：A．，故本选项不符合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C．，故本选项符合题意；
D．，故本选项不符合题意．
故选：C．
7．D
【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质，根据三角形的外角与三角的内角的关系逐一判断即可求解，熟练掌握三角形外角的定义及性质是解题的关键．
【详解】解：A、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，则错误，故不符合题意；
B、令三角形的一个内角为，则与它相邻的外角为：，，则错误，故不符合题意；
C、令三角形的一个内角为，则与它相邻的外角为：，，则错误，故不符合题意；
D、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，
则正确，故符合题意；
故选D．
8．C
【分析】本题主要考查分式的基本性质，x，y都扩大为原来的3倍就是分别变成原来的3倍，变成和．用和代替式子中的x和y，看得到的式子与原来的式子的关系．
【详解】解：用和代替式子中的x和y得：

则分式的值不变；
故选：C．
9．A
【分析】图1阴影部分的面积等于正方形ABCD的面积减去正方形FGCH的面积，图2阴影部分的面积等于AH乘以AE，根据图1图2阴影部分的面积相等列等式．
【详解】解：由图1得：正方形ABCD的面积是，正方形FGCH的面积是，
∴阴影部分的面积是，
由图2得：AH=AB+FH=a+b，AE=AD-DE=a-b，
∴长方形AHDE的面积即阴影部分的面积是(a+b)(a−b)，
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查了平方差公式与几何图形，平方差公式的推导，解题的关键是数形结合用代数式分别表示出图1和图2中阴影部分面积．
10．C
【分析】本题主要考查了列分式方程，是解题关键找准等量关系，“提速前后所用时间相同”，列出方程．
【详解】解：设提速后平均速度为，则提速前列车的平均速度为：，
根据题意得：，
故选：C．
11．B
【分析】方程去分母化为整式方程，求得，再根据方程的解是负数，可得，且，即可求解．
【详解】解：去分母得，，
∴，
∵方程的解是负数，且，
∴，且，
∴a的取值范围是且．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的求解和解不等式等知识，正确理解题意、熟练掌握分式方程的解法是根据．
12．A
【分析】先把81，27，9转化为底数为3的幂，再根据幂的乘方，底数不变，指数相乘化简．然后根据指数的大小即可比较大小．
【详解】解：∵；
；
．
则．
故选：A．
【点睛】本题考查了幂的乘方，变形为同底数幂的形式，再比较大小，可使计算简便．
13．
【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟知“分式的分母不为0”时分式有意义是解题的关键．
【详解】解：
故答案为：．
14．
【分析】利用分式的减法计算得到，再整体代入即可得到答案．熟练掌握分式的减法和整体代入是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
故答案为：
15．24
【分析】本题考查了等边三角形的性质，含的直角三角形，三角形内角和定理等知识．明确线段之间的数量关系是解题的关键．
由等边，可得，，，则，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵等边，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
故答案为：24．
16．3
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，根据已知条件，分别平分的外角，且，可得，根据等角对等边得出，根据即可求得．
【详解】解：∵分别平分的外角，
，
，
∴，
∴，，
，
，
故答案为：3．
17．
【分析】过作于，根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据30度所对的边是斜边的一半可求得的长，最后根据角平分线的性质即可求得的长．
【详解】解：过作于，
，平分，
，
∥，
，
，
，
，∥，
，
在中，，
为角平分线，，，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查：（1）含度的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．（2）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，掌握相关性质是解题的关键．
18．8
【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，连接，得出的长度即为与和的最小值即可解决问题．
【详解】解：如连接，

∵是等边三角形，，Q点是边的中点，
∴，
∴，
即就是的最小值，最小值为8．
故答案为：8．
19．（1）；（2）
【分析】本题考查整式的混合运算，因式分解．掌握整式的混合运算法则和综合提公因式和公式法分解因式是解题关键．
（1）先利用完全平方公式和单项式乘以多项式法则去括号，再合并即可；
（2）先提取公因式，再根据平方差公式计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
20．(1)
(2)无解
【分析】本题考查了解分式方程：
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：，
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解；
（2）解：，
去分母得：，
即，
解得：，
当时，，
经检验是增根，分式方程无解．
21．，
【分析】根据分式的运算法则，进行化简，再代值计算即可．本题考查分式的化简求值．熟练掌握分式的运算法则，正确的进行化简，是解题的关键．
【详解】解：原式
；
当时，原式．
22．(1)2
(2)11
【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式．
（1）根据平方差公式代入计算即可；
（2）用代数式表示阴影部分的面积，再根据完全平方公式进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
；
（2）解：阴影部分的面积为：
，
，
．
23．(1)10万元
(2)171万元
【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数的混合运算的应用；
（1）设每辆B型汽车进价是万元，则每辆型汽车进价是万元，利用数量总价单价，结合用万元购进型汽车的数量比万元购进型汽车的数量少辆，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
（2）根据题意列出算式，求出两种汽车利润之和即可．
【详解】（1）解：设每辆型汽车进价是万元，则每辆型汽车进价是万元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：每辆型汽车进价是万元；
（2）(万元)，
答：该公司出售完此批汽车后总利润是万元．
24．(1)见解析
(2)是直角三角形，理由见解析
(3)或或
【分析】（1）由全等三角形的性质得出，结合，即可证明是等边三角形；
（2）由等边三角形的性质得出，由全等三角形的性质得出，即可求出，即是直角三角形；
（3）由等边三角形的性质得出．根据周角可求出，又可求出 ，从而可求出．分类讨论：①当时，此时；②当时，此时；③当时，此时，分别列出关于的等式，解出的值即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴是等边三角形；
（2）解：是直角三角形．
理由：∵是等边三角形，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：∵是等边三角形，
∴．
∵，，
∴，
，
∴．
①当时，即此时，
∴，
∴；
②当时，即此时，
∴，
∴；
③当时，即此时，
∴，
∴．
综上所述：当或或时，是等腰三角形．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的判定，三角形的内角和定理，几何图形中的角度计算，等腰三角形的判定和性质等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．